t ts r rs r - - PowerPoint PPT Presentation
t ts r rs r P rr t r srs rs
✶ ✴ ✸✷
◮ r❡❞✉❝❡ ❧❛r❣❡ s❤✐♣♣✐♥❣ ❝♦sts ✐♥ t✉❜❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥❞✉str② ◮ t✉❜❡s ❛r❡ ❝✉t t♦ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t❛✐♥❡r → ✷✲❞✐♠ ♣r♦❜❧❡♠ ◮ r❡❝✉rs✐✈❡ ♣❛❝❦✐♥❣ ♦❢ t✉❜❡s ✐♥t♦ ❝♦♥t❛✐♥❡rs
✷ ✴ ✸✷
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◮ s❡t ♦❢ r✐♥❣ t②♣❡s T := {✶, . . . , T} ◮ ❡①t❡r♥❛❧ r❛❞✐✉s r ext t
t
◮ ❞❡♠❛♥❞ Dt ∈ N ❢♦r ❡❛❝❤ t ∈ T ◮ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② r❡❝t❛♥❣❧❡s ✇✐t❤ ✇✐❞t❤ W ❛♥❞ ❤❡✐❣❤t H
✹ ✴ ✸✷
◮ s❡t ♦❢ r✐♥❣ t②♣❡s T := {✶, . . . , T} ◮ ❡①t❡r♥❛❧ r❛❞✐✉s r ext t
t
◮ ❞❡♠❛♥❞ Dt ∈ N ❢♦r ❡❛❝❤ t ∈ T ◮ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② r❡❝t❛♥❣❧❡s ✇✐t❤ ✇✐❞t❤ W ❛♥❞ ❤❡✐❣❤t H
◮ ♠✐♥✐♠✐③❡ z∗ = ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡❝t❛♥❣❧❡s ◮ s✳t✳ t{Dt ♠❛♥② r✐♥❣s ♦❢ t②♣❡ t} ❛r❡ ♣❛❝❦❛❜❧❡ ✐♥t♦ z∗ r❡❝t❛♥❣❧❡s
✹ ✴ ✸✷
◮ s♣❤❡r❡ ♣❛❝❦✐♥❣ ❬❑❡♣❧❡r ✶✻✶✶❪ ◮ ♣❛❝❦✐♥❣ ✳ ✳ ✳
◮ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❝✐r❝❧❡s ❬●♦❧❞❜❡r❣ ✶✾✼✵✱ ▲♦❝❛t❡❧❧✐✱ ❘❛❜❡r ✷✵✵✷✱ ✳ ✳ ✳ ❪ ◮ ❞✐✛❡r❡♥t ❝✐r❝❧❡s ❬●❡♦r❣❡✱ ●❡♦r❣❡✱ ▲❛♠❛❡r ✶✾✾✺✱ ❍✉❛♥❣ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✹✱ ❑❛❧❧r❛t❤ ✷✵✵✼✱ ✳ ✳ ✳ ❪ ◮ ❡❧❧✐♣s♦✐❞s ❬❑❛❧❧r❛t❤ ✷✵✶✺❪
◮ r❡❝❡♥t s✉r✈❡②s ❬❈❛st✐❧❧♦✱ ❑❛♠♣❛s✱ ❛♥❞ P✐♥tér ✷✵✵✽✱ ❍✐✜ ❛♥❞ ▼❵❍❛❧❧❛❤ ✷✵✵✾❪
◮ ❝♦♠♣❛❝t ♥♦♥❝♦♥✈❡① ▼■◆▲P ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ◮ r❛♥❞♦♠✐③❡❞ ❣r❡❡❞② ❤❡✉r✐st✐❝ ✭●❘❆❙P✮
✺ ✴ ✸✷
◮ ❝♦♥s✐❞❡r ❡❛❝❤ r✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ◮ (xi, yi) ❝❡♥t❡r ♦❢ r✐♥❣ i ◮ ui,j ∈ {✵, ✶} ✐❢ r✐♥❣ i ✐s ❞✐r❡❝t❧② ♣❧❛❝❡❞ ✐♥s✐❞❡ r✐♥❣ j ◮ wi,r ∈ {✵, ✶} ✐❢ r✐♥❣ i ✐s ❞✐r❡❝t❧② ♣❧❛❝❡❞ ✐♥s✐❞❡ r❡❝t❛♥❣❧❡ r ◮ φr ∈ {✵, ✶} ✐❢ r❡❝t❛♥❣❧❡ r ✐s ✉s❡❞
✷ ✷
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✻ ✴ ✸✷
◮ ❝♦♥s✐❞❡r ❡❛❝❤ r✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ◮ (xi, yi) ❝❡♥t❡r ♦❢ r✐♥❣ i ◮ ui,j ∈ {✵, ✶} ✐❢ r✐♥❣ i ✐s ❞✐r❡❝t❧② ♣❧❛❝❡❞ ✐♥s✐❞❡ r✐♥❣ j ◮ wi,r ∈ {✵, ✶} ✐❢ r✐♥❣ i ✐s ❞✐r❡❝t❧② ♣❧❛❝❡❞ ✐♥s✐❞❡ r❡❝t❛♥❣❧❡ r ◮ φr ∈ {✵, ✶} ✐❢ r❡❝t❛♥❣❧❡ r ✐s ✉s❡❞
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✻ ✴ ✸✷
◮ ❝♦♥s✐❞❡r ❡❛❝❤ r✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧② ◮ (xi, yi) ❝❡♥t❡r ♦❢ r✐♥❣ i ◮ ui,j ∈ {✵, ✶} ✐❢ r✐♥❣ i ✐s ❞✐r❡❝t❧② ♣❧❛❝❡❞ ✐♥s✐❞❡ r✐♥❣ j ◮ wi,r ∈ {✵, ✶} ✐❢ r✐♥❣ i ✐s ❞✐r❡❝t❧② ♣❧❛❝❡❞ ✐♥s✐❞❡ r❡❝t❛♥❣❧❡ r ◮ φr ∈ {✵, ✶} ✐❢ r❡❝t❛♥❣❧❡ r ✐s ✉s❡❞
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✻ ✴ ✸✷
✼ ✴ ✸✷
✽ ✴ ✸✷
◮ zP ∈ Z+ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ♣❛❝❦✐♥❣ P ∈ P ✉s❡❞ ◮ αt,P ♥✉♠❜❡r ♦❢ r✐♥❣s ♦❢ t②♣❡ t ∈ T ✐♥ P ∈ P
✾ ✴ ✸✷
◮ zP ∈ Z+ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ♣❛❝❦✐♥❣ P ∈ P ✉s❡❞ ◮ αt,P ♥✉♠❜❡r ♦❢ r✐♥❣s ♦❢ t②♣❡ t ∈ T ✐♥ P ∈ P
✾ ✴ ✸✷
◮ zP ∈ Z+ ❛♠♦✉♥t ♦❢ ♣❛❝❦✐♥❣ P ∈ P ✉s❡❞ ◮ αt,P ♥✉♠❜❡r ♦❢ r✐♥❣s ♦❢ t②♣❡ t ∈ T ✐♥ P ∈ P
◮ s✐♠✐❧❛r t♦ ❜✐♥✲♣❛❝❦✐♥❣ r❡❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✿ |P| ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❧❛r❣❡ ✐♥ T = |T |
✾ ✴ ✸✷
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✶✵ ✴ ✸✷
◮ (λ✶, . . . , λT) ❞✉❛❧ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs ♦❢ ❞❡♠❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥ts ◮ ✜♥❞ P ∈ P ✇✐t❤ ✶ − t αt,Pλt < ✵
✶✵ ✴ ✸✷
◮ (λ✶, . . . , λT) ❞✉❛❧ ♠✉❧t✐♣❧✐❡rs ♦❢ ❞❡♠❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥ts ◮ ✜♥❞ P ∈ P ✇✐t❤ ✶ − t αt,Pλt < ✵
◮ r❡❝✉rs✐✈❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❘❈PP ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ✐♥ PP ◮ ❤♦♣❡❧❡ss t♦ s♦❧✈❡ ❛s ♥♦♥❝♦♥✈❡① ▼■◆▲P
✶✵ ✴ ✸✷
✶✶ ✴ ✸✷
+ × T ✐s ❛ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥ :⇔ ◮ i{di ♠❛♥② ❝✐r❝❧❡s ✇✐t❤ r❛❞✐✉s r ext i
✶✷ ✴ ✸✷
+ × T ✐s ❛ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥ :⇔ ◮ i{di ♠❛♥② ❝✐r❝❧❡s ✇✐t❤ r❛❞✐✉s r ext i
✶✷ ✴ ✸✷
◮ CP := s❡t ♦❢ ♥♦♥✲❞♦♠✐♥❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s ◮ |CP| ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ T, r ext, r int
✶✸ ✴ ✸✷
◮ RP ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✈❡❝t♦rs d = (d✶, . . . , dT) ∈ ZT + ◮ |RP| ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ T, r ext, W , H
✶✹ ✴ ✸✷
◮ ✐❞❡❛✿ r❡❝✉rs✐♦♥ ♦♥ ✶✲❧❡✈❡❧ ♣❛❝❦✐♥❣s ✐♥st❡❛❞ ♦❢ r✐♥❣s ◮ ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ♠✉❧t✐✲st❛❣❡ ❝✉tt✐♥❣ st♦❝❦ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❬▼✉t❡r✱ ❇✐r❜✐❧✱ ❇ü❧❜☎ ❧ ✷✵✶✷❪
✶✺ ✴ ✸✷
◮ ✐❞❡❛✿ r❡❝✉rs✐♦♥ ♦♥ ✶✲❧❡✈❡❧ ♣❛❝❦✐♥❣s ✐♥st❡❛❞ ♦❢ r✐♥❣s ◮ ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ♠✉❧t✐✲st❛❣❡ ❝✉tt✐♥❣ st♦❝❦ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❬▼✉t❡r✱ ❇✐r❜✐❧✱ ❇ü❧❜☎ ❧ ✷✵✶✷❪
✶✺ ✴ ✸✷
◮ ✐❞❡❛✿ r❡❝✉rs✐♦♥ ♦♥ ✶✲❧❡✈❡❧ ♣❛❝❦✐♥❣s ✐♥st❡❛❞ ♦❢ r✐♥❣s ◮ ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ♠✉❧t✐✲st❛❣❡ ❝✉tt✐♥❣ st♦❝❦ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❬▼✉t❡r✱ ❇✐r❜✐❧✱ ❇ü❧❜☎ ❧ ✷✵✶✷❪
✶✺ ✴ ✸✷
◮ ✐❞❡❛✿ r❡❝✉rs✐♦♥ ♦♥ ✶✲❧❡✈❡❧ ♣❛❝❦✐♥❣s ✐♥st❡❛❞ ♦❢ r✐♥❣s ◮ ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ♠✉❧t✐✲st❛❣❡ ❝✉tt✐♥❣ st♦❝❦ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❬▼✉t❡r✱ ❇✐r❜✐❧✱ ❇ü❧❜☎ ❧ ✷✵✶✷❪
✶✺ ✴ ✸✷
◮ ✐❞❡❛✿ r❡❝✉rs✐♦♥ ♦♥ ✶✲❧❡✈❡❧ ♣❛❝❦✐♥❣s ✐♥st❡❛❞ ♦❢ r✐♥❣s ◮ ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ♠✉❧t✐✲st❛❣❡ ❝✉tt✐♥❣ st♦❝❦ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❬▼✉t❡r✱ ❇✐r❜✐❧✱ ❇ü❧❜☎ ❧ ✷✵✶✷❪
✶✺ ✴ ✸✷
◮ zC ∈ Z+ ❢♦r C ∈ CP ◮ zR ∈ Z+ ❢♦r R ∈ RP ◮ αt,R ✴ αt,C ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝✐r❝❧❡s ♦❢ t②♣❡ t ✐♥ ♣❛tt❡r♥ R ✴ C
✶✻ ✴ ✸✷
◮ zC ∈ Z+ ❢♦r C ∈ CP ◮ zR ∈ Z+ ❢♦r R ∈ RP ◮ αt,R ✴ αt,C ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝✐r❝❧❡s ♦❢ t②♣❡ t ✐♥ ♣❛tt❡r♥ R ✴ C
✶✻ ✴ ✸✷
◮ zC ∈ Z+ ❢♦r C ∈ CP ◮ zR ∈ Z+ ❢♦r R ∈ RP ◮ αt,R ✴ αt,C ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝✐r❝❧❡s ♦❢ t②♣❡ t ✐♥ ♣❛tt❡r♥ R ✴ C
✶✻ ✴ ✸✷
◮ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ❡♥✉♠❡r❛t❡❞ ◮ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ◮ r❡❝✉rs✐✈❡♥❡ss r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❝♦✉♥t✐♥❣
✷ ✷ ✷ ✷ ✷ ✶ ✶ ✸ ✸ ✶ ✶ ✶ ✶
✶✼ ✴ ✸✷
◮ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ❡♥✉♠❡r❛t❡❞ ◮ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ◮ r❡❝✉rs✐✈❡♥❡ss r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❝♦✉♥t✐♥❣
◮ ♠❛①✐♠✉♠ ✇❡✐❣❤t ❝✐r❝❧❡ ♣❛❝❦✐♥❣ ◮ s♦❧✈❡ ♥♦♥❝♦♥✈❡① ▼■◆▲P ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥
◮ ❋❛r❧❡② ❜♦✉♥❞ ❣✐✈❡s ❛ ♣r♦✈❡♥ ❞✉❛❧
✶✼ ✴ ✸✷
+ × T ✱ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ◮ ♣❛tt❡r♥ ✐s ♣❛❝❦❛❜❧❡✿ (d, t) ∈ CPfeas ◮ ♣❛tt❡r♥ ✐s ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✿ (d, t) ∈ CPinfeas
✶✽ ✴ ✸✷
+ × T ✱ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ◮ ♣❛tt❡r♥ ✐s ♣❛❝❦❛❜❧❡✿ (d, t) ∈ CPfeas ◮ ♣❛tt❡r♥ ✐s ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✿ (d, t) ∈ CPinfeas
◮ t♦♦ ❢❡✇ ❝✐r❝❧❡s → ❢❡❛s✐❜❧❡ ✭❤❡✉r✐st✐❝✮ → ❡❛s② ◮ t♦♦ ♠❛♥② ❝✐r❝❧❡s → ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡ ✭◆▲P✮ → ❡❛s②
✶✽ ✴ ✸✷
+ × T ✱ ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡t❤❡r ◮ ♣❛tt❡r♥ ✐s ♣❛❝❦❛❜❧❡✿ (d, t) ∈ CPfeas ◮ ♣❛tt❡r♥ ✐s ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✿ (d, t) ∈ CPinfeas
◮ t♦♦ ❢❡✇ ❝✐r❝❧❡s → ❢❡❛s✐❜❧❡ ✭❤❡✉r✐st✐❝✮ → ❡❛s② ◮ t♦♦ ♠❛♥② ❝✐r❝❧❡s → ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡ ✭◆▲P✮ → ❡❛s②
◮ ♦♣t✐♠✐st✐❝ ❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ → ❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞ ✈✐❛ CPfeas ∪ CPunknown ◮ ♣❡ss✐♠✐st✐❝ ❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ → ♣r✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞ ✈✐❛ CPfeas
✶✽ ✴ ✸✷
✶✾ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥
✷✵ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ← ❤❡❧♣❡rs ❢♦r st♦r✐♥❣ ♣❛tt❡r♥s ✳✳✳ str✉❝t ❙❈■P❴P❛tt❡r♥ ④ ❇▼❙❴❇▲❑▼❊▼✯ ❜❧❦♠❡♠❀ ✴✯✯❁ ❜❧♦❝❦ ♠❡♠♦r② ✯✴ ❙❈■P❴P❆❚❚❊❘◆❚❨P❊ ♣❛tt❡r♥t②♣❡❀ ✴✯✯❁ ♣❛tt❡r♥ t②♣❡✿ ❝✐r❝✉❧❛r✱ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ✯✴ ❙❈■P❴P❆❈❑❆❇▲❊ ♣❛❝❦❛❜❧❡❀ ✴✯✯❁ ♣❛❝❦❛❜❧❡ st❛t✉s✿ ②❡s✱ ♥♦✱ ✉♥❦♥♦✇♥ ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧✯ ①s❀ ✴✯✯❁ ❛rr❛② ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ①✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧✯ ②s❀ ✴✯✯❁ ❛rr❛② ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ②✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ✯✴ ✐♥t✯ t②♣❡s❀ ✴✯✯❁ ❛rr❛② st♦r✐♥❣ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ✯✴ ✐♥t s✐③❡❀ ✴✯✯❁ s✐③❡ ♦❢ t②♣❡s✱ ①s✱ ❛♥❞ ②s ❛rr❛②s ✯✴ ✐♥t ♥❡❧❡♠s❀ ✴✯✯❁ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts st♦r❡❞ ✯✴ ✐♥t ♥❧♦❝❦s❀ ✴✯✯❁ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧♦❝❦s ✯✴ ✐♥t t②♣❡❀ ✴✯✯❁ t②♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝✐r❝❧❡ ✯✴ ⑥❀ t②♣❡❞❡❢ str✉❝t ❙❈■P❴P❛tt❡r♥ ❙❈■P❴P❆❚❚❊❘◆❀ ✳✳✳ ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥
✷✶ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ← ❤❡❧♣❡rs ❢♦r st♦r✐♥❣ ♣❛tt❡r♥s ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← r❡❛❞ s✐♠♣❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ s✵✸✐✶✳r♣❛ ✸ ✶✵ ✶✶✳✹✹✻✽ ✻✻ ✵✳✷✾✺✸✶✾ ✵✳✸✹✷✺✺✸ ✷✽ ✵✳✺✶✼✹✹✼ ✵✳✺✾✾✸✻✷ ✸✻ ✵✳✼✸✾✺✼✹ ✵✳✽✺✻✶✼ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥
✷✷ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ← ❤❡❧♣❡rs ❢♦r st♦r✐♥❣ ♣❛tt❡r♥s ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← r❡❛❞ s✐♠♣❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← ❝r❡❛t❡ ❛♥❞ st♦r❡ r❡str✐❝t❡❞ ♠❛st❡r str✉❝t ❙❈■P❴Pr♦❜❉❛t❛ ④ ✐♥t✯ ❞❡♠❛♥❞s❀ ✴✯✯❁ ❛rr❛② ♦❢ ❞❡♠❛♥❞s ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧✯ r✐♥ts❀ ✴✯✯❁ ✐♥t❡r♥❛❧ r❛❞✐✐ ♦❢ ❡❛❝❤ r✐♥❣ ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧✯ r❡①ts❀ ✴✯✯❁ ❡①t❡r♥❛❧ r❛❞✐✐ ♦❢ ❡❛❝❤ r✐♥❣ ✯✴ ✐♥t ♥t②♣❡s❀ ✴✯✯❁ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐❢❢❡r❡♥t t②♣❡s ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧ ✇✐❞t❤❀ ✴✯✯❁ ❤❡✐❣❤t ♦❢ ❡❛❝❤ r❡❝t❛♥❣❧❡ ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧ ❤❡✐❣❤t❀ ✴✯✯❁ ✇✐❞t❤ ♦❢ ❡❛❝❤ r❡❝t❛♥❣❧❡ ✯✴ ❙❈■P❴❈❖◆❙✯✯ ♣❛tt❡r♥❝♦♥ss❀ ✴✯✯❁ ♣❛❝❦✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥ts ❢♦r ❡❛❝❤ t②♣❡ ✯✴ ❙❈■P❴P❆❚❚❊❘◆✯✯ ❝♣❛tt❡r♥s❀ ✴✯✯❁ ❛rr❛② ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛❧❧ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ✯✴ ❙❈■P❴❱❆❘✯✯ ❝✈❛rs❀ ✴✯✯❁ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ✯✴ ✐♥t ♥❝♣❛tt❡r♥s❀ ✴✯✯❁ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝✐r❝✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ✯✴ ✳✳✳ ❙❈■P❴P❆❚❚❊❘◆✯✯ r♣❛tt❡r♥s❀ ✴✯✯❁ ❛rr❛② ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛❧❧ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ✯✴ ❙❈■P❴❱❆❘✯✯ r✈❛rs❀ ✴✯✯❁ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ✯✴ ✐♥t ♥r♣❛tt❡r♥s❀ ✴✯✯❁ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡❝t❛♥❣✉❧❛r ♣❛tt❡r♥s ✯✴ ✳✳✳ ❙❈■P❴❇♦♦❧ ✐s❞✉❛❧✐♥✈❛❧✐❞❀ ✴✯✯❁ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡♣♦rt❡❞ ❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ✈❛❧✐❞ ✯✴ ❙❈■P❴❘❡❛❧ ❞✉❛❧❜♦✉♥❞❀ ✴✯✯❁ ✈❛❧✐❞ ❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞ ❢♦r ❘❈PP ✐♥st❛♥❝❡ ✯✴ ❙❈■P❴❘❆◆❉◆❯▼●❊◆✯ r❛♥❞♥✉♠❣❡♥❀ ✴✯✯❁ r❛♥❞♦♠ ♥✉♠❜❡r ❣❡♥❡r❛t♦r ✯✴ ⑥❀ ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥
✷✸ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ← ❤❡❧♣❡rs ❢♦r st♦r✐♥❣ ♣❛tt❡r♥s ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← r❡❛❞ s✐♠♣❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← ❝r❡❛t❡ ❛♥❞ st♦r❡ r❡str✐❝t❡❞ ♠❛st❡r ❙❈■P❴❘❊❚❈❖❉❊ ❙❈■P♣r♦❜❞❛t❛❙❡t✉♣Pr♦❜❧❡♠✭✮ ❙❈■P❴❘❊❚❈❖❉❊ ❙❈■P♣r♦❜❞❛t❛■t❡♠✐③❡P❛tt❡r♥s✭✮ ✈♦✐❞ ❙❈■P♣❛❝❦❈✐r❝❧❡s●r❡❡❞②✭✮ ❙❈■P❴❘❊❚❈❖❉❊ ❙❈■P✈❡r✐❢②❈✐r❝✉❧❛rP❛tt❡r♥❍❡✉r✐st✐❝✭✮ ❙❈■P❴❘❊❚❈❖❉❊ ❙❈■P✈❡r✐❢②❈✐r❝✉❧❛rP❛tt❡r♥◆▲P✭✮ ✈♦✐❞ ❙❈■P♣r♦❜❞❛t❛❯♣❞❛t❡❉✉❛❧❜♦✉♥❞✭✮ ✈♦✐❞ ❙❈■P♣r♦❜❞❛t❛■♥✈❛❧✐❞❛t❡❉✉❛❧❜♦✉♥❞✭✮ ✳✳✳ ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥
✷✹ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ← ❤❡❧♣❡rs ❢♦r st♦r✐♥❣ ♣❛tt❡r♥s ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← r❡❛❞ s✐♠♣❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← ❝r❡❛t❡ ❛♥❞ st♦r❡ r❡str✐❝t❡❞ ♠❛st❡r ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← ✐♠♣❧❡♠❡♥t r❡❞❝♦st ♣r✐❝✐♥❣✿
✷✺ ✴ ✸✷
◮ ❝♠❛✐♥✳❝ ← ✐♥❝❧✉❞❡ ♣❧✉❣✐♥s✱ ❛❞❞ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ st❛rt s❤❡❧❧ ◮ ♣❛tt❡r♥✳④❤✱❝⑥ ← ❤❡❧♣❡rs ❢♦r st♦r✐♥❣ ♣❛tt❡r♥s ◮ r❡❛❞❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← r❡❛❞ s✐♠♣❧❡ ✐♥st❛♥❝❡ ❡♥❝♦❞✐♥❣ ◮ ♣r♦❜❞❛t❛❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← ❝r❡❛t❡ ❛♥❞ st♦r❡ r❡str✐❝t❡❞ ♠❛st❡r ◮ ♣r✐❝❡r❴r♣❛✳④❤✱❝⑥ ← ✐♠♣❧❡♠❡♥t r❡❞❝♦st ♣r✐❝✐♥❣✿
✷✺ ✴ ✸✷
◮ ❝♦♥t❛✐♥s ✽✵✵ r❛♥❞♦♠ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✐♥st❛♥❝❡s ◮ |T | ∈ {✸, ✹, ✺, ✶✵} ◮ ♠❛①i r int
i
♠✐♥i r ext
i
◮ ♠❛①{W ,H} ♠❛①i r ext
i
◮ Di ∈
π(r ext
i
)✷ , ✶.✷·W ·H π(r ext
i
)✷
✷✻ ✴ ✸✷
♠❛①i r int
i
♠✐♥i r ext
i
✷✼ ✴ ✸✷
◮ gap = |primal−dual| ♠✐♥{primal,dual} ◮ dual = ❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞ ❢♦r CPLB ◮ primal = ♣r✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞ ❢♦r CPUB
✵% ❣❛♣ ✸✵✳✹✪ ✵ − ✷✺% ❣❛♣ ✻✳✶✪ ✷✺ − ✺✵% ❣❛♣ ✹✸✳✹✪ ✺✵ − ✶✵✵% ❣❛♣ ✼✳✻✪ > ✶✵✵% ❣❛♣ ✶✷✳✺✪
✷✽ ✴ ✸✷
◮ gap = |primal−dual| ♠✐♥{primal,dual} ◮ dual = ❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞ ❢♦r CPLB ◮ primal = ♣r✐♠❛❧ ❜♦✉♥❞ ❢♦r CPUB
✵% ❣❛♣ ✸✵✳✹✪ ✵ − ✷✺% ❣❛♣ ✻✳✶✪ ✷✺ − ✺✵% ❣❛♣ ✹✸✳✹✪ ✺✵ − ✶✵✵% ❣❛♣ ✼✳✻✪ > ✶✵✵% ❣❛♣ ✶✷✳✺✪
✷✽ ✴ ✸✷
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st❛rt ✇✐t❤ CPfeas ∪ CPunknown ❢♦✉♥❞ ✐♠♣r♦✈✐♥❣ R ∈ RP❄ ❛❞❞ R t♦ RMP z∗ = LP(RMP) ∃C ∈ CPunknown ✇✐t❤ z∗
C > ✵❄
s♦❧✈❡❞ RMP ✈❡r✐❢② C ✜① zC = ✵ ✜① zC = ✵ ✐♥✈❛❧✐❞❛t❡ ❞✉❛❧ ❜♦✉♥❞ ♥♦ ②❡s ♥♦ ②❡s C ∈ CPfeas C ∈ CPinfeas C ∈ CPunknown
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◮ ♣❛❝❦ s❡t ♦❢ r✐♥❣s❀ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡❝t❛♥❣❧❡s ◮ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❈✐r❝❧❡ P❛❝❦✐♥❣ Pr♦❜❧❡♠
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◮ r❡❝✉rs✐✈❡ ♠❛st❡r ♣r♦❜❧❡♠ ◮ ♥♦♥❝♦♥✈❡① ▼■◆▲P ♣r✐❝✐♥❣
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◮ ●❧❡✐①♥❡r✱ ▼ü❧❧❡r✱ ▼❛❤❡r✱ P❡❞r♦s♦✱ ❊①❛❝t ♠❡t❤♦❞s ❢♦r r❡❝✉rs✐✈❡ ❝✐r❝❧❡ ♣❛❝❦✐♥❣✱
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