Algorithmic Game Theory T HANKS TO P ROF . J ASON H - - PDF document

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Algorithmic ¡Game ¡Theory ¡

¡ ¡ ¡

THANKS ¡TO ¡PROF. ¡JASON ¡HARTLINE ¡AND ¡PROF. ¡NICOLE ¡IMMORLICA ¡FOR ¡THE ¡USE ¡OF ¡THEIR ¡SLIDES. ¡

The ¡investment ¡game ¡ The ¡investment ¡game ¡

Experiment: ¡You ¡have ¡2 ¡points. ¡You ¡may ¡invest ¡one ¡of ¡ your ¡points ¡in ¡the ¡community. ¡ ¡ ¡1. ¡We ¡will ¡hand ¡out ¡a ¡small ¡piece ¡of ¡paper. ¡Write ¡your ¡ name ¡and ¡whether ¡you ¡wish ¡to ¡invest ¡or ¡save ¡on ¡the ¡

• paper. ¡DO ¡NOT ¡SHOW ¡ANYONE. ¡

¡2. ¡Pass ¡the ¡paper ¡to ¡the ¡TA. ¡ ¡We ¡will ¡match ¡the ¡contribuSons ¡at ¡50% ¡(hence ¡every ¡ invested ¡point ¡becomes ¡1.5 ¡points) ¡and ¡then ¡ redistribute ¡the ¡points ¡evenly ¡among ¡everyone. ¡

How ¡do ¡we ¡play ¡games? ¡

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What ¡is ¡a ¡game? ¡

A ¡set ¡of ¡players, ¡their ¡ possible ¡strategies, ¡ and ¡a ¡funcSon ¡ relaSng ¡strategy ¡ choices ¡to ¡payoffs. ¡

I’m ¡Ms. ¡

• Column. ¡ ¡Let’s ¡

play ¡a ¡game! ¡

Normal-­‑form ¡games ¡

two ¡players ¡

Hi, ¡my ¡name ¡ is ¡Mr. ¡Row. ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡
• Mr. ¡Row ¡and ¡Ms. ¡Column ¡each ¡

have ¡4 ¡quarters ¡to ¡invest. ¡

2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

Invest ¡ Save ¡

Column ¡strategies ¡

2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡

9/29/11 ¡ 3 ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

Row ¡strategies ¡

2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

( ¡? ¡, ¡ ¡? ¡) ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

Investments ¡

( ¡? ¡, ¡ ¡? ¡) ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

Returns ¡

( ¡3 ¡, ¡ ¡7 ¡) ¡ ( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

Payoff ¡matrix. ¡

2-­‑player ¡Investment ¡Game ¡

( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

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Game ¡Theory ¡

Given ¡a ¡game, ¡can ¡we ¡predict ¡ ¡ which ¡strategies ¡the ¡players ¡will ¡play? ¡

If ¡Column ¡invests, ¡I ¡am ¡ beder ¡off ¡not ¡invesSng. ¡ If ¡Column ¡doesn’t ¡ invest, ¡I ¡am ¡sSll ¡beder ¡

• ff ¡not ¡invesSng. ¡

I ¡SHOULD ¡NOT ¡INVEST! ¡ Same ¡here! ¡

What ¡should ¡row ¡do? ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

PredicSon: ¡Players ¡will ¡end ¡up ¡ not ¡invesSng. ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡ ( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡

Conclusion ¡

In ¡Investment ¡Game: ¡best ¡strategy ¡is ¡to ¡save, ¡ ¡ ¡... ¡no ¡mader ¡what ¡other ¡player ¡does. ¡ This ¡is ¡a ¡dominant ¡strategy ¡equilibrium. ¡

Conclusion ¡

In ¡Investment ¡Game: ¡best ¡strategy ¡is ¡to ¡save, ¡ ¡ ¡... ¡no ¡mader ¡what ¡other ¡player ¡does, ¡ ¡ ¡... ¡even ¡though ¡it ¡is ¡highly ¡sub-­‑opSmal! ¡

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( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

Social ¡OpSmum ¡

( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

Social ¡opSmum: ¡Each ¡player ¡ gets ¡2 ¡more ¡quarters ¡than ¡in ¡ equilibrium! ¡

( ¡6 ¡, ¡6 ¡) ¡

Invest ¡ Save ¡ Save ¡ Invest ¡

Price ¡of ¡anarchy ¡

( ¡7 ¡, ¡3 ¡) ¡ ( ¡4 ¡, ¡4 ¡) ¡ ( ¡3 ¡, ¡7 ¡) ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Ms. ¡Column ¡

How ¡societal ¡value ¡much ¡is ¡lost ¡ due ¡to ¡lack ¡of ¡coordinaSon? ¡ Total ¡val. ¡in ¡equil.: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡8q ¡ Total ¡val. ¡in ¡soc. ¡opt.: ¡12q ¡ PoA: ¡ ¡ ¡ ¡2/3 ¡

What ¡did ¡we ¡do? ¡

Results ¡of ¡our ¡investment ¡game. ¡

Dominant ¡strategies ¡

What ¡do ¡you ¡think ¡of ¡this ¡predicSon? ¡

Dominant ¡ ¡Strategy ¡Equilibrium: ¡ ¡ ¡Each ¡player’s ¡ ¡strategy ¡is ¡her ¡best ¡choice ¡ ¡no ¡mader ¡ ¡what ¡her ¡opponent ¡does. ¡

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John ¡Nash ¡

Movie ¡Time ¡

The ¡daSng ¡game ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

( ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

( ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡ ( ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡ ( ¡ ¡ ¡, ¡ ¡ ¡) ¡

A ¡blonde ¡and ¡two ¡brunedes ¡ ¡ are ¡siing ¡in ¡the ¡computer ¡lab ¡… ¡

The ¡daSng ¡game ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡

A ¡blonde ¡and ¡two ¡brunedes ¡ ¡ are ¡siing ¡in ¡the ¡computer ¡lab ¡… ¡

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The ¡daSng ¡game ¡

If ¡Column ¡goes ¡for ¡the ¡blonde, ¡ Row ¡is ¡beder ¡off ¡going ¡for ¡the ¡

• brunede. ¡
• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡

The ¡daSng ¡game ¡

But ¡if ¡Column ¡goes ¡for ¡the ¡ brunede, ¡Row ¡definitely ¡wants ¡ to ¡go ¡for ¡the ¡blonde. ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡

The ¡daSng ¡game ¡

There ¡is ¡no ¡dominant ¡ strategy ¡equilibrium! ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

The ¡daSng ¡game ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

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How ¡to ¡play ¡the ¡daSng ¡game? ¡

What ¡did ¡you ¡do? ¡

How ¡to ¡play ¡the ¡daSng ¡game? ¡

If ¡you ¡think ¡the ¡compeSSon ¡is ¡going ¡to ¡go ¡for ¡ the ¡blonde, ¡then ¡go ¡for ¡the ¡brunedes. ¡ …but ¡if ¡you ¡think ¡the ¡compeSSon ¡will ¡go ¡for ¡the ¡ brunedes, ¡go ¡for ¡the ¡blonde! ¡

Nash ¡equilibria ¡

Each ¡person ¡is ¡playing ¡a ¡mutual ¡best-­‑response. ¡ This ¡is ¡a ¡Nash ¡equilibrium. ¡ ( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunede ¡ Brunede ¡ Blonde ¡

The ¡daSng ¡game ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

Nash ¡Equilibria ¡of ¡the ¡daSng ¡game ¡ Are ¡there ¡any ¡other ¡equilibria? ¡

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An ¡XKCD ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡Let’s ¡look ¡at ¡

( ¡0 ¡, ¡0 ¡) ¡

Blonde ¡ Brunedes ¡ Brunedes ¡ Blonde ¡

Another ¡possibility ¡

( ¡1 ¡, ¡2 ¡) ¡ ( ¡1 ¡, ¡1 ¡) ¡ ( ¡2 ¡, ¡1 ¡) ¡

• Mr. ¡Row ¡
• Mr. ¡Column ¡

RandomizaSon: ¡ Each ¡player ¡flips ¡a ¡fair ¡coin ¡to ¡ decide ¡whether ¡to ¡chat ¡up ¡ the ¡blonde ¡or ¡the ¡brunedes. ¡

1/2 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡ 1/2 ¡

Nash ¡Equilibria ¡

Nash ¡Equilibrium: ¡ ¡ ¡Each ¡player’s ¡strategy ¡is ¡a ¡best-­‑response ¡ ¡to ¡the ¡strategies ¡of ¡his ¡opponents. ¡

(“mixed” ¡if ¡playing ¡probabilisScally, ¡else ¡“pure”) ¡

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Nash ¡Equilibria ¡

What ¡do ¡you ¡think ¡of ¡this ¡predicSon? ¡

ObjecSon ¡#1 ¡to ¡Nash ¡equilibria ¡

There ¡may ¡be ¡many ¡Nash ¡equilibria. ¡

Next ¡Sme ¡

Zero ¡sum ¡games ¡