Uniformisation of Two-Way Transducers Rodrigo de Souza UFRPE - - PowerPoint PPT Presentation

Uniformisation of Two-Way Transducers

Rodrigo de Souza

UFRPE – Recife – Brazil Supported by CAPES Foundation

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

An input word

⊲aababaa⊳

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

The initial configuration

⊲ paababaa ⊳

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

A computation

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

The output : a

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

A computation

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa ⊳

The output : aa

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

A computation

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa ⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa ⊳

The output : aab

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

A computation

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa ⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa ⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → a

− − → ⊲aababaa ⊳ r

The output : aabaababaa

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

Another computation – same input

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa ⊳

− → b

− − → ⊲aabpabaa ⊳

− → a

− − → ⊲aabapbaa⊳

← − b

− − → ⊲aabqabaa⊳

← − a

− − → ⊲aaqbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → ⊳

− − → ⊲aababaa ⊳ r

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

Another computation – same input

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa ⊳

− → b

− − → ⊲aabpabaa ⊳

− → a

− − → ⊲aabapbaa⊳

← − b

− − → ⊲aabqabaa⊳

← − a

− − → ⊲aaqbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → ⊳

− − → ⊲aababaa ⊳ r

The output : aababaababaa

A two-way transducer

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

Another computation – same input

⊲ paababaa ⊳

− → a

− − → ⊲apababaa ⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa ⊳

− → b

− − → ⊲aabpabaa ⊳

− → a

− − → ⊲aabapbaa⊳

← − b

− − → ⊲aabqabaa⊳

← − a

− − → ⊲aaqbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → ⊳

− − → ⊲aababaa ⊳ r

The output : aababaababaa The behaviour : u → {xbu | xb prefix of u }

Sequential ?

An (one-way) automaton... p q a b c b

Sequential ?

An (one-way) automaton... p q a b c b

Sequential ?

An (one-way) automaton... ... and a deterministic equivalent one p q a b c b 10 11 01 a b b a c c

Sequential ?

An (one-way) automaton... ... and a deterministic equivalent one p q a b c b 10 11 01 a b b a c c One-way automata (Rabin–Scott 1959) Subset construction Two-way automata (Rabin–Scott 1959, Shepherdson 1959) Crossing sequence construction

Sequential ?

A transducer for a function f ... p q a|a b|b a|1 b|1

(uban)f = u

Sequential ?

A transducer for a function f ... p q a|a b|b a|1 b|1

(uban)f = u

Sequential ?

A transducer for a function f ... ... which is not sequential p q a|a b|b a|1 b|1

||ban, banb|| = 1 ||(ban)f , (banb)f || = n + 1

Functional one-way transducers (Choffrut 1977) f sequential ⇔ f uniformly divergent

Sequential ?

Functional 2-way transducers (Engelfriet–Hoogeboom 2001) Via MSO definable graph relations

Sequential ?

Functional 2-way transducers (Engelfriet–Hoogeboom 2001) Via MSO definable graph relations Complexity ?

Sequential ?

Functional 2-way transducers (Engelfriet–Hoogeboom 2001) Via MSO definable graph relations Complexity ? Functional 2-way transducers (RdS 2013) Via structural constructions

Sequential ?

Functional 2-way transducers (Engelfriet–Hoogeboom 2001) Via MSO definable graph relations Complexity ? Functional 2-way transducers (RdS 2013) Via structural constructions 4-exp

Our true result

Theorem (Kobayashi 1969) r one-way transducer admits uniformisation f functional unambigu-

• us transducer

Our true result

Theorem (Kobayashi 1969) r one-way transducer admits uniformisation f functional unambigu-

• us transducer

domr = domf , f ⊆ r

Our true result

Theorem (Kobayashi 1969) r one-way transducer admits uniformisation f functional unambigu-

• us transducer

domr = domf , f ⊆ r Theorem (RdS 2013) r two-way transducer admits uniformisation f sequential two-way transducer

Our true result

Theorem (Kobayashi 1969) r one-way transducer admits uniformisation f functional unambigu-

• us transducer

domr = domf , f ⊆ r Theorem (RdS 2013) r two-way transducer admits uniformisation f sequential two-way transducer functional two-way

uniformisation construction

• equivalent sequential

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

underlying input automaton of T

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

folding of A

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

Proposition successful computations one-way S ↔ successful loop-free computations two-way A

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

lexicographic covering of S (JS & RdS 2007)

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

Proposition successful computations unambiguous one-way B ։ successful loop-free computations A

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

left (Hopcroft & Ullman 1967) / right pathfinders for B

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

T + L + R = sequential bidirectional reading folded computations

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

Main result sequential two-way U realises an uniformisation of T

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

The folding construction

Foldings of computations

Back to our example...

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

⊲paababaa⊳

− → a

− − → ⊲apababaa⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → a

− − → ⊲aababaa ⊳ r

Foldings of computations

Back to our example...

p q r ⊲ ⊳ − → a |a − → b |b ← − b |b ← − a |1 ← − b |1 − → ⊲ |1 − → a |a − → b |b

⊲paababaa⊳

− → a

− − → ⊲apababaa⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → a

− − → ⊲aababaa ⊳ r folding ∼ 2D perspective of computations

Foldings of computations

⊲paababaa⊳

− → a

− − → ⊲apababaa⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → a

− − → ⊲aababaa ⊳ r

• ⊲

a a b a b a a ⊳ i p p p q q q r r r r r r r r − → ⊲ − → a − → a ← − b ← − a ← − a − → ⊲ − → a − → a − → b − → a − → b − → a − → a

Foldings of computations

⊲paababaa⊳

− → a

− − → ⊲a

↓

pababaa⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa⊳

← − b

− − → ⊲a

↓

qababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲a

↓

rababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → a

− − → ⊲aababaa ⊳ r

• ⊲

a a b a b a a ⊳ i p p p q q q r r r r r r r r − → ⊲ − → a − → a ← − b ← − a ← − a − → ⊲ − → a − → a − → b − → a − → b − → a − → a

Foldings of computations

⊲paababaa⊳

− → a

− − → ⊲apababaa⊳

− → a

− − → ⊲aa

↓

pbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aaba

↓

rbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → a

− − → ⊲aababaa ⊳ r

• ⊲

a a b a b a a ⊳ i p p p q q q r r r r r r r r − → ⊲ − → a − → a ← − b ← − a ← − a − → ⊲ − → a − → a − → b − → a − → b − → a − → a

Foldings of computations

⊲paababaa⊳

− → a

− − → ⊲apababaa⊳

− → a

− − → ⊲aapbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabpabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabapbaa⊳

← − b

− − → ⊲aabqabaa⊳

← − a

− − → ⊲aaqbabaa⊳

← − b

− − → ⊲aqababaa⊳

← − a

− − → ⊲qaababaa⊳

← − a

− − → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− − → ⊲raababaa⊳

− → a

− − → ⊲arababaa⊳

− → a

− − → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− − → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− − → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− − → ⊲aababraa⊳

− → a

− − → ⊲aababara⊳

− → a

− − → ⊲aababaar⊳

− → ⊳

− − → ⊲aababaa ⊳ r

• ⊲

a a b a b a a ⊳ i p p p p p q q q q q r r r r r r r r − → ⊲ − → a − → a − → b − → a ← − b ← − a ← − b ← − a ← − a − → ⊲ − → a − → a − → b − → a − → b − → a − → a

The folding of two-way A

States are columns (− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b)

The folding of two-way A

Transitions are tuples of left/right moves (− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b

The folding of two-way A

Computations are foldings (− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b

The folding of two-way A

Computations are foldings (− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (− → p , ← − q , − → r , a) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , a) (− → r , a) a a b b b a a

⊲paababaa⊳

− → a

− → ⊲apababaa⊳

− → a

− → ⊲aapbabaa⊳

− → b

− → ⊲aabpabaa⊳

− → a

− → ⊲aabapbaa⊳

← − b

− → ⊲aabqabaa⊳

← − a

− → ⊲aaqbabaa⊳

← − b

− → ⊲aqababaa⊳

← − a

− → ⊲qaababaa⊳

← − a

− → q ⊲ aababaa⊳

− → ⊲

− → ⊲raababaa⊳

− → a

− → ⊲arababaa⊳

− → a

− → ⊲aarbabaa⊳

− → b

− → ⊲aabrabaa⊳

− → a

− → ⊲aabarbaa⊳

− → b

− → ⊲aababraa⊳

− → a

− → ⊲aababara⊳

− → a

− → ⊲aababaar⊳

− → ⊳

− → ⊲aababaa ⊳ r

The folding of two-way A

behaviour two-way A = behaviour one-way S

p q r ⊲ ⊳ − → a − → b ← − b ← − a ← − b − → ⊲ − → a − → b

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

lexicographic covering of S (JS & RdS 2007)

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

< <

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

|A| = |S| = |B|

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

|B| unambiguous

The lexicographic covering

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) (− → r , b) ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ ⊳ a b a a b b b b b a a b 00000 01000 11000 11100 ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

u ∈ |A| 1 folded computation

Outline of the proof

T A S B L R U = T ×L×R

the pathfinder construction

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b B B A B C D D D a a b a b a a

a a b a b a a

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b B B A B C D D D a a b a b a a

↓ a a b a b a a

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

I J ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b B B A B C D D D a a b a b a a

↓ a a b a b a a

I · a = {A, B, C} (ababaa) · J = {B}

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

I J ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b B B A B C D D D a a b a b a a

↓ a a b a b a a

I · a ∩ (ababaa) · J = {B}

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

I J ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b B B A B C D D D a a b a b a a

↓ a a b a b a a

I · (aa) = {A, B, C} (babaa) · J =?

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

I J ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b A-rooted rev-det B-rooted rev-det C-rooted rev-det a b b a b a a b a b b a

↓ a a b a b a a

The pathfinder construction

(− → p , ← − q , − → r , a) (− → p , ← − q , − → r , b) (← − p , − → r , b) (− → r , a) A B C D ⊲ ⊲ ⊲ ⊳ a a b b a b b a

Bdet B̺

det

I J ABC ABCD a b a b D C B A a b b a a a b b finding the way : reads bab and come back to the position where the rev-det’s meet a b b a b a a b a b b a

↓ a a b a b a a

Complexity

T A S B L R U = T ×L×R

exp exp 2 − exp 2 − exp

2222n

Perspectives

Lower complexity Application to the equivalence problem for functional two-way transducers (Culik–Karhum¨ aki 1987)