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SLIDE 1

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❈♦♥t✐♥✉♦✉s Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

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SLIDE 2

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Notice for today's lecture: Slides with gray shading are for watching. Slides with colored highlighting have definitions and examples.

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SLIDE 3

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SLIDE 4

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SLIDE 5

❈♦♥t✐♥✉♦✉s Pr♦❜❛❜✐❧✐t②

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SLIDE 6

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SLIDE 7

P✐❝❦✐♥❣ ❛ ❘❛♥❞♦♠ ❘❡❛❧ ◆✉♠❜❡r

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SLIDE 8

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SLIDE 9

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❚❤❡② ♠❛② ♦r ♠❛② ♥♦t ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳

◮ [c,d]✿ ✐♥❝❧✉❞❡ c ❛♥❞ d ◮ [c,d)✿ ✐♥❝❧✉❞❡ c ♦♥❧② ◮ (c,d]✿ ✐♥❝❧✉❞❡ d ♦♥❧② ◮ (c,d)✿ ❞♦♥✬t ✐♥❝❧✉❞❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts

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■♥t❡r✈❛❧s

▲❡t c ❛♥❞ d ❜❡ ❛♥② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✇✐t❤ c ❧❡ss t❤❛♥ ✭❧❡❢t ♦❢✮ d✳

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◮ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡rs c ❛♥❞ d ❛r❡ t❤❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳

❚❤❡② ♠❛② ♦r ♠❛② ♥♦t ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳

◮ [c,d]✿ ✐♥❝❧✉❞❡ c ❛♥❞ d ◮ [c,d)✿ ✐♥❝❧✉❞❡ c ♦♥❧② ◮ (c,d]✿ ✐♥❝❧✉❞❡ d ♦♥❧② ◮ (c,d)✿ ❞♦♥✬t ✐♥❝❧✉❞❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts

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■♥t❡r✈❛❧s

▲❡t c ❛♥❞ d ❜❡ ❛♥② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✇✐t❤ c ❧❡ss t❤❛♥ ✭❧❡❢t ♦❢✮ d✳

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◮ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡rs c ❛♥❞ d ❛r❡ t❤❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳

❚❤❡② ♠❛② ♦r ♠❛② ♥♦t ❜❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧✳

◮ [c,d]✿ ✐♥❝❧✉❞❡ c ❛♥❞ d ◮ [c,d)✿ ✐♥❝❧✉❞❡ c ♦♥❧② ◮ (c,d]✿ ✐♥❝❧✉❞❡ d ♦♥❧② ◮ (c,d)✿ ❞♦♥✬t ✐♥❝❧✉❞❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts

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❉r❛✇✐♥❣ ■♥t❡r✈❛❧s

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❉r❛✇✐♥❣ ■♥t❡r✈❛❧s

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SLIDE 14

■♥t❡r✈❛❧ ❊①❛♠♣❧❡

❚❤✐s ✐♥t❡r✈❛❧ ❤❛s ❡♥❞♣♦✐♥ts ✶✶ ❛♥❞ ✶✺✳ ■t ✐♥❝❧✉❞❡s ✶✶✱ ❛♥❞ ✶✺✱ s♦ ✐t ✐s ✇r✐tt❡♥ ❛s [✶✶,✶✺]. ❚❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✐♥ t❤✐s ✐♥t❡r✈❛❧✳

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SLIDE 15

P✐❝❦✐♥❣ ❛ ❘❛♥❞♦♠ ❘❡❛❧ ◆✉♠❜❡r

❲❤❡♥ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✱ ♦✉r s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❡✈❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳

◮ ❇❛❝❦ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❢♦✉♥❞ t❤❡ s✐③❡s ♦❢ ♦✉r

❡✈❡♥ts ❛♥❞ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s ❜② ❝♦✉♥t✐♥❣ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ t❤❡♠✳

◮ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❝♦✉♥t ❡✈❡r② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✱

✇❡ ♥❡❡❞ ❛ ✇❛② ♦❢ ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳

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SLIDE 16

P✐❝❦✐♥❣ ❛ ❘❛♥❞♦♠ ❘❡❛❧ ◆✉♠❜❡r

❲❤❡♥ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✱ ♦✉r s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❡✈❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳

◮ ❇❛❝❦ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❢♦✉♥❞ t❤❡ s✐③❡s ♦❢ ♦✉r

❡✈❡♥ts ❛♥❞ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s ❜② ❝♦✉♥t✐♥❣ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ t❤❡♠✳

◮ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❝♦✉♥t ❡✈❡r② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✱

✇❡ ♥❡❡❞ ❛ ✇❛② ♦❢ ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳

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SLIDE 17

P✐❝❦✐♥❣ ❛ ❘❛♥❞♦♠ ❘❡❛❧ ◆✉♠❜❡r

❲❤❡♥ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✱ ♦✉r s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ❡✈❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳

◮ ❇❛❝❦ ✐♥ ❞✐s❝r❡t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✱ ✇❡ ❢♦✉♥❞ t❤❡ s✐③❡s ♦❢ ♦✉r

❡✈❡♥ts ❛♥❞ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s ❜② ❝♦✉♥t✐♥❣ t❤❡ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ t❤❡♠✳

◮ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ❝♦✉♥t ❡✈❡r② r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✱

✇❡ ♥❡❡❞ ❛ ✇❛② ♦❢ ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧✳

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SLIDE 18

▲❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ■♥t❡r✈❛❧

❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ ✇✐t❤ ❡♥❞♣♦✐♥ts c ❛♥❞ d✱ c ≤ d✱ ✐s d −c. ❘✐❣❤t ❊♥❞♣♦✐♥t ♠✐♥✉s ▲❡❢t ❊♥❞♣♦✐♥t ❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ♥✉♠❜❡r✳

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SLIDE 19

▲❡♥❣t❤ ❊①❛♠♣❧❡

❚❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✺] ❤❛s ❧❡♥❣t❤ ✶✺−✶✶ = ✹ . ❚❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ✐s ❢♦✉r ✉♥✐ts ❧♦♥❣✳

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SLIDE 20

❄✭✸✳✶✮ ▲❡♥❣t❤ Pr❛❝t✐❝❡

❋✐♥❞ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧✿

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SLIDE 21

▲❡♥❣t❤ Pr❛❝t✐❝❡

❋✐♥❞ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧✿ ❘✐❣❤t ❡♥❞♣♦✐♥t ✐s ✶✻ ❛♥❞ ❧❡❢t ❡♥❞♣♦✐♥t ✐s ✶✸✱ s♦ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ✐s ✶✻−✶✸ = ✸

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SLIDE 22

❄✭✸✳✷✮ ▲❡♥❣t❤ Pr❛❝t✐❝❡

❋✐♥❞ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧✿ [✻✷,✶✵✹]

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SLIDE 23

▲❡♥❣t❤ Pr❛❝t✐❝❡

❋✐♥❞ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐♥t❡r✈❛❧✿ [✻✷,✶✵✹] ❘✐❣❤t ❡♥❞♣♦✐♥t ✐s ✶✵✹ ❛♥❞ ❧❡❢t ❡♥❞♣♦✐♥t ✐s ✻✷✱ s♦ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ✐s ✶✵✹−✻✷ = ✹✷

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SLIDE 24

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ✇✐t❤ ■♥t❡r✈❛❧s

◮ ❲❤❡♥ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✱ ♦✉r s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s

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◮ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥② ❡✈❡♥t ✐s

▲❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐♥t❡r✈❛❧ ▲❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ r❡st ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ❛❧❧ ✐♥t❡r✈❛❧s ✇✐❧❧ ✐♥❝❧✉❞❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳

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SLIDE 25

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ✇✐t❤ ■♥t❡r✈❛❧s

◮ ❲❤❡♥ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✱ ♦✉r s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡s

❛♥❞ ❡✈❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r✈❛❧s✳

◮ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥② ❡✈❡♥t ✐s

▲❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐♥t❡r✈❛❧ ▲❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡ ✐♥t❡r✈❛❧ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ r❡st ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ❛❧❧ ✐♥t❡r✈❛❧s ✇✐❧❧ ✐♥❝❧✉❞❡ ❡♥❞♣♦✐♥ts✳

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SLIDE 26

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

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SLIDE 27

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

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SLIDE 28

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

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SLIDE 29

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

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Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

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SLIDE 31

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t②✿

▲❡♥❣t❤ ♦❢ ❡✈❡♥t ▲❡♥❣t❤ ♦❢ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡ = ✷ ✼.

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SLIDE 32

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶✵ ❛♥❞ ✶✼✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✶✶ ❛♥❞ ✶✸❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✵,✶✼]✳ ▲❡♥❣t❤✿ ✶✼−✶✵ = ✼✳ ◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✶✶,✶✸]✳

Length : ✶✸−✶✶ = ✷.

◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t②✿

▲❡♥❣t❤ ♦❢ ❡✈❡♥t ▲❡♥❣t❤ ♦❢ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡ = ✷ ✼. ◆♦t✐❝❡ t❤❛t t❤❡ ❡✈❡♥t ✐♥t❡r✈❛❧ t❛❦❡s ✉♣ ✷✴✼t❤s ♦❢ t❤❡ t♦t❛❧ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✳

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SLIDE 33

❄✭✸✳✸✮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✷✸ ❛♥❞ ✾✶✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✸✹ ❛♥❞ ✹✼❄ ❍✐♥ts✿

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SLIDE 34

Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ❊✈❡♥t ■♥t❡r✈❛❧

❲❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✷✸ ❛♥❞ ✾✶✳ ❲❤❛t ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ♥✉♠❜❡r ✐s ❜❡t✇❡❡♥ ✸✹ ❛♥❞ ✹✼❄

◮ ❙❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✷✸,✾✶]✳

Length : ✾✶−✷✸ = ✻✽.

◮ ❊✈❡♥t✿ ✭✇❡ ♣✐❝❦ ❛ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r ✐♥s✐❞❡✮ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [✸✹,✹✼]✳

Length : ✹✼−✸✹ = ✶✸.

◮ Pr♦❜❛❜✐❧✐t②✿

▲❡♥❣t❤ ♦❢ ❡✈❡♥t ▲❡♥❣t❤ ♦❢ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡ = ✶✸ ✻✽.

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SLIDE 35

❈♦♠♣❛r✐♥❣ ❉✐s❝r❡t❡ ❛♥❞ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s Pr♦❜❛❜✐❧✐t②

◮ ❉✐s❝r❡t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✿ ✉s❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡ ✐s ❛ s❡t

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✐♥t❡r✈❛❧ ♦❢ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs ✭✇❡ ❛r❡ ♣✐❝❦✐♥❣ ❛ r❛♥❞♦♠ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r✮

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SLIDE 36

❈♦♠♣❛r✐♥❣ ❉✐s❝r❡t❡ ❛♥❞ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s Pr♦❜❛❜✐❧✐t②

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❡✈❡♥t E ✐s✿ ▲❡♥❣t❤ ♦❢ E ❞✐✈✐❞❡❞ ❜②✳✳✳ ▲❡♥❣t❤ ♦❢ Ω

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SLIDE 37

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