Chapter 4 Extra Examples: Solving Systems + Determining Rank - PowerPoint PPT Presentation

Chapter 4 Extra Examples: Solving Systems + Determining Rank Chapter 4

Example 1     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 2 4 0 0 2 0 0 8 8 − 8 R 2 ′ = R 2 − 2 R 1     − − − − − − − − →     2 3 2 1 5 2 3 2 1 5     − 1 1 3 6 5 − 1 1 3 6 5     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 0 0 8 8 − 8 0 0 8 8 − 8 R 3 ′ = R 3 − 2 R 1     − − − − − − − − →     2 3 2 1 5 0 − 1 10 9 − 5     − 1 1 3 6 5 − 1 1 3 6 5 Chapter 4

Example 1     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 0 0 8 8 − 8 0 0 8 8 − 8 R 4 ′ = R 4 + R 1     − − − − − − − →     0 − 1 10 9 − 5 0 − 1 10 9 − 5     − 1 1 3 6 5 0 3 − 1 2 10     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 0 0 8 8 − 8 0 − 1 10 9 − 5 R 2 ↔ R 3     − − − − →     0 − 1 10 9 − 5 0 0 8 8 − 8     0 3 − 1 2 10 0 3 − 1 2 10 Chapter 4

Example 1     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 0 − 1 10 9 − 5 0 − 1 10 9 − 5 R 4 ′ = R 4 + 3 R 2     − − − − − − − − →     0 0 8 8 − 8 0 0 8 8 − 8     0 3 − 1 2 10 0 0 29 29 − 5     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 R 3 ′ = 1 0 − 1 10 9 − 5 8 R 3 0 − 1 10 9 − 5     − − − − − →     0 0 8 8 − 8 0 0 1 1 − 1     0 0 29 29 − 5 0 0 29 29 − 5 Chapter 4

Example 1     1 2 − 4 − 4 5 1 2 − 4 − 4 5 0 − 1 10 9 − 5 0 − 1 10 9 − 5 R 4 ′ = R 4 − 29 R 3     − − − − − − − − →     0 0 1 1 − 1 0 0 1 1 − 1     0 0 29 29 − 5 0 0 0 0 24 Inconsistent Chapter 4

Example 1   1 2 − 4 − 4 5 0 -1 10 9 − 5       0 0 1 1 − 1   0 0 0 0 24 3 Pivots = ⇒ Rank of coefficient matrix is 3 (NOT full rank) Chapter 4

Example 2     1 − 1 − 1 2 1 1 − 1 − 1 2 1 R 2 ′ = R 2 − 2 R 1 R 3 ′ = R 3 + R 1 2 − 2 − 1 3 3 − − − − − − − − → 0 0 1 − 1 1     − 1 1 − 1 0 − 3 0 0 − 2 2 − 2     1 − 1 − 1 2 1 1 − 1 − 1 2 1  R 3 ′ = R 3 + 2 R 2 0 0 1 − 1 1 − − − − − − − − → 0 0 1 − 1 1    0 0 − 2 2 − 2 0 0 0 0 0 Chapter 4

Example 2     1 − 1 − 1 2 1 1 − 1 0 1 2  R 1 ′ = R 1 + R 2 0 0 1 − 1 1 − − − − − − − → 0 0 1 − 1 1    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Reduced Row Echelon Form 2 Pivots = ⇒ Rank of coefficient matrix is 2 Chapter 4

Example 2   1 − 1 0 1 2 0 0 1 − 1 1   0 0 0 0 0 2 free variables, x 2 and x 4 Next, write the pivot column variables in terms of free variables: 2 x 1 − x 2 + x 4 = x 3 − x 4 1 = ⇓ x 2 − x 4 + 2 x 1 = x 3 x 4 + 1 = Chapter 4

Example 2 x 2 − x 4 + 2 x 1 = x 3 x 4 + 1 = Let x 2 = s and x 4 = t . Then we have     x 1 s − t + 2 x 2 s      =     x 3 t + 1    x 4 t or         1 − 1 2 x 1 x 2 1 0 0          = s  + t  +         0 1 1 x 3      x 4 0 1 0 Chapter 4