Comparing and ! via polarities Sonia Marin Inria, LIX, Ecole - - PowerPoint PPT Presentation

▶
comparing and via polarities
SMART_READER_LITE
LIVE PREVIEW

Comparing and ! via polarities Sonia Marin Inria, LIX, Ecole - - PowerPoint PPT Presentation

Jun 25, 2023 261 likes •901 views

Comparing and ! via polarities Sonia Marin Inria, LIX, Ecole Polytechnique ITU Copenhagen May 19, 2017 The answer The answer from a proof-theoretical point of view exponentials behave exactly like S4 modalities [Martini &

slide-1
SLIDE 1

Comparing ✷ and ! via polarities

Sonia Marin

Inria, LIX, ´ Ecole Polytechnique

ITU Copenhagen May 19, 2017

slide-2
SLIDE 2

The answer

slide-3
SLIDE 3

The answer

“from a proof-theoretical point of view exponentials behave exactly like S4 modalities”

[Martini & Masini, 1994]

slide-4
SLIDE 4
slide-5
SLIDE 5

Are ! and ✷ interchangeable?

slide-6
SLIDE 6

Are ! and ✷ interchangeable?

Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥

slide-7
SLIDE 7

Are ! and ✷ interchangeable?

Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A

slide-8
SLIDE 8

Are ! and ✷ interchangeable?

Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤

slide-9
SLIDE 9

Are ! and ✷ interchangeable?

Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A

slide-10
SLIDE 10

Are ! and ✷ interchangeable?

Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A

⊢ ✸Γ, A ✷ −

− − − − − − − − − − − − −

⊢ ✸Γ, ✷A, ∆ ⊢ Γ, ✸A, A ✸ −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, ✸A

Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A

⊢ ?Γ, A ! −

− − − − − − − −

⊢ ?Γ, !A ⊢ Γ, A ? −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A

slide-11
SLIDE 11

Are ! and ✷ interchangeable?

Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A

⊢ ✸Γ, A ✷ −

− − − − − − − − − − − − −

⊢ ✸Γ, ✷A, ∆ ⊢ Γ, ✸A, A ✸ −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, ✸A

Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A

⊢ ?Γ, A ! −

− − − − − − − −

⊢ ?Γ, !A ⊢ Γ, A ? −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A

slide-12
SLIDE 12

Are ! and ✷ interchangeable?

Theorem: [Martini & Masini, 1994] Γ provable in S4 ⇔ Γ+ provable in LL Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A

⊢ ✸Γ, A ✷ −

− − − − − − − − − − − − −

⊢ ✸Γ, ✷A, ∆ ⊢ Γ, ✸A, A ✸ −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, ✸A

Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A

⊢ ?Γ, A ! −

− − − − − − − −

⊢ ?Γ, !A ⊢ Γ, A ? −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A

slide-13
SLIDE 13

Are ! and ✷ interchangeable?

Theorem: [Martini & Masini, 1994] Γ provable in S4 ⇔ Γ+ provable in LL

slide-14
SLIDE 14

Are ! and ✷ interchangeable?

Theorem: [Martini & Masini, 1994] Γ provable in S4 ⇔ Γ+ provable in LL Their answer: cut-free proof of an S4 sequent

  • cut-free proof of its LL translation
slide-15
SLIDE 15

Are ! and ✷ interchangeable?

Theorem: [Martini & Masini, 1994] Γ provable in S4 ⇔ Γ+ provable in LL Our question: focused polarised cut-free proof of an S4 sequent

  • focused polarised

cut-free proof of its LL translation

?

slide-16
SLIDE 16

Polarity and focusing

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-17
SLIDE 17

Polarity and focusing

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Inversion: in

π

  • ⊢ N, Γ

the last rule is negative.

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-18
SLIDE 18

Polarity and focusing

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Inversion: in

π

  • ⊢ N, Γ

the last rule is negative. Focus on a positive formula: in

π

  • ⊢ P, Γ
  • nly rules decomposing P between two rules decomposing P

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-19
SLIDE 19

Polarity and focusing

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Inversion: in

π

  • ⊢ N, Γ

the last rule is negative. Focus on a positive formula: in

π

  • ⊢ P, Γ
  • nly rules decomposing P between two rules decomposing P

Completeness of focusing: if a formula F is provable then F has a focused proof

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-20
SLIDE 20

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-21
SLIDE 21

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-22
SLIDE 22

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A P ::= x | A ⊗ A | 1 | A ⊕ A | 0 N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | A & A | ⊤

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-23
SLIDE 23

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A P ::= x | A ⊗ A | 1 | A ⊕ A | 0 | ! A N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | A & A | ⊤ | ? A

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-24
SLIDE 24

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A P ::= x | A

+

∧ A |

+

⊤ | A

+

∨ A |

+

⊥

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A |

−

⊥ | A

−

∧ A |

−

⊤

Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A P ::= x | A ⊗ A | 1 | A ⊕ A | 0 | ! A N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | A & A | ⊤ | ? A

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-25
SLIDE 25

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A P ::= x | A

+

∧ A |

+

⊤ | A

+

∨ A |

+

⊥ | ✸ A

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A |

−

⊥ | A

−

∧ A |

−

⊤ | ✷ A

[Miller, Volpe, 2015] [Chaudhuri, M., Strassburger, 2016]

Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A P ::= x | A ⊗ A | 1 | A ⊕ A | 0 | ! A N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | A & A | ⊤ | ? A

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-26
SLIDE 26

Polarity and connectives

Polarities: non-invertible rules : positive connectives invertible rules : negative connectives Modal logic S4: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | ⊤ | A ∨ A | ⊥ | ✷A | ✸A P ::= | ✸ A N ::= | ✷ A This is...

[Miller, Volpe, 2015] [Chaudhuri, M., Strassburger, 2016]

Linear logic LL: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | A ⊕ A | 0 | A & A | ⊤ | !A | ?A P ::= | ! A N ::= | ? A ...not the same!

[Andreoli, 1990] [Laurent, 2004]

slide-27
SLIDE 27

Modular focused systems for modal logics

slide-28
SLIDE 28

Modular focused systems for modal logics

Classical normal modal logics:

k: ✷(A → B) → (✷A → ✷B) d: ✷A → ✸A (Seriality) t: ✷A → A (Reflexivity) b: ✸✷A → A (Symmetry) 4: ✷A → ✷✷A (Transitivity) 5: ✸✷A → ✷A (Euclideanness)

  • S4
  • S5
  • T
  • TB
  • D4
  • D45
  • D5
  • D
  • DB
  • K4
  • K45
  • KB5
  • K5
  • K
  • KB
slide-29
SLIDE 29

Modular focused systems for modal logics

Classical normal modal logics:

k: ✷(A → B) → (✷A → ✷B) d: ✷A → ✸A (Seriality) t: ✷A → A (Reflexivity) b: ✸✷A → A (Symmetry) 4: ✷A → ✷✷A (Transitivity) 5: ✸✷A → ✷A (Euclideanness)

  • S4
  • S5
  • T
  • TB
  • D4
  • D45
  • D5
  • D
  • DB
  • K4
  • K45
  • KB5
  • K5
  • K
  • KB

Nested sequent system:

slide-30
SLIDE 30

Modular focused systems for modal logics

Classical normal modal logics:

k: ✷(A → B) → (✷A → ✷B) d: ✷A → ✸A (Seriality) t: ✷A → A (Reflexivity) b: ✸✷A → A (Symmetry) 4: ✷A → ✷✷A (Transitivity) 5: ✸✷A → ✷A (Euclideanness)

  • S4
  • S5
  • T
  • TB
  • D4
  • D45
  • D5
  • D
  • DB
  • K4
  • K45
  • KB5
  • K5
  • K
  • KB

Nested sequent system:

  • 1. complete and modular

F is a theorem of K + axioms iff F is provable in KN + rules

[Br¨ unnler, 2009]

slide-31
SLIDE 31

Modular focused systems for modal logics

Classical normal modal logics:

k: ✷(A → B) → (✷A → ✷B) d: ✷A → ✸A (Seriality) t: ✷A → A (Reflexivity) b: ✸✷A → A (Symmetry) 4: ✷A → ✷✷A (Transitivity) 5: ✸✷A → ✷A (Euclideanness)

  • S4
  • S5
  • T
  • TB
  • D4
  • D45
  • D5
  • D
  • DB
  • K4
  • K45
  • KB5
  • K5
  • K
  • KB

Nested sequent system:

  • 1. complete and modular

F is a theorem of K + axioms iff F is provable in KN + rules

[Br¨ unnler, 2009]

  • 2. polarised and focused

F theorem of K + axioms iff F has a focused proof in KN + rules

[Chaudhuri, M., Strassburger, 2016]

slide-32
SLIDE 32

Nested sequents

Nested sequents generalise sequents from a multiset of formulas Sequent: A, B, C D B D, A C

slide-33
SLIDE 33

Nested sequents

Nested sequents generalise sequents from a multiset of formulas to a tree of multisets of formulas. Nested sequent: A, B, C D B D, A C E

slide-34
SLIDE 34

Nested sequents

In the sequent term, brackets indicate the parent-child relation in the tree Nested sequent: A, B, C D B D, A C E Γ = A, B, C, [D, [B]], [D, A, [C], [E]]

slide-35
SLIDE 35

Nested sequents

In the sequent term, brackets indicate the parent-child relation in the tree and can be interpreted as the modal ✷. Nested sequent: A, B, C D B D, A C E Γ = A, B, C, [D, [B]], [D, A, [C], [E]]

A ∨ B ∨ C ∨ ✷(D ∨ ✷B), ✷(D ∨ A ∨ ✷C ∨ ✷E)

slide-36
SLIDE 36

Nested sequents

A context is obtained by removing a formula and replacing it by a hole Sequent context: A, B, C { } B D, A C E Γ{ } = A, B, C, [{ }, [B]], [D, A, [C], [E]]

slide-37
SLIDE 37

Nested sequents

A context is obtained by removing a formula and replacing it by a hole that can then be filled by another nested sequent. Sequent context: A, B, C C E B D, A C E Γ{C, [E]} = A, B, C, [C, [E], [B]], [D, A, [C], [E]]

slide-38
SLIDE 38

Nested sequents

This allows us to build rules than can be applied at any depth in the tree. Sequent context: A, B, C C E B D, A C E Γ{C, [E]} = A, B, C, [C, [E], [B]], [D, A, [C], [E]]

slide-39
SLIDE 39

The standard nested system for modal logics

Formulas: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | A ∨ A | ✷A | ✸A System KN:

Γ{A, A} c −

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} id −

− − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B}

slide-40
SLIDE 40

The standard nested system for modal logics

Formulas: A ::= x | x ⊥ | A ∧ A | A ∨ A | ✷A | ✸A System KN:

Γ{A, A} c −

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} id −

− − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B}

Modal rules:

Γ{[A]} ✸d −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{A} ✸t −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{[∆], A} ✸b −

− − − − − − − − − − − −

Γ{[∆, ✸A]} Γ{[✸A, ∆]} ✸4 −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{∅}{✸A} ✸5 −

− − − − − − − − − − −

Γ{✸A}{∅} d: ✷A → ✸A t: A → ✸A b: A → ✷✸A 4: ✸✸A → ✸A 5: ✸A → ✷✸A [Br¨ unnler, 2009]

slide-41
SLIDE 41

The focused nested system for modal logics

Polarized formulas: P ::= x | A

+

∧ A | A

+

∨ A | ✸A

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A | A

−

∧ A | ✷A

System KN:

Γ{A, A} c −

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} id −

− − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B}

Modal rules:

Γ{[A]} ✸d −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{A} ✸t −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{[∆], A} ✸b −

− − − − − − − − − − − −

Γ{[∆, ✸A]} Γ{[✸A, ∆]} ✸4 −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{∅}{✸A} ✸5 −

− − − − − − − − − − −

Γ{✸A}{∅}

slide-42
SLIDE 42

The focused nested system for modal logics

Polarized formulas: P ::= x | A

+

∧ A | A

+

∨ A | ✸A

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A | A

−

∧ A | ✷A

Focused system KNF:

Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B}

−

∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A

−

∨ B}

Γ{A} Γ{B}

−

∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

−

∧ B}

id −

− − − − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

+

∧ B}

Γ{Ai}

+

∨i −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A1

+

∨ A2}

Modal rules:

Γ{[A]} ✸d −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{A} ✸t −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{[∆], A} ✸b −

− − − − − − − − − − − −

Γ{[∆, ✸A]} Γ{[✸A, ∆]} ✸4 −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{∅}{✸A} ✸5 −

− − − − − − − − − − −

Γ{✸A}{∅}

slide-43
SLIDE 43

The focused nested system for modal logics

Polarized formulas: P ::= x | A

+

∧ A | A

+

∨ A | ✸A

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A | A

−

∧ A | ✷A

Focused system KNF:

Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B}

−

∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A

−

∨ B}

Γ{A} Γ{B}

−

∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

−

∧ B}

Γ{P, P} dec −

− − − − − − − − − −

Γ{P} id −

− − − − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

+

∧ B}

Γ{Ai}

+

∨i −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A1

+

∨ A2}

Modal rules:

Γ{[A]} ✸d −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{A} ✸t −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{[∆], A} ✸b −

− − − − − − − − − − − −

Γ{[∆, ✸A]} Γ{[✸A, ∆]} ✸4 −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{∅}{✸A} ✸5 −

− − − − − − − − − − −

Γ{✸A}{∅}

slide-44
SLIDE 44

The focused nested system for modal logics

Polarized formulas: P ::= x | A

+

∧ A | A

+

∨ A | ✸A

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A | A

−

∧ A | ✷A

Focused system KNF:

Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B}

−

∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A

−

∨ B}

Γ{A} Γ{B}

−

∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

−

∧ B}

Γ{P, P} dec −

− − − − − − − − − −

Γ{P} id −

− − − − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

+

∧ B}

Γ{Ai}

+

∨i −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A1

+

∨ A2}

Γ{N} rel −

− − − − − − −

Γ{N}

Modal rules:

Γ{[A]} ✸d −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{A} ✸t −

− − − − − − −

Γ{✸A} Γ{[∆], A} ✸b −

− − − − − − − − − − − −

Γ{[∆, ✸A]} Γ{[✸A, ∆]} ✸4 −

− − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{∅}{✸A} ✸5 −

− − − − − − − − − − −

Γ{✸A}{∅}

slide-45
SLIDE 45

The focused nested system for modal logics

Polarized formulas: P ::= x | A

+

∧ A | A

+

∨ A | ✸A

N ::= x ⊥ | A

−

∨ A | A

−

∧ A | ✷A

Focused system KNF:

Γ{[A]} ✷ −

− − − − − − −

Γ{✷A} Γ{A, B}

−

∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A

−

∨ B}

Γ{A} Γ{B}

−

∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

−

∧ B}

Γ{P, P} dec −

− − − − − − − − − −

Γ{P} id −

− − − − − − − − − − −

Γ{x ⊥, x} Γ{[A, ∆]} ✸k −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{A

+

∧ B}

Γ{Ai}

+

∨i −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A1

+

∨ A2}

Γ{N} rel −

− − − − − − −

Γ{N}

Focused modal rules:

Γ{[A]} ✸d −

− − − − − − − − −

Γ{✸A} Γ{A} ✸t −

− − − − − − − − −

Γ{✸A} Γ{[∆], A} ✸b −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{[∆, ✸A]} Γ{[✸A, ∆]} ✸4 −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{✸A, [∆]} Γ{∅}{✸A} ✸5 −

− − − − − − − − − − − − −

Γ{✸A}{∅}

slide-46
SLIDE 46

A nested system for MELL

Formulas: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | !A | ?A System NMELL:

id −

− − − − − − − − − − −

Γ[ ]{x, x ⊥} 1 −

− − − − − −

Γ[ ]{1} Γ{∅} ⊥ −

− − − − −

Γ{⊥} Γ{A, B}

` −

− − − − − − − − − −

Γ{A ` B} Γ{A} ∆{B} ⊗ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ · ∆{A ⊗ B} Γ{[A]} ! −

− − − − − −

Γ{!A} Γ{A} ?t −

− − − − − −

Γ{?A} Γ{[?A, ∆]} ?4 −

− − − − − − − − − − −

Γ{?A, [∆]} Γ{?A, ?A} ?c −

− − − − − − − − − −

Γ{?A} Γ{∅} ?w −

− − − − − −

Γ{?A}

  • 1. Γ[ ]{ } ::= { } | [Γ[ ]{ }]
  • 2. merge Γ · ∆{ } when depth(Γ{ }) = depth(∆{ })
slide-47
SLIDE 47

A nested system for MELL

Exponentials: ⊢ Γ, A ? −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A Γ{A} ?t −

− − − − − −

Γ{?A}

slide-48
SLIDE 48

A nested system for MELL

Exponentials: ⊢ Γ, A ? −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A Γ{A} ?t −

− − − − − −

Γ{?A} ⊢ ?∆, A ! −

− − − − − − − −

⊢ ?∆, !A Γ{[?B1, . . . , ?Bn, A]}

?4

  • Γ{?B1, . . . , ?Bn−1, [?Bn, A]}

?4 −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{?B1, . . . , ?Bn, [A]} ! −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{?B1, . . . , ?Bn, !A}

slide-49
SLIDE 49

Could ! be negative like ✷?

Formulas: A ::= x | x ⊥ | A ⊗ A | 1 | A ` A | ⊥ | !A | ?A

slide-50
SLIDE 50

Could ! be negative like ✷?

Polarized formulas: P ::= x | A ⊗ A | 1 | ?A N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | !A

slide-51
SLIDE 51

Could ! be negative like ✷?

Polarized formulas: P ::= x | A ⊗ A | 1 | ?A N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | !A A critical example:

1 −

− −

1 ?x

⊥, !x ⊗ !x

⊗ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1 ⊗ ?x

⊥, !x ⊗ !x

dec −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1 ⊗ ?x

⊥, !x ⊗ !x

slide-52
SLIDE 52

Could ! be negative like ✷?

Polarized formulas: P ::= x | A ⊗ A | 1 | ?A N ::= x ⊥ | A ` A | ⊥ | !A A critical example:

1 −

− −

1 ?x

⊥, !x ⊗ !x

⊗ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1 ⊗ ?x

⊥, !x ⊗ !x

dec −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1 ⊗ ?x

⊥, !x ⊗ !x

1 −

−

1 id −

− − − − − −

[x ⊥, x] ?t −

− − − − − − −

[?x ⊥, x] ?4 −

− − − − − − −

?x ⊥, [x] ! −

− − − − − − −

?x ⊥, !x id −

− − − − − −

[x ⊥, x] ?t −

− − − − − − −

[?x ⊥, x] ?4 −

− − − − − − −

?x ⊥, [x] ! −

− − − − − − −

?x ⊥, !x ⊗ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

?x ⊥, ?x ⊥, !x ⊗ !x ?c −

− − − − − − − − − − − − − − − − − −

?x ⊥, !x ⊗ !x ⊗ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1 ⊗ ?x ⊥, !x ⊗ !x ⊗ −

− − − − − − − − − − − − − − − − −

1 ⊗ ?x ⊥, !x ⊗ !x

slide-53
SLIDE 53

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities

slide-54
SLIDE 54

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic.

slide-55
SLIDE 55

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism

slide-56
SLIDE 56

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism but from the interaction between exponentials and the other connectives.

slide-57
SLIDE 57

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism but from the interaction between exponentials and the other connectives. What about smaller fragments?

slide-58
SLIDE 58

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism but from the interaction between exponentials and the other connectives. What about smaller fragments? Tensorial logic?

slide-59
SLIDE 59

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism but from the interaction between exponentials and the other connectives. What about smaller fragments? Tensorial logic? Insights from category theory?

slide-60
SLIDE 60

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism but from the interaction between exponentials and the other connectives. What about smaller fragments? Tensorial logic? Insights from category theory? Other comments?

slide-61
SLIDE 61

Conclusion

Exponentials do not behave like S4 modalities in terms of polarities in multiplicative linear logic. It actually does not seem to come from the depth of the formalism but from the interaction between exponentials and the other connectives. What about smaller fragments? Tensorial logic? Insights from category theory? Other comments?

slide-62
SLIDE 62

Linear logic

− − − − − − − − −

⊢ Γ, a, ¯ a

− − −

⊢ 1

− − − − − − −

⊢ Γ, ⊤ Γ

− − − − − − −

⊢ Γ, ⊥ ⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B ⊗ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − −

⊢ Γ1, Γ2, A ⊗ B ⊢ Γ, A, B

` −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, A ` B ⊢ Γ, A ⊢ Γ, B

& −

− − − − − − − − − − − − − − −

⊢ Γ, A & B ⊢ Γ, A ⊕1 −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, A ∨ B ⊢ Γ, B ⊕2 −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, A ∨ B ⊢ Γ, A ? −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A ⊢ ?Γ, A ! −

− − − − − − − −

⊢ ?Γ, !A ⊢ Γ c −

− − − − − − −

⊢ Γ, ?A ⊢ Γ, ?A, ?A w −

− − − − − − − − − − −

⊢ Γ, ?A

slide-63
SLIDE 63

The problem with adding additives

id −

− − − − − − −

[?x ⊥, x] ? −

− − − − − − −

?x ⊥, [x] ⊕1 −

− − − − − − − − − − − − − −

?x ⊥ ⊕ ?x, [x] id −

− − − − − − −

[?x, x ⊥] ? −

− − − − − − −

?x, [x ⊥] ⊕2 −

− − − − − − − − − − − − − −

?x ⊕ ?x, [x ⊥]

& −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

?x ⊥ ⊕ ?x, [x & x ⊥] ! −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

?x ⊥ ⊕ ?x, !(x & x ⊥)