Chapter 11 Design of Control Systems - - PowerPoint PPT Presentation

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 1 240-209 : Design of control systems

Chapter 11

Design of Control Systems

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 2 240-209 : Design of control systems

Outline

1 P Controller 2 Phase-Lead Controller

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 3 240-209 : Design of control systems

Introduction

Design Specifications : 1 Relative Stability 2 Steady-State Error 3 Transient Response 4 Frequency Response Characteristics

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 4 240-209 : Design of control systems

Time Domain Specifications :

• Steady-State Error
• Maximum Overshoot
• Rise Time
• Setting Time

Frequency Domain Specification :

• Gain Margin
• Phase Margin

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 5 240-209 : Design of control systems

Controller Configuration

One degree of freedom :

1 Cascade (Series) Compensation 2 Feedback Compensation 3 State Feedback Compensation Two degree of freedom : 1 Series-Feedback Compensation 2 Feedforward Compensation

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 6 240-209 : Design of control systems

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 7 240-209 : Design of control systems

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 8 240-209 : Design of control systems

Fundamental Principle of design :

1 Choose a controller configuration

2 Choose a controller type that will be satify all design specification 3 Choose the controller parameters

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 9 240-209 : Design of control systems

Useful Time- and Frequency-Domain Characteristics

1 Complex-conjugate poles of the closed-loop transfer function lead to a step response that is

• underdamped. If all system poles are real, the

step response are overdamped. However, zeros

• f the closed-loop transfer function may cause
• vershoot even if the system is overdamped.

2 The response of the system is dominated by those poles closest to the origin in the s-plane. Transient due to those poles farther to the left decay faster.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 10 240-209 : Design of control systems

3 The farther to the left the in the s-plane the system's dominant poles are, the faster the system will response and the greater its bandwidth will be. 4 The farther to the left in the s-plane the system's dominant poles are, the more expensive it will be and the larger its internal signals will be.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 11 240-209 : Design of control systems

5 When a pole and zero of a system transfer function nearly cancel each other, the portion of the system response associated with the pole will have a small magnitude. 6 Time- and frequency-domain specifications are loosely associated with each other. Rise time and bandwidth are inversely proportional. Phase margin, gain margin and damping are inversely proportional.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 12 240-209 : Design of control systems

Bode plots showing gain adjustment for a desired phase margin

Transient Response via Gain Adjustment

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 13 240-209 : Design of control systems

Phase-Lead Compensator

Transfer function

G cs=K 1aTs 1Ts T 0 a1

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 14 240-209 : Design of control systems

Time-Domain Interpretation and Design of Phase-Lead Control

Guidelines for design 1 Moving the zero -1/aT toward the original should improve rise and settling times. If the zero is moved too close to the origin, the maximum

• vershoot may again increase since -1/aT also

appears as a zero of the closed-loop transfer function. 2 Moving the pole at -1/T farther away from the zero and the origin should reduce the maximum

• vershoot, but if the value of T is too small, rise

and settling times will again increase.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 15 240-209 : Design of control systems

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 16 240-209 : Design of control systems

Effect of Phase-Lead control on the time- domain performance

1 When used properly, it can increase damping

• f the system.

2 Improve rise and settling times 3 If K=1, Phase-Lead control dose not affect the steady-state error.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 17 240-209 : Design of control systems

Frequency-Domain Interpretation and Design

• f Phase-Lead Control

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 18 240-209 : Design of control systems

Guidelines for design

1 The Bode diagram of the uncompensated system G(jω) is constructed with the gain constant K set according to the steady- state error requirement. The value of K has to be adjusted upward once the value

• f a is determined.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 19 240-209 : Design of control systems

2 The phase margin and the gain margin of the uncompensated system are determined, and the additional amount of phase lead need to realize the phase margin is determined. From the addtional phase lead required, the desired value

• f φm is estimated accordingly, and the value
• f a is calculated from

a=1sinm 1­sinm m=1­1.2mreq.­msys.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 20 240-209 : Design of control systems

3 Once a is determined, it is necessary to determine the value of T. This is accomplished by placing the coner frequencies of the phase lead controller such that φm is located at the new gain-crossover frequency, so that the phase margin of the compensated system is benifited by φm. we need to place a new gain crossover at ωm, which is the geometric mean of 1/aT and 1/T, the frequency where |G(jω)| = -10log a dB, so that adding the controller gain of 10log a dB to this makes the magnitude curve go through 0 dB at ωm

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 21 240-209 : Design of control systems

4 The Bode diagram of the forward-path transfer function of the conpensated system is investigated to check that all performance specifications are met. If not, a new value of φm must be chosen and the steps repeated.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 22 240-209 : Design of control systems

Effect of Phase-Lead Compensation

1 The Phase-lead controller adds a zero and pole, with the zero to the right of the pole, to the forward- path transfer function. The general effect is to add more damping to the closed-loop system. The rise and settling times are reduced in general. 2 The phase of the forward-path transfer function in the vicinity of the gain-crossover frequency is increased. This improves the phase margin of the closed-loop system.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 23 240-209 : Design of control systems

3 The slope of the magnitude curve of the Bode plot of the forward-path transfer function is reduced at the gain crossover frequency. This usually corresponds to an improvement in the relative stability of the system in the form of improved gain and phase margins. 4 The bandwidth of the closed-system is

• increased. The corresponds to faster time

response. 5 The steady-state error of the system is not affected.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 24 240-209 : Design of control systems

Example 8.4

Consider the model of the sun-seeker control

• system. The forward-path transfer function of the

system is given by

G s=s As =2500 K ss25

From Example 10.6 B. KUO

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 25 240-209 : Design of control systems

Specification

• Steady-state error due to unit-ramp function <= 0.01
• Phase margin >= 45 degree

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 26 240-209 : Design of control systems

Frequency Domain Design

1 Mininum value of the gain,K, is determinated

K v=lim

s 0

sG s=100 K ess= 1 K v = 0.01 K K≥1

Let K=1

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 27 240-209 : Design of control systems

2 Plot Bode diagram with K=1.

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 28 240-209 : Design of control systems

3 The phase margin of the uncompensated system, read at the gain-crossover frequency, ωg = 47 rad/sec, is 32 degree. 4 In view of the difficulty estimating the necessary amount of phase lead, it is essential to include some safety margin to account for the inevitable phase drop-off. In this case, let φm =25 degree. We have

a=1sin 25



1­sin 25



ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 29 240-209 : Design of control systems

5 To determine the proper location of the two corner frequencies, 1/aT and 1/T, of the controller, it is known that the maximum phase lead φm occurs at the geometric mean

• f the two corner frequencies. To achieve the

maximum phase margin with the value of a determined, φm should occur at the new gain-crossover frequency ω'g by

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 30 240-209 : Design of control systems

(a) The high frequency gain of the phase-lead controller is 20 log a = 20 log 2.46 = 7.82 dB (b) The geometric mean ωm of the two corner frequencies 1/aT and 1/T should be located at the frequency at which the magnitude of the uncompensated process transfer function G(s) in dB is equal to the negative value in dB of one-half of this gain. This way, the magnitude curve of the compensated transfer function will pass through the 0-dB axis at ω = ωm. Thus ωm should be located at the frequency where

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 31 240-209 : Design of control systems

|G(jω)|dB = -10log 2.46 = -3.91 dB This frequency id found to be ωm = 60 rad/sec.

1/T =a m=2.46×60=94.1

rad/sec

The transfer function of the phase-lead controller is

G cs= 0.026s1 0.011s1

ผู้เรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ์ แก้ไข 2 กุมภาพันธ์ 2548 หน้า 32 240-209 : Design of control systems