Chapter 8 Binomial and Geometric Distribu7ons 8.2 - - PDF document

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Chapter ¡8 ¡

Binomial ¡and ¡Geometric ¡Distribu7ons ¡

• 8.2 Geometric Distributions

Binomial and Geometric Random Variables

• Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution

Children’s cereals sometimes contain prizes. Imagine that packages of Chocolate- Coated Sugar Bombs contain one of three baseball cards: Mark McGwire, Sammy Sosa, or Barry Bonds. Shak wanted to get a Sammy Sosa card and had to buy eight boxes until getting his desired card. Shak feels especially unlucky. Should Shak consider himself especially unlucky? On average, how many boxes would a person have to buy to get the Sammy Sosa card?

In this activity, you will become familiar with the geometric distribution, including the shape of the distribution and how to find its mean.

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Binomial and Geometric Random Variables

• Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution
• 1. Roll ¡your ¡die: ¡ ¡If ¡the ¡side ¡with ¡1 ¡or ¡2 ¡dots ¡lands ¡up, ¡this ¡will ¡represent ¡the ¡event ¡
• f ¡buying ¡a ¡box ¡of ¡Chocolate-­‑Coated ¡Sugar ¡Bombs ¡and ¡ge@ng ¡a ¡Sammy ¡Sosa ¡
• card. ¡ ¡If ¡one ¡of ¡the ¡other ¡sides ¡lands ¡on ¡top, ¡roll ¡again. ¡ ¡Count ¡the ¡number ¡of ¡

rolls ¡unBl ¡you ¡get ¡a ¡1 ¡or ¡2. ¡

• Add ¡to ¡the ¡class ¡histogram ¡showing ¡the ¡number ¡of ¡rolls ¡it ¡took ¡to ¡get ¡

your ¡first ¡Sammy ¡Sosa ¡card. ¡ ¡(Do ¡this ¡10 ¡Bmes ¡and ¡record ¡each ¡on ¡the ¡ class ¡histogram ¡so ¡that ¡we ¡have ¡more ¡data.) ¡

• Describe ¡the ¡shape ¡of ¡this ¡distribuBon. ¡
• What ¡was ¡the ¡average ¡number ¡of ¡“boxes” ¡purchased ¡to ¡get ¡a ¡Sammy ¡

Sosa ¡card? ¡

• EsBmate ¡the ¡chance ¡that ¡Shak ¡would ¡have ¡to ¡buy ¡eight ¡or ¡more ¡boxes ¡to ¡

get ¡his ¡card. ¡

• What ¡assumpBons ¡did ¡you ¡make ¡in ¡this ¡simulaBon ¡about ¡the ¡

distribuBon ¡of ¡prizes? ¡ ¡Do ¡you ¡think ¡they ¡are ¡reasonable ¡ones? ¡

Binomial and Geometric Random Variables

• Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution
• 1. Roll ¡your ¡die: ¡
• 2. Doubles: ¡ ¡In ¡some ¡games, ¡a ¡player ¡must ¡roll ¡doubles ¡before ¡conBnuing, ¡such ¡

as ¡when ¡in ¡jail ¡in ¡Monopoly. ¡ ¡Use ¡a ¡pair ¡of ¡dice ¡or ¡random ¡numbers ¡to ¡ simulate ¡rolling ¡a ¡pair ¡of ¡dice. ¡ ¡Count ¡the ¡number ¡of ¡rolls ¡unBl ¡you ¡get ¡

• doubles. ¡
• Add ¡your ¡informaBon ¡to ¡the ¡class ¡histogram ¡of ¡the ¡number ¡of ¡rolls ¡our ¡

class ¡required ¡to ¡roll ¡doubles. ¡ ¡(Do ¡this ¡10 ¡Bmes, ¡too.) ¡

• Describe ¡the ¡shape ¡of ¡the ¡distribuBon. ¡
• What ¡was ¡the ¡average ¡number ¡of ¡rolls ¡required? ¡

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Binomial and Geometric Random Variables

• Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution
• 1. Roll ¡your ¡die: ¡
• 2. Doubles: ¡
• 3. Wai5ng ¡Time ¡Distribu5on: ¡ ¡In ¡steps ¡1 ¡& ¡2, ¡you ¡constructed ¡a ¡waiBng-­‑Bme ¡

distribuBon ¡using ¡simulaBon. ¡ ¡Now ¡construct ¡a ¡theoreBcal ¡waiBng-­‑Bme ¡ distribuBon ¡for ¡ge@ng ¡a ¡different ¡cereal ¡prize. ¡ ¡Boxes ¡of ¡Post’s ¡Coca ¡Pebbles ¡ recently ¡contained ¡one ¡of ¡four ¡endangered ¡animal ¡sBckers: ¡ ¡a ¡parrot, ¡an ¡ African ¡elephant, ¡a ¡Bger, ¡or ¡a ¡crocodile. ¡ ¡Suppose ¡4096 ¡children ¡want ¡a ¡ sBcker ¡of ¡a ¡parrot. ¡

• How ¡many ¡of ¡them ¡would ¡you ¡expect ¡to ¡get ¡a ¡parrot ¡in ¡the ¡first ¡box ¡of ¡

Cocoa ¡Pebbles ¡they ¡buy? ¡ ¡What ¡assumpBons ¡are ¡you ¡making? ¡

• How ¡many ¡children ¡do ¡you ¡expect ¡will ¡have ¡to ¡buy ¡a ¡second ¡box? ¡
• How ¡many ¡of ¡them ¡do ¡you ¡expect ¡will ¡get ¡a ¡parrot ¡in ¡the ¡second ¡box? ¡

Binomial and Geometric Random Variables

• Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution
• 1. Roll ¡your ¡die: ¡
• 2. Doubles: ¡
• 3. WaiBng ¡Time ¡DistribuBon: ¡
• 4. Fill ¡in ¡the ¡following ¡table: ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

• Make ¡a ¡histogram ¡of ¡the ¡theoreBcal ¡waiBng-­‑Bme ¡distribuBon. ¡
• The ¡height ¡of ¡each ¡bar ¡of ¡the ¡histogram ¡is ¡what ¡proporBon ¡of ¡the ¡height ¡
• f ¡the ¡bar ¡to ¡its ¡lea? ¡
• What ¡is ¡the ¡average ¡number ¡of ¡boxes ¡purchased? ¡ ¡ ¡

Number of Boxes Purchased to get first Parrot Sticker Number of Children 1 … 20

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Binomial and Geometric Random Variables

• Waiting for Sammy Sosa – geometric distribution
• Wrap-Up
• 1. Describe the shape of a waiting-time (geometric) distribution for a given

probability p of success on each trial. Will the first bar in a waiting-time distribution always be the highest? Why or why not? The height of each bar is what proportion of the height of the bar to its left?

• 2. What are some other situations that can be modeled by a waiting-time

distribution?

Binomial and Geometric Random Variables

• Geometric Settings

In a binomial setting, the number of trials n is fixed and the binomial random variable X counts the number of successes. In other situations, the goal is to repeat a chance behavior until a success occurs. These situations are called geometric settings.

Defini7on: ¡

A ¡geometric ¡se;ng ¡arises ¡when ¡we ¡perform ¡independent ¡trials ¡of ¡the ¡same ¡chance ¡ process ¡and ¡record ¡the ¡number ¡of ¡trials ¡un;l ¡a ¡par;cular ¡outcome ¡occurs. ¡The ¡four ¡ condi;ons ¡for ¡a ¡geometric ¡se?ng ¡are ¡

• Binary? The possible outcomes of each trial can be classified as

“success” or “failure.”

• ¡Independent? ¡Trials ¡must ¡be ¡independent; ¡that ¡is, ¡knowing ¡the ¡result ¡of ¡one ¡

trial ¡must ¡not ¡have ¡any ¡effect ¡on ¡the ¡result ¡of ¡any ¡other ¡trial. ¡

• ¡Trials? ¡The ¡goal ¡is ¡to ¡count ¡the ¡number ¡of ¡trials ¡un;l ¡the ¡first ¡success ¡occurs. ¡
• Success? On each trial, the probability p of success must be the

same.

B I T S

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Binomial and Geometric Random Variables

• Geometric Random Variable

In a geometric setting, if we define the random variable Y to be the number of trials needed to get the first success, then Y is called a geometric random variable. The probability distribution of Y is called a geometric distribution.

Definition:

The number of trials Y that it takes to get a success in a geometric setting is a geometric random variable. The probability distribution of Y is a geometric distribution with parameter p, the probability of a success on any trial. The possible values of Y are 1, 2, 3, …. Note: Like binomial random variables, it is important to be able to distinguish situations in which the geometric distribution does and doesn’t apply!

• Example: The Birthday Game
• Ms. Raskin is planning to give you 10 problems for homework. As an alternative, you can agree to play the Birthday
• Game. Here’s how it works. A student will be selected at random from the class and asked to guess the day of the

week on which Ms. Raskin’s best friend was born. If the student guesses correctly, the class will have only one homework problem. If the student guesses the wrong day of the week, Ms. Raskin will once again select a student from the class at random. The chosen student will try to guess the day of the week on which a different one of Ms. Raskin’s many friends was born. If this student gets it right, the class will have two homework problems. The game continues until a student correctly guesses the day on which one of Ms. Raskin’s many friends was born.

• Ms. Raskin will assign a number of

homework problems that is equal to the total number of guesses made by members of the class. Are you ready to play the Birthday Game?

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• Example: The Birthday Game

The random variable of interest in this game is Y = the number of guesses it takes to correctly identify the birth day of one of your teacher’s friends. What is the probability the first student guesses correctly? The second? Third? What is the probability the kth student guesses correctly? Verify that Y is a geometric random variable.

P(Y =1) =1/7

B: Success = correct guess, Failure = incorrect guess I: The result of one student’s guess has no effect on the result of any other guess. T: We’re counting the number of guesses up to and including the first correct guess. S: On each trial, the probability of a correct guess is 1/7.

Calculate P(Y = 1), P(Y = 2), P(Y = 3), and P(Y = k)

P(Y = 2) = (6/7)(1/7) = 0.1224 P(Y = 3) = (6/7)(6/7)(1/7) = 0.1050

NoBce ¡the ¡pabern? ¡ If Y has the geometric distribution with probability p of success on each trial, the possible values of Y are 1, 2, 3, … . If k is any one of these values,

P(Y = k) = (1− p)

k−1 p

Geometric ¡Probability ¡

• Example: Monopoly

In the board game Monopoly, one way to get out of jail is to roll doubles. How likely is it that someone in jail would roll doubles on his first, second, or third attempt? If this was the only way to get out of jail, how many turns would it take, on average? The random variable of interest in this game is Y = the number of attempts it takes to roll doubles once. What is the probability of rolling doubles the first attempt? The second? Third? What is the probability of rolling doubles on the kth attempt?

Verify that Y is a geometric random variable.

P(Y =1) =1/6

B: Success = roll doubles, Failure = not rolling doubles I: The result of one roll has no effect on other rolls. T: We’re counting the number of rolls up to and including the first doubles roll. S: On each trial, the probability of a correct guess is 1/6.

Calculate P(Y = 1), P(Y = 2), P(Y = 3), and P(Y = k)

P(Y = 2) = (5/6)(1/6) = 0.13889 P(Y = 3) = (5/6)(5/6)(1/6) = 0.11574

NoBce ¡the ¡pabern? ¡ If Y has the geometric distribution with probability p of success on each trial, the possible values of Y are 1, 2, 3, … . If k is any one of these values,

P(Y = k) = (1− p)

k−1 p

Geometric ¡Probability ¡

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• Mean of a Geometric Distribution

The table below shows part of the probability distribution of Y. We can’t show the entire distribution because the number of trials it takes to get the first success could be an incredibly large number.

Binomial and Geometric Random Variables

Shape: The heavily right-skewed shape is characteristic of any geometric distribution. That’s because the most likely value is 1. Center: The mean of Y is µY = 7. We’d expect it to take 7 guesses to get our first success. Spread: The standard deviation of Y is σY = 6.48. If the class played the Birth Day game many times, the number of homework problems the students receive would differ from 7 by an average of 6.48.

yi 1 2 3 4 5 6 … pi 0.143 0.122 0.105 0.090 0.077 0.066

If Y is a geometric random variable with probability p of success on each trial, then its mean (expected value) is E(Y) = µY = 1/p.

Mean ¡(Expected ¡Value) ¡of ¡Geometric ¡Random ¡Variable ¡

• Geometric Probability on the Calculator

geometpdf(n,p,k) computes P(Y = k) geometcdf(n,p,k) computes P(Y < k)

Binomial and Geometric Random Variables

TI-83/84: These commands are found in the distributions menu (2nd/VARS) TI-89: These commands are found in CATALOG under Flash Apps For the Birthday Game with probability of success p = 1/7 on each trial: P(Y = 10) = geometpdf(1/7, 10) = 0.0356763859 To find P(Y < 10) = geometcdf(1/7, 10) = 0.7502652985

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Binomial and Geometric Random Variables

In this section, we learned that…

ü A binomial setting consists of n independent trials of the same chance process, each resulting in a success or a failure, with probability of success p on each trial. The count X of successes is a binomial random variable. Its probability distribution is a binomial distribution. ü The binomial coefficient counts the number of ways k successes can be arranged among n trials. ü If X has the binomial distribution with parameters n and p, the possible values of X are the whole numbers 0, 1, 2, . . . , n. The binomial probability of observing k successes in n trials is Summary P(X = k) = n k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ pk(1− p)n−k

Binomial and Geometric Random Variables

In this section, we learned that…

ü The mean and standard deviation of a binomial random variable X are ü The Normal approximation to the binomial distribution says that if X is a count having the binomial distribution with parameters n and p, then when n is large, X is approximately Normally

• distributed. We will use this approximation when np ≥ 10 and n(1 -

p) ≥ 10. Summary

µX = np σ X = np(1− p)

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Binomial and Geometric Random Variables

In this section, we learned that…

ü A geometric setting consists of repeated trials of the same chance process in which each trial results in a success or a failure; trials are independent; each trial has the same probability p of success; and the goal is to count the number of trials until the first success occurs. If Y = the number of trials required to obtain the first success, then Y is a geometric random variable. Its probability distribution is called a geometric distribution. ü If Y has the geometric distribution with probability of success p, the possible values of Y are the positive integers 1, 2, 3, . . . . The geometric probability that Y takes any value is ü The mean (expected value) of a geometric random variable Y is 1/p. Summary

P(Y = k) = (1− p)

k−1 p