t t t p - - PowerPoint PPT Presentation

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Jun 22, 2023 324 likes •706 views

p t t tss t t t t p

SLIDE 1

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❖♥ t❤❡ ❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r✐♥❣✳

◆❛t❤❛♥❛ë❧ ▼❛r✐❛✉❧❡

❙❡❝♦♥❞❛ ❯♥✐✈❡rs✐tà ❞❡❣❧✐ ❙t✉❞✐ ❞✐ ◆❛♣♦❧✐

❑♦♥st❛♥③✲◆❛♣❧❡s ▼♦❞❡❧ ❚❤❡♦r② ❉❛②s ❈❛s❡rt❛✱ ✻✲✽ ◆♦✈❡♠❜❡r ✷✵✶✸✳

SLIDE 2

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■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❚❤❡♦r❡♠ ✭❆✳ ▼❛❝✐♥t②r❡✱ ❆✳ ❲✐❧❦✐❡✮ ■❢ ❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✱ Th(R❡①♣) ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ Th(Cexp) ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳ Pr♦❜❧❡♠ ■s t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ Qp,exp ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

SLIDE 3

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❆✳ ▼❛❝✐♥t②r❡✱ ❆✳ ❲✐❧❦✐❡✮ ■❢ ❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✱ Th(R❡①♣) ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ Th(Cexp) ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳ Pr♦❜❧❡♠ ■s t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ Qp,exp ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄

SLIDE 4

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P❧❛♥

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✷

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P❧❛♥

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❋✐① ❛ s❡q✉❡♥❝❡ {an} ⊂ Qp✳ ❚❤❡ s❡r✐❡s an ✐s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ✐♥ Qp ✐✛ |an| → 0 ✐✛ v(an) → ∞✳ ❚❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✉s✉❛❧ ♣♦✇❡r s❡r✐❡s exp(x) = xn

n! ✐s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ✐✛

v(x) > 1 p − 1.

SLIDE 7

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❋✐① ❛ s❡q✉❡♥❝❡ {an} ⊂ Qp✳ ❚❤❡ s❡r✐❡s an ✐s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ✐♥ Qp ✐✛ |an| → 0 ✐✛ v(an) → ∞✳ ❚❤❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ ✉s✉❛❧ ♣♦✇❡r s❡r✐❡s exp(x) = xn

n! ✐s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t ✐✛

v(x) > 1 p − 1.

SLIDE 8

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❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Ep : Zp − → Z×

p

x − → exp(p · x) ✐❢ p = 2 exp(4 · x) ♦t❤❡r✇✐s❡✳ L❡①♣ = (+, ·, 0, 1, Ep, Pn; n ∈ N), Zp,❡①♣ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ Zp ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ L❡①♣. Pr♦❜❧❡♠ ■s ❚❤✭Zp,❡①♣✮ ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄ ❙❛♠❡ q✉❡st✐♦♥ ❢♦r OK✱ OCp✳

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x − → exp(p · x) ✐❢ p = 2 exp(4 · x) ♦t❤❡r✇✐s❡✳ L❡①♣ = (+, ·, 0, 1, Ep, Pn; n ∈ N), Zp,❡①♣ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ Zp ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ L❡①♣. Pr♦❜❧❡♠ ■s ❚❤✭Zp,❡①♣✮ ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄ ❙❛♠❡ q✉❡st✐♦♥ ❢♦r OK✱ OCp✳

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x − → exp(p · x) ✐❢ p = 2 exp(4 · x) ♦t❤❡r✇✐s❡✳ L❡①♣ = (+, ·, 0, 1, Ep, Pn; n ∈ N), Zp,❡①♣ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ Zp ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ L❡①♣. Pr♦❜❧❡♠ ■s ❚❤✭Zp,❡①♣✮ ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄ ❙❛♠❡ q✉❡st✐♦♥ ❢♦r OK✱ OCp✳

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x − → exp(p · x) ✐❢ p = 2 exp(4 · x) ♦t❤❡r✇✐s❡✳ L❡①♣ = (+, ·, 0, 1, Ep, Pn; n ∈ N), Zp,❡①♣ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ str✉❝t✉r❡ Zp ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ L❡①♣. Pr♦❜❧❡♠ ■s ❚❤✭Zp,❡①♣✮ ❞❡❝✐❞❛❜❧❡❄ ❙❛♠❡ q✉❡st✐♦♥ ❢♦r OK✱ OCp✳

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❚❤❡♦r❡♠ ✭❆✳ ▼❛❝✐♥t②r❡✮ ❚❤✭Zp,❡①♣✮ ✐s ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ L❡①♣ ❡①♣❛♥❞❡❞ ❜② ✬tr✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝✬ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

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▲❡t K = Qp(α) ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ Qp ♦❢ ❞❡❣r❡❡ d ❛♥❞ V ✐ts ✈❛❧✉❛t✐♦♥ r✐♥❣✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ (V, +, ·, 0, 1) ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ Zp,❡①♣✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ str✉❝t✉r❡ (V, +, ·, 0, 1, Ep) ♠❛② ♥♦t ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛❜❧❡ ✐♥ Zp,❡①♣✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❛❞❞ ✐♥ ♦✉r ❧❛♥❣✉❛❣❡ s②♠❜♦❧ ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s s♦ t❤❛t t❤❡ ❛❜♦✈❡ str✉❝t✉r❡ ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ ❧❛♥❣✉❛❣❡✳

SLIDE 15

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❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s

▲❡t V ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❲❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ Ep(αkx)✱ k < d✱ ✐♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ V ♦✈❡r Zp✿ Ep(αkx) = c0,k(x) + c1,k(x)α + · · · + cd−1,k(x)αd−1. ci,j ❞❡t❡r♠✐♥❡s ❛ ♠❛♣ ❢r♦♠ Zp t♦ Zp✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ci,j ❛r❡ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ Ep ✐♥ K✳

SLIDE 16

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❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s

▲❡t V ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❲❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ Ep(αkx)✱ k < d✱ ✐♥ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ V ♦✈❡r Zp✿ Ep(αkx) = c0,k(x) + c1,k(x)α + · · · + cd−1,k(x)αd−1. ci,j ❞❡t❡r♠✐♥❡s ❛ ♠❛♣ ❢r♦♠ Zp t♦ Zp✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ci,j ❛r❡ t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ Ep ✐♥ K✳

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❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❲❡ ❞❡✜♥❡ (Kn) ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✜♥✐t❡ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ Qp s✉❝❤ t❤❛t✿ Km ⊂ Kn ❢♦r ❛❧❧ m < n❀ Kn ✐s t❤❡ s♣❧✐tt✐♥❣ ✜❡❧❞ ♦❢ Pn ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ✇✐t❤ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ✐♥ Q ❛♥❞ ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② αn ❛♥② r♦♦t ♦❢ Pn❀ Vn = Zp[αn]❀ ❛♥② ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ Kn✳

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❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ LpEC ❛s t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ L❡①♣ ❜② s②♠❜♦❧s ❢♦r t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ci,k,n ♦❢ Ep ✐♥ Kn ✭❢♦r ❛❧❧ n✮✳ ❚❤❡♥✱ Vn,exp ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ZpEC✳ ▲❡♠♠❛ ❋♦r ❛❧❧ n✱ Vn,pEC ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ZpEC✳

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p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ LpEC ❛s t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ L❡①♣ ❜② s②♠❜♦❧s ❢♦r t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ci,k,n ♦❢ Ep ✐♥ Kn ✭❢♦r ❛❧❧ n✮✳ ❚❤❡♥✱ Vn,exp ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ZpEC✳ ▲❡♠♠❛ ❋♦r ❛❧❧ n✱ Vn,pEC ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ZpEC✳

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❚r✐❣♦♥♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s

❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ LpEC ❛s t❤❡ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ L❡①♣ ❜② s②♠❜♦❧s ❢♦r t❤❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ci,k,n ♦❢ Ep ✐♥ Kn ✭❢♦r ❛❧❧ n✮✳ ❚❤❡♥✱ Vn,exp ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ZpEC✳ ▲❡♠♠❛ ❋♦r ❛❧❧ n✱ Vn,pEC ✐s ❞❡✜♥❛❜❧❡ ✐♥ ZpEC✳

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❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss

❚❤❡♦r❡♠ ✭❆✳ ▼❛❝✐♥t②r❡✮ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ Zp ✐s ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ LpEC✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ▲❡♠♠❛ ❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐✳❡✳ ❣✐✈❡♥ ψ(x) ❛ LpEC✲ ❢♦r♠✉❧❛✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❛♥ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ ❢♦r♠✉❧❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ψ(x)✳

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❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss

❚❤❡♦r❡♠ ✭❆✳ ▼❛❝✐♥t②r❡✮ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ Zp ✐s ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ LpEC✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ▲❡♠♠❛ ❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐✳❡✳ ❣✐✈❡♥ ψ(x) ❛ LpEC✲ ❢♦r♠✉❧❛✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ❛♥ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ ❢♦r♠✉❧❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ψ(x)✳

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p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

P❧❛♥

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p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧

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❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss

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❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

SLIDE 24

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❊①✐st❡♥t✐❛❧ s❡♥t❡♥❝❡s

❆♥② s❡♥t❡♥❝❡ ✐s ✭❡✛❡❝t✐✈❡❧②✮ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ ❞✐s❥✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ s❡♥t❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ t②♣❡✿ ∃xf(x) = 0 ∧ g(x) = 0, (∗) ✇❤❡r❡ f, g ❛r❡ LpEC✲t❡r♠s✳ ■t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❣✐✈❡ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❤❛t st♦♣s ✐❢ (∗) ✐s tr✉❡ ✭❛♥❞ ♠❛② ♥❡✈❡r st♦♣ ♦t❤❡r✇✐s❡✮✳ ❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ■ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t f, g ❛r❡ L❡①♣✲t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✿ FP (x) = P(x1, · · · , xn, Ep(x1), · · · , Ep(xn)) ✇❤❡r❡ P ∈ Z[X, Y ]✳

SLIDE 25

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❊①✐st❡♥t✐❛❧ s❡♥t❡♥❝❡s

❆♥② s❡♥t❡♥❝❡ ✐s ✭❡✛❡❝t✐✈❡❧②✮ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ ❞✐s❥✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ s❡♥t❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ t②♣❡✿ ∃xf(x) = 0 ∧ g(x) = 0, (∗) ✇❤❡r❡ f, g ❛r❡ LpEC✲t❡r♠s✳ ■t ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❣✐✈❡ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❤❛t st♦♣s ✐❢ (∗) ✐s tr✉❡ ✭❛♥❞ ♠❛② ♥❡✈❡r st♦♣ ♦t❤❡r✇✐s❡✮✳ ❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t②✱ ■ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ t❤❛t f, g ❛r❡ L❡①♣✲t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✿ FP (x) = P(x1, · · · , xn, Ep(x1), · · · , Ep(xn)) ✇❤❡r❡ P ∈ Z[X, Y ]✳

SLIDE 26

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❆♥❛❧②t✐❝ ❍❡♥s❡❧✬s ❧❡♠♠❛

❆♥❛❧②t✐❝ ❍❡♥s❡❧✬s ❧❡♠♠❛ ▲❡t f = (f1, · · · , fn)✱ fi ∈ Zp{X1, · · · , Xn} ❛♥❞ r ∈ N✳ ❆ss✉♠❡ t❤❡r❡ ❡①✐sts a ∈ Zn

p s✉❝❤ t❤❛t

det Jf(a) = 0 ❛♥❞ v

f(a)
> 2 · v
det Jf(a)
+ r.

❚❤❡♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ b ∈ Zn

p s✉❝❤ t❤❛t

f(b) = 0 ❛♥❞ v(b − a) > v

det Jf(a)
+ r.

SLIDE 27

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❋✐① f = (FP1, · · · , FPn)✱ Pi ∈ Z[X1, · · · , Xn, Y1, · · · , Yn]✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✐❢ t❤❡ s❡♥t❡♥❝❡✿ ∃x x ∈ V ns(f) ✐s tr✉❡ ✐♥ Zp✿ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❋✐① a0, a1, · · · , ❛♥ ❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ ♦❢ Zn✳ ❋♦r ❡❛❝❤ i✱ ✐❢ det Jf(ai) = 0 ❛♥❞ v

f(ai)
> 2 · v
det Jf(ai)
r❡t✉r♥ tr✉❡✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ❣♦ t♦ i + 1✳

SLIDE 28

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❉❡s✐♥❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠

❚❤❡♦r❡♠ ▲❡t FP ∈ Z[X1, · · · , Xn, Ep(X1), · · · , Ep(Xn)]✱ V (FP ) = ∅✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐st FP1, · · · , FPn ∈ Z[X, Ep(X)] s✉❝❤ t❤❛t V (FP ) ∩ V ns(FP1, · · · , FPn) = ∅.

SLIDE 29

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

▲❡♠♠❛ ▲❡t m, r ∈ N✱ I ♣r✐♠❡ ✐❞❡❛❧ ♦❢ Z[X1, · · · , Xm]✱ I ∩ Z = {0} s✉❝❤ t❤❛t trdegQ Frac

Z[X]/I
= r.

❚❤❡♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts Q ∈ Z[X] \ I s✉❝❤ t❤❛t Q · I ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② (m − r) ❡❧❡♠❡♥ts✳

SLIDE 30

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡

p✲❛❞✐❝ ❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ▲❡t β1, · · · , βn ∈ Cp✱ Q✲❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t s✉❝❤ t❤❛t v(βi) > 1/(p − 1)✳ ❚❤❡♥✱ trdegQQ(β1, · · · , βn, exp(β1), · · · , exp(βn)) ≥ n.

SLIDE 31

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

▲❡t FP (X) = P(X, Ep(X))✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t FP (a) = 0 ❢♦r s♦♠❡ a ∈ Zn

p✳

▲❡t FP1, · · · , FPn ❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛st t❤❡♦r❡♠✳ ▲❡t b ∈ V (FP ) ∩ V ns(FP1, · · · , FPn)✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✳ ❚❤❡♥ ✐❢ b1, · · · , bn ❛r❡ Q✲❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ trdegQQ(b1, · · · , bn, Ep(b1), · · · , Ep(bn)) = n. ❙♦✱ ❜② t❤❡ ❧❡♠♠❛✱ t❤❡r❡ ❡①✐st Q, Q1, · · · , Qn, S1, · · · , Sn s✉❝❤ t❤❛t QP =

SiQi.

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ b ∈ V ns(FQ1, · · · , FQn)✳

SLIDE 32

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

▲❡t FP (X) = P(X, Ep(X))✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t FP (a) = 0 ❢♦r s♦♠❡ a ∈ Zn

p✳

▲❡t FP1, · · · , FPn ❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛st t❤❡♦r❡♠✳ ▲❡t b ∈ V (FP ) ∩ V ns(FP1, · · · , FPn)✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✳ ❚❤❡♥ ✐❢ b1, · · · , bn ❛r❡ Q✲❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✱ trdegQQ(b1, · · · , bn, Ep(b1), · · · , Ep(bn)) = n. ❙♦✱ ❜② t❤❡ ❧❡♠♠❛✱ t❤❡r❡ ❡①✐st Q, Q1, · · · , Qn, S1, · · · , Sn s✉❝❤ t❤❛t QP =

SiQi.

❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ b ∈ V ns(FQ1, · · · , FQn)✳

SLIDE 33

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

❚❤❡♦r❡♠ ■❢ t❤❡ p✲❛❞✐❝ ❙❝❤❛♥✉❡❧✬s ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ✐s tr✉❡✱ Th(Zp,❡①♣) ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✳

SLIDE 34

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

▲❡t Ψ ≡ ∃xFP (x) = 0 ∧ FR(x) = 0✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s r❡❛❧✐s❡❞ ❜② α ∈ Zp ✇❤❡r❡ α1, · · · , αn ❛r❡ Q✲❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ st♦♣s ❛♥❞ r❡t✉r♥s tr✉❡✳

SLIDE 35

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

▲❡t Ψ ≡ ∃xFP (x) = 0 ∧ FR(x) = 0✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s r❡❛❧✐s❡❞ ❜② α ∈ Zp ✇❤❡r❡ α1, · · · , αn ❛r❡ Q✲❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ st♦♣s ❛♥❞ r❡t✉r♥s tr✉❡✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ a ∈ Zn❀ ✱ ❀ Q, Q1, · · · , Qn, S1, · · · , Sn ∈ Z[X1, · · · , Xn, Y1, · · · , Yn]✳ ■❢ QP = SiQi❀ detJf(a) = 0 ❛♥❞ v

f(a)
> 2 · v
detJf(a)
❀

❢♦r ❛❧❧ s✉❝❤ t❤❛t ✱ ❛♥❞ ❀ r❡t✉r♥ tr✉❡✳ ❖t❤❡r✇✐s❡✱ ❣♦ t♦ t❤❡ ♥❡①t st❡♣✳

SLIDE 36

p✲❛❞✐❝ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❊✛❡❝t✐✈❡ ♠♦❞❡❧✲❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t②

▲❡t Ψ ≡ ∃xFP (x) = 0 ∧ FR(x) = 0✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s r❡❛❧✐s❡❞ ❜② α ∈ Zp ✇❤❡r❡ α1, · · · , αn ❛r❡ Q✲❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ st♦♣s ❛♥❞ r❡t✉r♥s tr✉❡✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ B = a +pkZn

p ✇❤❡r❡ a r✉♥s ♦✈❡r Zn ❛♥❞ k ♦✈❡r N❀

m ∈ N✱ m > k❀ Q, Q1, · · · , Qn, S1, · · · , Sn ∈ Z[X1, · · · , Xn, Y1, · · · , Yn]✳ ■❢ QP = SiQi❀ detJf(a) = 0 ❛♥❞ v

f(a)
> 2 · v
detJf(a)
+k❀