0 Regression Model Development and Yet Another Regression Function - - PowerPoint PPT Presentation

Regression Model Development and Yet Another Regression Function Werner Stahel Seminar f¨ ur Statistik, ETH Z¨ urich useR 2008, Dortmund

1 Data Analysis ... needs a system that gives MORE support. I show you such a system for regression models Regression ... is 80% of statistics that is worthwile. Model checking and often model development is needed. Overview of talk: Example, conclusions

2 Example Blasting for tunnel excavation. Tremor in a house (meas.site) must not exceed a threshold. Need a forecast of tremor target variable, from distance between blasting site and measurement location charge and location house (factor)

3

> showd(d.blast) charge distance tremor location 1 0.952 44 2.93 loc5 98 0.952 69 1.76 loc1 195 0.952 108 0.62 loc6 316 7.072 93 5.15 loc3 50 5.493 36 21.34 loc2 171 5.285 46 10.19 loc8 388 3.952 77 3.95 loc3

Yes, this is the data I wanted. −

→ Regression! r.blast.lm0 <- lm(tremor~location+distance+charge, data=d.blast) plot(r.blast.lm0)

4

−4 −2 2 4 6 8 10 12 14 −5 5 10 Fitted values Residuals

Residuals vs Fitted

123 184 43

−3 −2 −1 1 2 3 −2 2 4 Theoretical Quantiles Standardized residuals

Normal Q−Q

123 184 43

−4 −2 2 4 6 8 10 12 14 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Fitted values Standardized residuals

Scale−Location

123 184 43

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 −2 2 4 Leverage Standardized residuals Cook’s distance

Residuals vs Leverage

184 97 123

lm(tremor ~ location + distance + charge)

5 Wrong model! Take logs of tremor, distance, charge!

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 Fitted values Residuals

Residuals vs Fitted

112 97 170

−3 −2 −1 1 2 3 −6 −4 −2 2 Theoretical Quantiles Standardized residuals

Normal Q−Q

112 97 170

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Fitted values Standardized residuals

Scale−Location

112 97 170

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 −6 −4 −2 2 Leverage Standardized residuals Cook’s distance

0.5

Residuals vs Leverage

97 112 170

lm(log10(tremor) ~ location + log10(distance) + log10(charge))

6 Using regr!

r.blast <- regr(log10(tremor)~location+ log10(distance)+log10(charge), data=d.blast)

Fitted Values res( Y ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 −0.2 0.0 0.2

+ + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + + + + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 328 + + + + + + + + + + + + + + + + 345 + + + + + + + + + 355 + + + 359 360 + +

log10(tremor)~location + log10(distance) + log10(charge)

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

Fitted Values | st.res( Y ) | 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1 2 3 4 5 6

+ + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + + + + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 328 + + + + + + + + + + + + + + + + 345 + + + + + + + + + 355 + + + 359 360 + +

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

−3 −2 −1 1 2 3 −6 −4 −2 2 Theoretical Quantiles st.res( Y ) 50 359 272 360 15 27 13 25 296 14 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 345 98 355 328 264 90 290 8 6094

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

hat diagonal st.res( Y ) 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 −1.5 −0.5 0.5 1.5

1 + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + ++ + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 327 328 + + 331 + + + 335 + + + 339 + + + 343 + 345 + 347 + + + 351 + + + 355 + + + 359 360 + +

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

7

Fitted Values res( Y ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 −0.2 0.0 0.2

+ + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + + + + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 328 + + + + + + + + + + + + + + + + 345 + + + + + + + + + 355 + + + 359 360 + +

log10(tremor)~location + log10(distance) + log10(charge)

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

Fitted Values | st.res( Y ) | 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1 2 3 4 5 6

+ + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + + + + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 328 + + + + + + + + + + + + + + + + 345 + + + + + + + + + 355 + + + 359 360 + +

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

−3 −2 −1 1 2 3 −6 −4 −2 2 Theoretical Quantiles st.res( Y ) 50 359 272 360 15 27 13 25 296 14 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 345 98 355 328 264 90 290 8 6094

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

hat diagonal st.res( Y ) 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 −1.5 −0.5 0.5 1.5

1 + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + ++ + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 327 328 + + 331 + + + 335 + + + 339 + + + 343 + 345 + 347 + + + 351 + + + 355 + + + 359 360 + +

Aug 11,00/3:02 | regr demo | blasting

– Reference line Y = constant – show outliers in plot margin – stamp: project, step, date

8 Deviations“significant” ?

8 Deviations“significant” ?

Fitted Values res( Y ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 −0.2 0.0 0.2

+ + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + + + + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 328 + + + + + + + + + + + + + + + + 345 + + + + + + + + + 355 + + + 359 360 + +

log10(tremor)~location + log10(distance) + log10(charge)

Aug 11,00/3:04 | regr demo | blasting

Fitted Values | st.res( Y ) | 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1 2 3 4 5 6

+ + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + + + + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 328 + + + + + + + + + + + + + + + + 345 + + + + + + + + + 355 + + + 359 360 + +

Aug 11,00/3:04 | regr demo | blasting

−3 −2 −1 1 2 3 −6 −4 −2 2 Theoretical Quantiles st.res( Y ) 50 359 272 360 15 27 13 25 296 14 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 345 98 355 328 264 90 290 8 6094

Aug 11,00/3:04 | regr demo | blasting

hat diagonal st.res( Y ) 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 −1.5 −0.5 0.5 1.5

1 + + + + + + 8 + + + + 13 14 15 + + + + + + + + + 25 + 27 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 50 + + + ++ + + + + 60 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 90 + + + 94 + + + 98 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 264 + + + + + + + 272 + + + + + + + + + + + + + + + + + 290 + + + + + 296 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 327 328 + + 331 + + + 335 + + + 339 + + + 343 + 345 + 347 + + + 351 + + + 355 + + + 359 360 + +

Aug 11,00/3:04 | regr demo | blasting

9 Residual analysis: always include plotting against X’s!

9 Residual analysis: always include plotting against X’s!

sequence Residuals 50 100 150 200 250 300 350 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

log10(tremor) ~ location + log10(distance) + log10(charge)

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

location Residuals

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

loc1 loc2 loc3 loc4 loc5 loc6 loc7 loc8 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

distance Residuals 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

charge Residuals 1 2 3 4 5 6 7 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

10

sequence Residuals 50 100 150 200 250 300 350 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

log10(tremor) ~ location + log10(distance) + log10(charge)

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

location Residuals

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

loc1 loc2 loc3 loc4 loc5 loc6 loc7 loc8 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

distance Residuals 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

charge Residuals 1 2 3 4 5 6 7 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting Aug 11,00/3:05 | regr demo | blasting

– Reference line Y ≈ constant (Resid + comp.effect = const.) – Factors: use jittering

11 Numerical Results

summary(r.blast.lm1) lm(formula = log10(tremor) ~ location + log10(distance) + log10(charge), data = d.blast) Residuals: ... Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.96387 0.11090 26.72 < 2e-16 *** locationloc2 0.15306 0.02701 5.67 3.0e-08 *** locationloc3 0.13169 0.02592 5.08 6.1e-07 *** locationloc4

• 0.16185

0.03018

• 5.36

1.5e-07 *** locationloc5

• 0.03211

0.03287

• 0.98

0.329 ... log10(distance) -1.51830 0.06423

• 23.64

< 2e-16 *** log10(charge) 0.63558 0.03944 16.12 < 2e-16 ***

Is location significant? −

→ call drop1!

12 Output, continued:

Residual standard error: 0.143 on 352 degrees of freedom (26 observations deleted due to missingness) Multiple R-squared: 0.795,Adjusted R-squared: 0.79 F-statistic: 152 on 9 and 352 DF, p-value: <2e-16

“Residual standard error” ? – oh my!

13

regr(formula = log10(tremor) ~ location + log10(distance) + log10(charge), data = d.blast) coef stcoef signif R2.x df p.value (Intercept) 2.964 0.000 13.6 NA 1 location NA NA 10.5 0.0522 7 log10(distance) -1.518 -0.788

• 12.0 0.2767

1 log10(charge) 0.636 0.410 8.2 0.0526 1 Coefficients for factors: $location loc1 loc2 loc3 loc4 loc5 loc6 ... 0.00000 0.15306 0.13169 -0.16185 -0.03211 0.07161 ... St.dev.error: 0.143

• n 352 degrees of freedom

Multiple R^2: 0.795 Adjusted R-squared: 0.79 F-statistic: 152

• n 9 and 352 d.f.,

p.value:

14

A fair analysis of a model fit needs: > r.lm <- lm(...) > summary(r.lm) > drop1(r.lm) > plot(r.lm) > plot(1:length(residuals(r.lm)), residuals(r.lm), xlab=...) > termplot(r.lm, ...)

• r

> ( r.regr <- regr(...) ) > plot(r.regr) ... and you get more from it!

15

More Features

• Same wrapper function for glm, polr, multinom, roblm
• Additional information
• plot.regr includes specific features for polr, multivariate, ...
• Model selection function for adaptive lasso method: lassoselect
• Utilities ...

16

A goody: Residuals for ordered response variables The model for polr relies on a latent variable

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 x latente V. α1 α2 α3

17

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 −2 −1 1 2 3 4 fit latent variable

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − −− − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − −−− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− −− − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

18

Messages Package regr

• Model building and model checking are best done

following (flexibly) a strategy. The strategy should be easily performed with the help of user oriented functions.

• The information needed may be more condensed and

consistent between models: – numerical summary: More useful columns in table of terms – graphical: reference lines, random variation, outlier treatment

• Documentation of data sets, graphs, ...
• The package is still in development. Can be obtained from me

(email).