t tr rts - - PowerPoint PPT Presentation

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❈❤♦♦s❡ ❱ = A✶(Fq) ✭■ = {✵} ⊂ Fq[❳✶]✮✱ P = {P✶, ..., Pq−✶} = F∗

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q✱ ✇❤❡r❡ ❣ ✐s t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❣❡♥✉s ♦❢

✳ ❯s✐♥❣ r❡❞✉❝t✐♦♥s ♦❢ ✭❉r✐♥❢❡❧❞✮ ♠♦❞✉❧❛r ❝✉r✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❚❢❛s♠❛♥✱ ❱❧❛❞✉t✱ ❩✐♥❦✮ ▲❡t ❘ ✵ ✶ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ ■❤❛r❛✬s ❝♦♥st❛♥t t♦ ❜❡ ❆ q ❧✐♠ s✉♣❣

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝♦❞❡s ❢r♦♠ ❝✉r✈❡s ✭❱✳❉✳ ●♦♣♣❛✮

❈❤♦♦s❡ ❱ = C t♦ ❜❡ ❛ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ❝✉r✈❡✱ P = {P✶, ..., P♥} r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡✱ ▲ = ▲(●) ❢♦r s♦♠❡ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐✈✐s♦r ●✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❝♦❞❡ ❈(P, ▲) ✐s ❛♥ [♥, ❦, ❞ ≥ ♥ − ❦ + ✶ − ❣] ❝♦❞❡ ♦✈❡r Fq✱ ✇❤❡r❡ ❣ ✐s t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❣❡♥✉s ♦❢ C✳ ❯s✐♥❣ r❡❞✉❝t✐♦♥s ♦❢ ✭❉r✐♥❢❡❧❞✮ ♠♦❞✉❧❛r ❝✉r✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❚❢❛s♠❛♥✱ ❱❧❛❞✉t✱ ❩✐♥❦✮ ▲❡t ❘ ✵ ✶ ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ ■❤❛r❛✬s ❝♦♥st❛♥t t♦ ❜❡ ❆ q ❧✐♠ s✉♣❣

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❊①❛♠♣❧❡✿ ❝♦❞❡s ❢r♦♠ ❝✉r✈❡s ✭❱✳❉✳ ●♦♣♣❛✮

❈❤♦♦s❡ ❱ = C t♦ ❜❡ ❛ ♥♦♥✲s✐♥❣✉❧❛r ❝✉r✈❡✱ P = {P✶, ..., P♥} r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥ts ♦♥ t❤❡ ❝✉r✈❡✱ ▲ = ▲(●) ❢♦r s♦♠❡ r❛t✐♦♥❛❧ ❞✐✈✐s♦r ●✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❝♦❞❡ ❈(P, ▲) ✐s ❛♥ [♥, ❦, ❞ ≥ ♥ − ❦ + ✶ − ❣] ❝♦❞❡ ♦✈❡r Fq✱ ✇❤❡r❡ ❣ ✐s t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❣❡♥✉s ♦❢ C✳ ❯s✐♥❣ r❡❞✉❝t✐♦♥s ♦❢ ✭❉r✐♥❢❡❧❞✮ ♠♦❞✉❧❛r ❝✉r✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❚❢❛s♠❛♥✱ ❱❧❛❞✉t✱ ❩✐♥❦✮ ▲❡t ❘ ∈ [✵, ✶] ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ ■❤❛r❛✬s ❝♦♥st❛♥t t♦ ❜❡ ❆(q) = ❧✐♠ s✉♣❣(C)→∞ #C(Fq)/❣(C)✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ [♥✐, ❦✐, ❞✐] ❝♦❞❡s ♦✈❡r Fq ✭✇✐t❤ ♥✐ → ∞ ❛s ✐ → ∞✮ s✉❝❤ t❤❛t ❧✐♠

✐→∞

❦✐ ♥✐ = ❘ ❛♥❞ ❧✐♠

✐→∞

❞✐ ♥✐ ≥ ✶ − ❘ − ✶ ❆(q).

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝♦❞❡s ❢r♦♠ ❤✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❛r✐❡t✐❡s

❱

♠ q ✱ ♠ q ✱ ▲

❢

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♠ ✶ ♠

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❦ ✶ ❝♦❞❡ ♦✈❡r

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q ♠✳ ■♥ ❝❛s❡

❦ q ✶✱ t❤✐s ②✐❡❧❞s q ✶ ♠

❶❦

♠ ✶ ♠

➀

q ✶ ♠

✶ q

❦ ❝♦❞❡s ♦✈❡r

q✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❊①❛♠♣❧❡✿ ❝♦❞❡s ❢r♦♠ ❤✐❣❤❡r ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ✈❛r✐❡t✐❡s

❱ = A♠(Fq)✱ P = F♠

q ✱ ▲ = {❢ ∈ Fq[❳✶, . . . , ❳♠] | ❞❡❣ ❢ < ❦}

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❱ = A♠(Fq)✱ P = F♠

q ✱ ▲ = {❢ ∈ Fq[❳✶, . . . , ❳♠] | ❞❡❣ ❢ < ❦}

❣✐✈❡s r✐s❡ t♦ ✭❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞✮ ❘❡❡❞✕▼✉❧❧❡r ❝♦❞❡s✳ ■♥ ❝❛s❡ ❦ ≤ q✱ ✐t ✐s ❛ [q♠,

❶❦ + ♠ − ✶

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, q♠−✶(q − ❦ + ✶)] ❝♦❞❡ ♦✈❡r Fq✳ ❆ t♦r✐❝ ✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡✿ ❝❤♦♦s❡ P = (F∗

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❶❦ + ♠ − ✶

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❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ ✭■✳▼✳❈❤❛❦r❛✈❛rt✐✮ ❛ ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ ✈❛r✐❡t② ✭❙✳●❤♦r❞♣❛❞❡✱●✳▲❛❝❤❛✉❞✱❉✳❨✉✳◆♦❣✐♥✱

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• ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ ✭■✳▼✳❈❤❛❦r❛✈❛rt✐✮
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• ❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢ ❛ ●r❛ss♠❛♥♥ ✈❛r✐❡t②

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❡t❝✳✳✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s s❡❡✿ ❆❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ❈♦❞❡s✱ ✭❡❞s✳ ▼❛rt✐♥❡③✲▼♦r♦✱ ▼✉♥✉❡r❛✱ ❘✉❛♥♦✮✱ ❙❡r✐❡s ♦♥ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❈r②♣t♦❧♦❣②✲✈♦❧✳✺✱ ❲♦r❧❞ ❙❝✐❡♥t✐✜❝✱ ✷✵✵✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

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• ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ ✭■✳▼✳❈❤❛❦r❛✈❛rt✐✮
• ❛ ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ ✈❛r✐❡t② ✭❙✳●❤♦r❞♣❛❞❡✱●✳▲❛❝❤❛✉❞✱❉✳❨✉✳◆♦❣✐♥✱

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• ❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢ ❛ ●r❛ss♠❛♥♥ ✈❛r✐❡t②

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• ✭❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢✮ ❛ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t②

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❡t❝✳✳✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s s❡❡✿ ❆❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ❈♦❞❡s✱ ✭❡❞s✳ ▼❛rt✐♥❡③✲▼♦r♦✱ ▼✉♥✉❡r❛✱ ❘✉❛♥♦✮✱ ❙❡r✐❡s ♦♥ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❈r②♣t♦❧♦❣②✲✈♦❧✳✺✱ ❲♦r❧❞ ❙❝✐❡♥t✐✜❝✱ ✷✵✵✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

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• ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ ✭■✳▼✳❈❤❛❦r❛✈❛rt✐✮
• ❛ ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ ✈❛r✐❡t② ✭❙✳●❤♦r❞♣❛❞❡✱●✳▲❛❝❤❛✉❞✱❉✳❨✉✳◆♦❣✐♥✱

❈✳❚✳❘②❛♥✱ ❑✳▼✳❘②❛♥✱▼✳❚s❢❛s♠❛♥✮

• ❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢ ❛ ●r❛ss♠❛♥♥ ✈❛r✐❡t②

✭P✳❇✳✱❙✳●❤♦r♣❛❞❡✱❚✳❍ø❤♦❧❞t✮✱

• ✭❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢✮ ❛ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t②

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• ❡t❝✳✳✳

❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s s❡❡✿ ❆❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ❈♦❞❡s✱ ✭❡❞s✳ ▼❛rt✐♥❡③✲▼♦r♦✱ ▼✉♥✉❡r❛✱ ❘✉❛♥♦✮✱ ❙❡r✐❡s ♦♥ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❈r②♣t♦❧♦❣②✲✈♦❧✳✺✱ ❲♦r❧❞ ❙❝✐❡♥t✐✜❝✱ ✷✵✵✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐❢ ❱ ✐s

• ❛ q✉❛❞r✐❝ ✭❨✳❆✉❜r②✱ ❆✳❈♦✉✈r❡✉r✱ ■✳❉✉✉rs♠❛✱ ❋✳❊❞♦✉❦♦✉✱ ❏✳❱♦❧♦❝❤✱

❏✳❲♦❧❢♠❛♥♥✱ ▼✳❩❛rr❛✮✱

• ❛ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ❤②♣❡rs✉r❢❛❝❡ ✭■✳▼✳❈❤❛❦r❛✈❛rt✐✮
• ❛ ●r❛ss♠❛♥♥✐❛♥ ✈❛r✐❡t② ✭❙✳●❤♦r❞♣❛❞❡✱●✳▲❛❝❤❛✉❞✱❉✳❨✉✳◆♦❣✐♥✱

❈✳❚✳❘②❛♥✱ ❑✳▼✳❘②❛♥✱▼✳❚s❢❛s♠❛♥✮

• ❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢ ❛ ●r❛ss♠❛♥♥ ✈❛r✐❡t②

✭P✳❇✳✱❙✳●❤♦r♣❛❞❡✱❚✳❍ø❤♦❧❞t✮✱

• ✭❛♥ ❛✣♥❡ ♣❛rt ♦❢✮ ❛ t♦r✐❝ ✈❛r✐❡t②

✭❏✳❍❛♥s❡♥✱❏✳❇✳▲✐tt❧❡✱❉✳❘✉❛♥♦✱❍✳❙❝❤❡♥❦✱❘✳❙❝❤✇❛r③✱■✳❙♦♣r✉♥♦✈✱❊✳❙♦♣r✉♥♦✈❛✮

• ❡t❝✳✳✳

❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s s❡❡✿ ❆❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ❈♦❞❡s✱ ✭❡❞s✳ ▼❛rt✐♥❡③✲▼♦r♦✱ ▼✉♥✉❡r❛✱ ❘✉❛♥♦✮✱ ❙❡r✐❡s ♦♥ ❈♦❞✐♥❣ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❈r②♣t♦❧♦❣②✲✈♦❧✳✺✱ ❲♦r❧❞ ❙❝✐❡♥t✐✜❝✱ ✷✵✵✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❚♦r✐❝ ❝♦❞❡s

▲❡t P ⊂ R♠ ❜❡ ❛ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡✱ t❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ s♦♠❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ Z♠ ▲❡t T = (F∗

q)♠ = {α✶, . . . , α♥}✱ ✇✐t❤ ♥ = (q − ✶)♠

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ Fq✲✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ▲ = ▲(P) ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❡①♣♦♥❡♥ts ✐♥ P ∩ Z♠ ❚❤❡ t♦r✐❝ ❝♦❞❡ ❈ ▲ P ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ P ✐s t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♠❛♣ ❡✈ ▲ P

q ✶ ♠ q

❢ ❢

✶

❢

♥

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❚♦r✐❝ ❝♦❞❡s

▲❡t P ⊂ R♠ ❜❡ ❛ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛❧ ❝♦♥✈❡① ♣♦❧②t♦♣❡✱ t❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ s♦♠❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ Z♠ ▲❡t T = (F∗

q)♠ = {α✶, . . . , α♥}✱ ✇✐t❤ ♥ = (q − ✶)♠

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ Fq✲✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ▲ = ▲(P) ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ✇✐t❤ ❡①♣♦♥❡♥ts ✐♥ P ∩ Z♠ ❚❤❡ t♦r✐❝ ❝♦❞❡ ❈(T , ▲(P)) ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ P ✐s t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♠❛♣ ❡✈ : ▲(P) → F(q−✶)♠

q

❢ → (❢ (α✶), . . . , ❢ (α♥)).

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❚❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♠❛♣ ❡✈ ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♦♥ ▲(P) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ ✉, ✈ ∈ P ∩ Z♠ ✉ − ✈ ∈ (q − ✶)Z♠ ❚❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s tr✐✈✐❛❧❧② s❛t✐s✜❡❞ ✐❢ P ⊂ [✵, q − ✶)♠ ❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ♦❢ ❈ ▲ P ✐s ❛ st❛t❡♠❡♥t ❛❜♦✉t t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ③❡r♦❡s ✐♥ ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❢

❳

✉ P

♠

❝✉❳ ✉ ❝❛♥ ❤❛✈❡✿ ❞ q ✶ ♠ ♠❛①

❢

❢ ✵

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❚❤❡ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♠❛♣ ❡✈ ✐s ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♦♥ ▲(P) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ ✉, ✈ ∈ P ∩ Z♠ ✉ − ✈ ∈ (q − ✶)Z♠ ❚❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s tr✐✈✐❛❧❧② s❛t✐s✜❡❞ ✐❢ P ⊂ [✵, q − ✶)♠ ❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ♦❢ ❈(T , ▲(P)) ✐s ❛ st❛t❡♠❡♥t ❛❜♦✉t t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ③❡r♦❡s ✐♥ T ❛ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❢ =

❳

✉∈P∩Z♠

❝✉❳ ✉ ❝❛♥ ❤❛✈❡✿ ❞ = (q − ✶)♠ − ♠❛①

❢

#{α ∈ T | ❢ (α) = ✵}.

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❆ ♠♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✿ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡s

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥ P(❛) ✇✐t❤ ✈❡rt✐❝❡s (✵, ✵)✱ (✶, ❛) ❛♥❞ (❛, ✶)✱ ✇✐t❤ ❛ s♦♠❡ ✐♥t❡❣❡r ❛ > ✶✳ ❚❤❡② ❛r❡ q ✶ ✷ ✶ ❛ ❛ ✶ ✷ ❞ ❝♦❞❡s ♦✈❡r

q ✇✐t❤

q ✶ q ❛ ✶ ❞ q ✶ q ❛ ❚❤❡ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r q ✽ ❛♥❞ ❛ ✹✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ❞ ✷✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❆ ♠♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✿ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡s

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥ P(❛) ✇✐t❤ ✈❡rt✐❝❡s (✵, ✵)✱ (✶, ❛) ❛♥❞ (❛, ✶)✱ ✇✐t❤ ❛ s♦♠❡ ✐♥t❡❣❡r ❛ > ✶✳ ❚❤❡② ❛r❡ [(q − ✶)✷, ✶ + ❛(❛ + ✶)/✷, ❞] ❝♦❞❡s ♦✈❡r Fq ✇✐t❤ (q − ✶)(q − ❛ − ✶) ≤ ❞ ≤ (q − ✶)(q − ❛) ❚❤❡ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r q ✽ ❛♥❞ ❛ ✹✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ❞ ✷✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❆ ♠♦t✐✈❛t✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡✿ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡s

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣♦❧②❣♦♥ P(❛) ✇✐t❤ ✈❡rt✐❝❡s (✵, ✵)✱ (✶, ❛) ❛♥❞ (❛, ✶)✱ ✇✐t❤ ❛ s♦♠❡ ✐♥t❡❣❡r ❛ > ✶✳ ❚❤❡② ❛r❡ [(q − ✶)✷, ✶ + ❛(❛ + ✶)/✷, ❞] ❝♦❞❡s ♦✈❡r Fq ✇✐t❤ (q − ✶)(q − ❛ − ✶) ≤ ❞ ≤ (q − ✶)(q − ❛) ❚❤❡ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❢♦r q = ✽ ❛♥❞ ❛ = ✹✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ❞ = ✷✽✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

■❢ ❛ ❝♦❞❡✇♦r❞ ❝ = ❡✈(❢ ) ❤❛s ❍❛♠♠✐♥❣ ✇❡✐❣❤t ❧❡ss t❤❛♥ (q − ✶)(q − ❛)✱ t❤❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢ =

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✉∈P∩Z✷

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q ♦❢ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❣❡♥✉s ❛t ♠♦st ❛ ❛

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✉∈P∩Z✷

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✉∈P∩Z✷

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P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❋♦r ❛ = ✷ t❤❡ ❡①❛❝t ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ✐s ❦♥♦✇♥✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❇✳✱❘✉❛♥♦✮ ▲❡t ❞ ❜❡ ❛s ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ t ❜❡ t❤❡ ❧❛r❣❡st ✐♥t❡❣❡r s✉❝❤ t❤❛t

✶ ✸

q ✶ t✱

✷ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r

q ✇✐t❤ q

✶ t ♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡♥ ✐t ❤♦❧❞s t❤❛t ❞ q✷ ✸q ✸ t Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝✉r✈❡s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❝✵✵ ❝✶✶❳✶❳✷ ❝✶✷❳✶❳ ✷

✷

❝✷✶❳ ✷

✶ ❳✷

✵ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ♦r❞❡r t❤r❡❡✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❋♦r ❛ = ✷ t❤❡ ❡①❛❝t ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ✐s ❦♥♦✇♥✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❇✳✱❘✉❛♥♦✮ ▲❡t ❞ ❜❡ ❛s ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ t ❜❡ t❤❡ ❧❛r❣❡st ✐♥t❡❣❡r s✉❝❤ t❤❛t

✶ ✸ | q + ✶ + t✱ ✷ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r Fq ✇✐t❤ q + ✶ + t

♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡♥ ✐t ❤♦❧❞s t❤❛t ❞ = q✷ − ✸q + ✸ − t. Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝✉r✈❡s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❝✵✵ ❝✶✶❳✶❳✷ ❝✶✷❳✶❳ ✷

✷

❝✷✶❳ ✷

✶ ❳✷

✵ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ♦r❞❡r t❤r❡❡✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❋♦r ❛ = ✷ t❤❡ ❡①❛❝t ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ✐s ❦♥♦✇♥✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✭❇✳✱❘✉❛♥♦✮ ▲❡t ❞ ❜❡ ❛s ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ t ❜❡ t❤❡ ❧❛r❣❡st ✐♥t❡❣❡r s✉❝❤ t❤❛t

✶ ✸ | q + ✶ + t✱ ✷ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦✈❡r Fq ✇✐t❤ q + ✶ + t

♣♦✐♥ts✳ ❚❤❡♥ ✐t ❤♦❧❞s t❤❛t ❞ = q✷ − ✸q + ✸ − t. Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❝✉r✈❡s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❛♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❝✵✵ + ❝✶✶❳✶❳✷ + ❝✶✷❳✶❳ ✷

✷ + ❝✷✶❳ ✷ ✶ ❳✷ = ✵

✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝✉r✈❡s ✇✐t❤ ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ♦r❞❡r t❤r❡❡✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤

❆✐♠✿ ●✐✈❡♥ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡❣r❛❧ ♣♦❧②t♦♣❡ P ❛♥❞ ❢ ∈ ▲(P)✱ ✜♥❞ ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ = {α ∈ T | ❢ (α) = ✵}

❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s ❳ ✉ ✉ ✵ q ✶ ♠

♠ ✱ s❛②

❳ ✉✶ ❳ ✉♥✳ ❉❡✜♥❡ ▲✐ ❳ ✉✶ ❳ ✉✐ ❈✐ ❈ ❱

q q ✷ ▲✐

❢♦r ✵ ✐ ♥

✐

➝

✵ ✐❢ ❈✐

✶

❈✐ ✶ ✐❢ ❈✐

✶

❈✐ ▲❡♠♠❛

P♥

✐ ✶ ✐

❱

q q ✷

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤

❆✐♠✿ ●✐✈❡♥ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡❣r❛❧ ♣♦❧②t♦♣❡ P ❛♥❞ ❢ ∈ ▲(P)✱ ✜♥❞ ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ = {α ∈ T | ❢ (α) = ✵}

❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s {❳ ✉ | ✉ ∈ [✵, q − ✶)♠ ∩ Z♠}✱ s❛② ❳ ✉✶, . . . , ❳ ✉♥✳ ❉❡✜♥❡

• ▲✐ = ❳ ✉✶, . . . , ❳ ✉✐
• ❈✐ = ❈(❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷, ▲✐) ❢♦r ✵ ≤ ✐ ≤ ♥

• ǫ✐ =

➝

✵ ✐❢ ❈✐−✶ = ❈✐ ✶ ✐❢ ❈✐−✶ = ❈✐ ▲❡♠♠❛

P♥

✐ ✶ ✐

❱

q q ✷

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❖✉t❧✐♥❡ ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤

❆✐♠✿ ●✐✈❡♥ ❛ ❝♦♥✈❡① ✐♥t❡❣r❛❧ ♣♦❧②t♦♣❡ P ❛♥❞ ❢ ∈ ▲(P)✱ ✜♥❞ ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s❡t ❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ = {α ∈ T | ❢ (α) = ✵}

❊♥✉♠❡r❛t❡ ❛❧❧ ♠♦♥♦♠✐❛❧s {❳ ✉ | ✉ ∈ [✵, q − ✶)♠ ∩ Z♠}✱ s❛② ❳ ✉✶, . . . , ❳ ✉♥✳ ❉❡✜♥❡

• ▲✐ = ❳ ✉✶, . . . , ❳ ✉✐
• ❈✐ = ❈(❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷, ▲✐) ❢♦r ✵ ≤ ✐ ≤ ♥

• ǫ✐ =

➝

✵ ✐❢ ❈✐−✶ = ❈✐ ✶ ✐❢ ❈✐−✶ = ❈✐ ▲❡♠♠❛

P♥

✐=✶ ǫ✐ = #❱ (Fq) ∩ (F∗ q)✷

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❆ss✉♠❡ ❱ ✐s ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝✉r✈❡✳ ❇♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥ts ✉s✐♥❣ t❤❡ ❲❡✐❡rstr❛ss s❡♠✐❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ◗✳

• ❡✐❧✕▼❛ts✉♠♦t♦ ❜♦✉♥❞✿

#❱ (Fq) ≤ ✶ + #❍(◗) \ (q❍∗(◗) + ❍(◗)),

• ♦♥❛❧✐t② ❜♦✉♥❞ ✭▲❡✇✐tt❡s✮✿

#❱ (Fq) ≤ ✶ + qλ✶, ✇❤❡r❡ λ✶ = ♠✐♥ ❍(◗)∗ ❚♦r✐❝ r❡✜♥❡♠❡♥ts ✭❛ss✉♠❡ ❢♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡ ◗

q ✷✮

❱

q q ✷

❍ ◗ q ✶ ❍ ◗ ❍ ◗ ❱

q q ✷

q ✶

✶

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❆ss✉♠❡ ❱ ✐s ❛♥ ✐rr❡❞✉❝✐❜❧❡ ❝✉r✈❡✳ ❇♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥ts ✉s✐♥❣ t❤❡ ❲❡✐❡rstr❛ss s❡♠✐❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ◗✳

• ❡✐❧✕▼❛ts✉♠♦t♦ ❜♦✉♥❞✿

#❱ (Fq) ≤ ✶ + #❍(◗) \ (q❍∗(◗) + ❍(◗)),

• ♦♥❛❧✐t② ❜♦✉♥❞ ✭▲❡✇✐tt❡s✮✿

#❱ (Fq) ≤ ✶ + qλ✶, ✇❤❡r❡ λ✶ = ♠✐♥ ❍(◗)∗ ❚♦r✐❝ r❡✜♥❡♠❡♥ts ✭❛ss✉♠❡ ❢♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡ ◗ ∈ (F∗

q)✷✮

#❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ ≤ #❍(◗) \ ((q − ✶)❍∗(◗) + ❍(◗)),

#❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ ≤ (q − ✶)λ✶

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

• ❡✐❧✕▼❛ts✉♠♦t♦ ❜♦✉♥❞ = ●♦♥❛❧✐t② ❜♦✉♥❞❄

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ❡ ∈ ❍ ❛♥❞ λ✶ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥♦♥✲③❡r♦ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ❍✱ t❤❡♥ #❍ \ (❡❍∗ + ❍) = ❡λ✶. ❊①❛♠♣❧❡✿ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ r❡✈✐s✐t❡❞ ❢ ❳✶ ❳✷ ❝✵✵ ❝✶✹❳✶❳ ✹

✷

❝✹✶❳ ✹

✶ ❳✷

▲ P ✹ ❝✵✵❝✶✹❝✹✶ ✵ ❆ss✉♠❡ ❱ ♥♦♥s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ❧❡t ◗ ❜❡ t❤❡ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ❱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ❡❞❣❡ ♦❢ P ✹ ✳ ❱

✽ ✽ ✷

❍ ◗ q ✶ ❍ ◗ ❍ ◗ ✷✻ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ ❜② ✷✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

• ❡✐❧✕▼❛ts✉♠♦t♦ ❜♦✉♥❞ = ●♦♥❛❧✐t② ❜♦✉♥❞❄

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ❡ ∈ ❍ ❛♥❞ λ✶ t❤❡ s♠❛❧❧❡st ♥♦♥✲③❡r♦ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ❍✱ t❤❡♥ #❍ \ (❡❍∗ + ❍) = ❡λ✶. ❊①❛♠♣❧❡✿ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ r❡✈✐s✐t❡❞ ❢ (❳✶, ❳✷) = ❝✵✵+❝✶✹❳✶❳ ✹

✷ +❝✹✶❳ ✹ ✶ ❳✷+· · · ∈ ▲(P(✹)), ❝✵✵❝✶✹❝✹✶ = ✵.

❆ss✉♠❡ ❱ ♥♦♥s✐♥❣✉❧❛r ❛♥❞ ❧❡t ◗ ❜❡ t❤❡ r❛t✐♦♥❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ ❱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ✐♥❞❡❝♦♠♣♦s❛❜❧❡ ❡❞❣❡ ♦❢ P(✹)✳ #❱ (F✽) ∩ (F∗

✽)✷ ≤ #❍(◗) \ ((q − ✶)❍(◗)∗ + ❍(◗)) = ✷✻,

✇❤✐❝❤ ✐♠♣r♦✈❡s t❤❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❏♦②♥❡r ❝♦❞❡ ❜② ✷✳

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❆ ❢✉rt❤❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✭t♦r✐❝✮ ●❡✐❧✕▼❛ts✉♠♦t♦ ❜♦✉♥❞

• ✐✈❡♥ ✐ ∈ Zℓ✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡

❍✐(◗❥) = {−✈◗❥(❢ ) | ❢ ∈ ∪❦∈Z▲(✐ + ❦❡❥)\{✵}} ❋♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② ✐t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ◗✶, . . . , ◗ℓ ∈ ❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷.

◆♦t❛t✐♦♥✿ ❋♦r ❛♥ ℓ✲t✉♣❧❡ ✐ = (✐✶, . . . , ✐ℓ) ∈ Zℓ ✇❡ ✇r✐t❡

❞❡❣(✐) = Pℓ

❥=✶ ✐❥

▲(✐) = ▲(Pℓ

❥=✶ ✐❥◗❥)

▲❡t ❡❥ ❜❡ t❤❡ ♥✲t✉♣❧❡ ❛❧❧ ♦❢ ✇❤♦s❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛r❡ ✵✱ ❡①❝❡♣t t❤❡ ❥✲t❤ ♦♥❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ✶ ❊①❛♠♣❧❡✿ ▲(λ❡❥) = ▲(λ◗❥)

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

▲❡t ✐ ∈ Zℓ ❛♥❞ ❧❡t ❥ ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ℓ✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤❡ ♣❛✐r (✐, ✐ + ❡❥) ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ✐❢ ❡✐t❤❡r✿ ▲(✐) = ▲(✐ + ❡❥) ♦r ■❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts λ ∈ ❍(◗❥)\{✵} ❛♥❞ µ ∈ ❍✐(◗❥) s✉❝❤ t❤❛t µ + (q − ✶)λ = ✐❥ + ✶✳ ❋✉rt❤❡r ✇❡ ❞❡✜♥❡ δ(✐, ✐ + ❡❥) =

➝

✵ ✐❢ t❤❡ ♣❛✐r (✐, ✐ + ❡❥) ✐s ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡✱ ✶ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ▲❡♠♠❛ ▲❡t ✐ ✐ ❡❥ ❜❡ ❛ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ♣❛✐r s✉❝❤ t❤❛t ▲ ✐ ▲ ✐ ❡❥ ✱ s❛② q ✶ ✐❥ ✶ ❢♦r ❍ ◗❥ ✵ ❛♥❞ ❍✐ ◗❥ ✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐st ❢ ▲ ❡❥ ❛♥❞ ❣ ▲ ✐ s✉❝❤ t❤❛t ❢ q

✶❣

▲ ✐ ❡❥ ▲ ✐

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

▲❡t ✐ ∈ Zℓ ❛♥❞ ❧❡t ❥ ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❜❡t✇❡❡♥ ✶ ❛♥❞ ℓ✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤❡ ♣❛✐r (✐, ✐ + ❡❥) ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ✐❢ ❡✐t❤❡r✿ ▲(✐) = ▲(✐ + ❡❥) ♦r ■❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts λ ∈ ❍(◗❥)\{✵} ❛♥❞ µ ∈ ❍✐(◗❥) s✉❝❤ t❤❛t µ + (q − ✶)λ = ✐❥ + ✶✳ ❋✉rt❤❡r ✇❡ ❞❡✜♥❡ δ(✐, ✐ + ❡❥) =

➝

✵ ✐❢ t❤❡ ♣❛✐r (✐, ✐ + ❡❥) ✐s ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡✱ ✶ ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ▲❡♠♠❛ ▲❡t (✐, ✐ + ❡❥) ❜❡ ❛ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ♣❛✐r s✉❝❤ t❤❛t ▲(✐) ▲(✐ + ❡❥)✱ s❛② µ + (q − ✶)λ = ✐❥ + ✶ ❢♦r λ ∈ ❍(◗❥)\{✵} ❛♥❞ µ ∈ ❍✐(◗❥)✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐st ❢ ∈ ▲(λ❡❥) ❛♥❞ ❣ ∈ ▲(✐) s✉❝❤ t❤❛t ❢ q−✶❣ ∈ ▲(✐ + ❡❥)\▲(✐)

P❡t❡r ❇❡❡❧❡♥ ❚♦r✐❝ ✈❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❝♦❞❡s

❚❤❡♦r❡♠ ❉❡✜♥❡ Λ = #❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ + ✷❣ − ✶ ❛♥❞

▼ = (q − ✶)(Λ + ✶) + ✷❣ − ✶✳ ▲❡t ✐(−✶), . . . , ✐(▼) ❜❡ ❛ s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ ℓ✲t✉♣❧❡s s✉❝❤ t❤❛t✿

✶ ❞❡❣(✐(−✶)) = −✶✱ ✷ ❢♦r ❛♥② ❦ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❥ s✉❝❤ t❤❛t ✐(❦) − ✐(❦−✶) = ❡❥✳

❚❤❡♥ #❱ (Fq) ∩ (F∗

q)✷ ≤ P▼ ❦=✵ δ(✐(❦−✶), ✐(❦))✳

■❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♦❢✿ ❚❤❡ q✉❛♥t✐t② ❞✐♠ ❈ ❱

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❞✐♠ ❈ ❱

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