tst rt - - PowerPoint PPT Presentation

▼✉❧t✐✲st❡♣✲❛❤❡❛❞ ♣r❡❞✐❝t✐♦♥ ♦❢ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ♣r♦①✐❡s

❏❛❝♦♣♦ ❉❡ ❙t❡❢❛♥✐✱ ■r✳ ✲ ❥❞❡st❡❢❛❅✉❧❜✳❛❝✳❜❡ Pr♦❢✳ ●✐❛♥❧✉❝❛ ❇♦♥t❡♠♣✐ ✲ ❣❜♦♥t❡❅✉❧❜✳❛❝✳❜❡ ❖❧✐✈✐❡r ❈❛❡❧❡♥✱ P❤❉ ✲ ♦❧✐✈✐❡r✳❝❛❡❧❡♥❅✇♦r❧❞❧✐♥❡✳❝♦♠ ❉❛❧✐❧❛ ❍❛tt❛❜✱ P❤❉ ✲ ❞❛❧✐❧❛✳❤❛tt❛❜❅❡q✉❡♥s✇♦r❧❞❧✐♥❡✳❝♦♠

❇❡♥❡❧❡❛r♥ ✷✵✶✼ ❊✐♥❞❤♦✈❡♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② ♦❢ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ❊✐♥❞❤♦✈❡♥✱ ◆❡t❤❡❧❛♥❞s ❋r✐❞❛② ✾t❤ ❏✉♥❡✱ ✷✵✶✼

Pr♦❜❧❡♠ ♦✈❡r✈✐❡✇

25 30 35 40 45

First series CAC40 [2012−01−02/2013−11−04]

Last 47.255 Volume (100,000s): 345,721 10 20 30 40 50 Moving Average Convergence Divergence (12,26,9): MACD: 1.335 Signal: 1.258 −3 −2 −1 1 2 3 Jan 02 2012 Mar 01 2012 May 02 2012 Jul 02 2012 Sep 03 2012 Nov 01 2012 Jan 02 2013 Mar 01 2013 May 02 2013 Jul 01 2013 Sep 02 2013 Nov 01 2013

❲❤❛t ✐s ✈♦❧❛t✐❧✐t②❄

❉❡✜♥✐t✐♦♥

❱♦❧❛t✐❧✐t② ✐s ❛ st❛t✐st✐❝❛❧ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ r❡t✉r♥s ❢♦r ❛ ❣✐✈❡♥ s❡❝✉r✐t② ♦r ♠❛r❦❡t ✐♥❞❡①✳

20 40 60 80 100 8 9 10 11 12 ❍✐❣❤ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ▲♦✇ ✈♦❧❛t✐❧✐t② t ❬❞❛②s❪ Pt

❆ ❝❧♦s❡r ❧♦♦❦ ♦♥ ❞❛t❛

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 9.8 10 10.2 P o P h P l P c P o

1

P h

1

P l

1

P c

1

Pr❡✲♦♣❡♥✐♥❣ 1 − f f 1 − f ❈❛❧❡♥❞❛r ❉❛② ✵ ❈❛❧❡♥❞❛r ❉❛② ✶ t ❬❞❛②s❪ Pt

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♣r♦①② P o

t

P h

t

P l

t

P c

t

σJ

t

❚✐♠❡ s❡r✐❡s ❢♦r❡❝❛st✐♥❣ ✲ ❚❛✐❡❜ ❬✷✵✶✹❪

❉❡✜♥✐t✐♦♥

• ✐✈❡♥ ❛ ✉♥✐✈❛r✐❛t❡ t✐♠❡ s❡r✐❡s {y1, · · · , yT } ❝♦♠♣r✐s✐♥❣ T

♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s✱ ❢♦r❡❝❛st t❤❡ ♥❡①t H ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s {yT+1, · · · , yT+H} ✇❤❡r❡ H ✐s t❤❡ ❢♦r❡❝❛st ❤♦r✐③♦♥✳ ❍②♣♦t❤❡s❡s✿

◮ ❆✉t♦r❡❣r❡ss✐✈❡ ♠♦❞❡❧ yt = f(yt−1, · · · , yt−d) + εt ✇✐t❤ ❧❛❣

♦r❞❡r d

◮ ε ✐s ❛ st♦❝❤❛st✐❝ ✐✐❞ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ µε = 0 ❛♥❞ σ2 ε = σ2

▼✉❧t✐st❡♣ ❛❤❡❛❞ ❢♦r❡❝❛st✐♥❣ ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt m(σ) · · · σJ

t−1]

[σJ

t−d

· · · [ˆ σJ

t

ˆ σJ

t+H]

✶ ■♥♣✉t ✶ ❖✉t♣✉t Pr♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ✐♥♣✉ts ✶ ♦✉t♣✉t ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ ✐♥♣✉ts ♦✉t♣✉ts

▼✉❧t✐st❡♣ ❛❤❡❛❞ ❢♦r❡❝❛st✐♥❣ ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt m(σ) · · · σJ

t−1]

[σJ

t−d

· · · [ˆ σJ

t

ˆ σJ

t+H]

✶ ■♥♣✉t ✶ ❖✉t♣✉t Pr♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ m(σ) · · · · · · · · · σXM

t−1 ]

· · · ] σJ

t−1]

[σXM

t−d

[· · · [σJ

t−d

· · · [ˆ σJ

t

ˆ σJ

t+H]

M + 1 ✐♥♣✉ts ✶ ♦✉t♣✉t ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ ✐♥♣✉ts ♦✉t♣✉ts

▼✉❧t✐st❡♣ ❛❤❡❛❞ ❢♦r❡❝❛st✐♥❣ ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt m(σ) · · · σJ

t−1]

[σJ

t−d

· · · [ˆ σJ

t

ˆ σJ

t+H]

✶ ■♥♣✉t ✶ ❖✉t♣✉t Pr♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ m(σ) · · · · · · · · · σXM

t−1 ]

· · · ] σJ

t−1]

[σXM

t−d

[· · · [σJ

t−d

· · · [ˆ σJ

t

ˆ σJ

t+H]

M + 1 ✐♥♣✉ts ✶ ♦✉t♣✉t ❋✉t✉r❡ ✇♦r❦ m(σ) · · · · · · · · · σXM

t−1 ]

· · · ] σJ

t−1]

[σXM

t−d

[· · · [σJ

t−d

· · · · · · · · · [ˆ σJ

t

[· · · [ˆ σXM

t

ˆ σJ

t+H]

· · · ] ˆ σXM

t+H]

M + 1 ✐♥♣✉ts M + 1 ♦✉t♣✉ts

▼♦❞❡❧s ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♠♦❞❡❧s

P❛st ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❆✈❡r❛❣❡✲ ❜❛s❡❞

❍❆ ▼❆ ❊❙ ❊❲▼❆ ❙❚❊❙

❙✐♠♣❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

❙❘✲❆❘ ❙❘✲❚❆❘ ❙❘✲ ❆❘▼❆

❘❛♥❞♦♠ ❲❛❧❦

❆❘❈❍

❙②♠♠❡tr✐❝

❆❘❈❍ ✭q✮

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❆s②♠♠❡tr✐❝

❊●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

• ❏❘✲
• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ◗●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮ ❙❚✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘❙✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❊①t❡♥❞❡❞

❈♦♠♣♦♥❡♥t✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣

◆◆ ❦✲◆◆ ❙❱❘

• ❇

▼♦❞❡❧s ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♠♦❞❡❧s

P❛st ✈♦❧❛t✐❧✐t② ❆✈❡r❛❣❡✲ ❜❛s❡❞

❍❆ ▼❆ ❊❙ ❊❲▼❆ ❙❚❊❙

❙✐♠♣❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

❙❘✲❆❘ ❙❘✲❚❆❘ ❙❘✲ ❆❘▼❆

❘❛♥❞♦♠ ❲❛❧❦ ❆❘❈❍ ❙②♠♠❡tr✐❝

❆❘❈❍ ✭q✮

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❆s②♠♠❡tr✐❝

❊●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

• ❏❘✲
• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ◗●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮ ❙❚✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘❙✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❊①t❡♥❞❡❞

❈♦♠♣♦♥❡♥t✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣ ◆◆ ❦✲◆◆ ❙❱❘

• ❇

▼♦❞❡❧s ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♠♦❞❡❧s

P❛st ✈♦❧❛t✐❧✐t② ❆✈❡r❛❣❡✲ ❜❛s❡❞

❍❆ ▼❆ ❊❙ ❊❲▼❆ ❙❚❊❙

❙✐♠♣❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

❙❘✲❆❘ ❙❘✲❚❆❘ ❙❘✲ ❆❘▼❆

❘❛♥❞♦♠ ❲❛❧❦ ❆❘❈❍ ❙②♠♠❡tr✐❝

❆❘❈❍ ✭q✮

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❆s②♠♠❡tr✐❝

❊●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

• ❏❘✲
• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ◗●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮ ❙❚✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘❙✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❊①t❡♥❞❡❞

❈♦♠♣♦♥❡♥t✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣ ◆◆ ❦✲◆◆ ❙❱❘

• ❇

P❛st ❘❡s❡❛r❝❤

▼♦❞❡❧s ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t②

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♠♦❞❡❧s

P❛st ✈♦❧❛t✐❧✐t② ❆✈❡r❛❣❡✲ ❜❛s❡❞

❍❆ ▼❆ ❊❙ ❊❲▼❆ ❙❚❊❙

❙✐♠♣❧❡ ❘❡❣r❡ss✐♦♥

❙❘✲❆❘ ❙❘✲❚❆❘ ❙❘✲ ❆❘▼❆

❘❛♥❞♦♠ ❲❛❧❦ ❆❘❈❍ ❙②♠♠❡tr✐❝

❆❘❈❍ ✭q✮

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❆s②♠♠❡tr✐❝

❊●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

• ❏❘✲
• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ◗●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮ ❙❚✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘❙✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮

❊①t❡♥❞❡❞

❈♦♠♣♦♥❡♥t✲

• ❆❘❈❍

✭♣✱q✮ ❘●❆❘❈❍ ✭♣✱q✮

▼❛❝❤✐♥❡ ▲❡❛r♥✐♥❣ ◆◆ ❦✲◆◆ ❙❱❘

• ❇

P❛st ❘❡s❡❛r❝❤ ❈✉rr❡♥t ❘❡s❡❛r❝❤

Pr♦♣♦s❡❞ ♠♦❞❡❧

m(σ) · · · · · · σX

t−1]

σJ

t−1]

[σX

t−d

[σJ

t−d

· · · [ˆ σJ

t

ˆ σJ

t+H]

✷ ❚❙ ■♥♣✉t ✶ ❚❙ ❖✉t♣✉t ❱♦❧❛t✐❧✐t② ♣r♦①✐❡s σX✱ σJ✿

◮ σi ❢❛♠✐❧② ✲ ●❛r♠❛♥ ❛♥❞ ❑❧❛ss

❬✶✾✽✵❪

◮ ●❆❘❈❍ ✭✶✱✶✮ ♠♦❞❡❧ ✲ ❍❛♥s❡♥

❛♥❞ ▲✉♥❞❡ ❬✷✵✵✺❪

◮ ❙❛♠♣❧❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥

❙②st❡♠ ♦✈❡r✈✐❡✇

▼✐ss✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♠♣✉t❛t✐♦♥ Pr♦①② ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ▼♦❞❡❧ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧ ❝❤♦✐❝❡ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❝❤♦✐❝❡ ❋♦r❡❝❛st❡r ❘❛✇ ❖❍▲❈ ❞❛t❛ ■♠♣✉t❡❞ ❖❍▲❈ ❞❛t❛ σi

t, σSD t

, σG

t

④❆◆◆✱ ❑◆◆⑥ ④❘❖✱ ❘❲⑥ m∗, θ∗ ❯s❡r ❝❤♦✐❝❡ ❯s❡r ❝❤♦✐❝❡ ❉❛t❛ ♣r❡♣r♦❝❡ss✐♥❣

❙②st❡♠ ♦✈❡r✈✐❡✇

▼✐ss✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♠♣✉t❛t✐♦♥ Pr♦①② ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ▼♦❞❡❧ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧ ❝❤♦✐❝❡ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❝❤♦✐❝❡ ❋♦r❡❝❛st❡r ❘❛✇ ❖❍▲❈ ❞❛t❛ ■♠♣✉t❡❞ ❖❍▲❈ ❞❛t❛ σi

t, σSD t

, σG

t

④❆◆◆✱ ❑◆◆⑥ ④❘❖✱ ❘❲⑥ m∗, θ∗ ❯s❡r ❝❤♦✐❝❡ ❯s❡r ❝❤♦✐❝❡ ❉❛t❛ ♣r❡♣r♦❝❡ss✐♥❣

❙②st❡♠ ♦✈❡r✈✐❡✇

▼✐ss✐♥❣ ✈❛❧✉❡s ✐♠♣✉t❛t✐♦♥ Pr♦①② ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ▼♦❞❡❧ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧ ❝❤♦✐❝❡ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❝❤♦✐❝❡ ❋♦r❡❝❛st❡r ❘❛✇ ❖❍▲❈ ❞❛t❛ ■♠♣✉t❡❞ ❖❍▲❈ ❞❛t❛ σi

t, σSD t

, σG

t

④❆◆◆✱ ❑◆◆⑥ ④❘❖✱ ❘❲⑥ m∗, θ∗ ❯s❡r ❝❤♦✐❝❡ ❯s❡r ❝❤♦✐❝❡ ❉❛t❛ ♣r❡♣r♦❝❡ss✐♥❣

❈♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ✲ ❈❆❈✹✵ ❚✐♠❡ s❡r✐❡s

▼❡t❛✲❛♥❛❧②s✐s ✭❝❢✳ ❋✐❡❧❞ ❬✷✵✵✶❪✮ ❛❝r♦ss ✹✵ t✐♠❡ s❡r✐❡s ✭❈❆❈✹✵✮

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Volume σ1 σ6 σ4 σ5 σ2 σ3 rt σ0 σSD

250

σSD

100

σSD

50

σG Volume σ1 σ6 σ4 σ5 σ2 σ3 rt σ0 σSD

250

σSD

100

σSD

50

σG

◮ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧

❝❧✉st❡r✐♥❣ ✉s✐♥❣ ❲❛r❞ ❏r ❬✶✾✻✸❪

◮ ❚✐♠❡ r❛♥❣❡✿

✵✺✲✵✶✲✷✵✵✾ t♦ ✷✷✲✶✵✲✷✵✶✹

◮ ✶✹✽✾ ❖❍▲❈

s❛♠♣❧❡s ♣❡r ❚❙

◮ ❆❧❧ t❤❡

❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ st❛t✐st✐❝❛❧❧② s✐❣♥✐✜❝❛♥t

◆❆❘❳ ❢♦r❡❝❛st❡r ✲ ❘❡s✉❧ts

◆❛✐✈❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ▼❆❙❊

σX ANN kNN ANNX kNNX ●❆❘❈❍✭✶✱✶✮ σ6 ✵✳✵✼ ✵✳✵✽ ✵✳✵✻ ✵✳✶✶ ✶✳✸✹ V olume ✵✳✵✼ ✵✳✵✽ ✵✳✵✼ ✵✳✶✹ ✶✳✸✹ σSD,5 ✵✳✵✼ ✵✳✵✽ ✵✳✵✼ ✵✳✵✾ ✶✳✸✹ σSD,15 ✵✳✵✼ ✵✳✵✽ ✵✳✵✻ ✵✳✶✵ ✶✳✸✹ σSD,21 ✵✳✵✼ ✵✳✵✽ ✵✳✵✻ ✵✳✶✵ ✶✳✸✹ ❙✐♥❣❧❡ ❈❆❈✹✵ st♦❝❦

◮ σJ

t = σG t

◮ 10✲st❡♣ ❛❤❡❛❞ ◮ 10✲❢♦❧❞ ❈❱ ◮ ✵✺✲✵✶✲✷✵✵✾

⇒ ✷✷✲✶✵✲✷✵✶✹

◆❛✐✈❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ▼❆❙❊

σX ANN kNN ANNX kNNX ●❆❘❈❍✭✶✱✶✮ σ6 ✵✳✺✽ ✵✳✹✾ ✵✳✺✸ ✵✳✺✻ ✶✳✶✺ V olume ✵✳✺✽ ✵✳✹✾ ✵✳✺✼ ✵✳✻✻ ✶✳✶✺ σSD,5 ✵✳✺✽ ✵✳✹✾ ✵✳✺✽ ✵✳✺✽ ✶✳✶✺ σSD,15 ✵✳✺✽ ✵✳✹✾ ✵✳✻✺ ✵✳✻✺ ✶✳✶✺ σSD,21 ✵✳✺✽ ✵✳✹✾ ✵✳✺✻ ✵✳✻✺ ✶✳✶✺ ❙✫P✺✵✵ ■♥❞❡①

◮ σJ

t = σG t

◮ 10✲st❡♣ ❛❤❡❛❞ ◮ 10✲❢♦❧❞ ❈❱ ◮ ✵✶✲✵✹✲✷✵✶✷ t♦

✸✵✲✵✼✲✷✵✶✸ ❛s ✐♥ ❉❛s❤ ❛♥❞ ❉❛s❤ ❬✷✵✶✻❪

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

◮ Pr❡❧✐♠✐♥❛r② r❡s✉❧ts ◮ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥

◮ ❈♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛♠♦♥❣ ♣r♦①✐❡s ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ t♦ t❤❡ s❛♠❡

❢❛♠✐❧②✱ ✐✳❡✳ σi

t ❛♥❞ σSD,n t

✳

◮ ❋♦r❡❝❛st✐♥❣

◮ ❇♦t❤ ♠❛❝❤✐♥❡ ❧❡❛r♥✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ♦✉t♣❡r❢♦r♠ t❤❡ ❜❡♥❝❤♠❛r❦

♠❡t❤♦❞s ✭♥❛✐✈❡ ❛♥❞ ●❆❘❈❍✮✳

◮ ❆◆◆ ❝❛♥ t❛❦❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡ ♦❢ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ ❡①♦❣❡♥♦✉s ♣r♦①② ❜❡tt❡r t❤❛♥ ❦✲◆◆

◮ ❈♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ♣r♦①✐❡s ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t ❢❛♠✐❧✐❡s ❝♦✉❧❞

✐♠♣r♦✈❡ ❢♦r❡❝❛st ❛❝❝✉r❛❝②

◮ ❲❡ ❛r❡ ❝✉rr❡♥t❧② ❛ss❡ss✐♥❣ t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧s ❢♦r

❞✐✛❡r❡♥t ❢♦r❡❝❛st✐♥❣ ❤♦r✐③♦♥s h ❛♥❞ ♠♦❞❡❧ ♦r❞❡rs d✳

◮ ■♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❣r❡❛t❡r ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥♣✉t ❚❙ ❛s ❛ ❢✉t✉r❡ r❡s❡❛r❝❤

❞✐r❡❝t✐♦♥✳

❚❤❛♥❦ ②♦✉ ❢♦r ②♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥✦ ❆♥② q✉❡st✐♦♥s✴❝♦♠♠❡♥ts❄ ❋✐♥❞ t❤❡ ♣❛♣❡r ❛t✿

❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤② ■ ❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❚✐♠ ❇♦❧❧❡rs❧❡✈✳ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❛✉t♦r❡❣r❡ss✐✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❤❡t❡r♦s❦❡❞❛st✐❝✐t②✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❡❝♦♥♦♠❡tr✐❝s✱ ✸✶✭✸✮✿✸✵✼✕✸✷✼✱ ✶✾✽✻✳ ❘❛❥❛s❤r❡❡ ❉❛s❤ ❛♥❞ P❑ ❉❛s❤✳ ❆♥ ❡✈♦❧✉t✐♦♥❛r② ❤②❜r✐❞ ❢✉③③② ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧❧② ❡✣❝✐❡♥t ❡❣❛r❝❤ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ✈♦❧❛t✐❧✐t② ♣r❡❞✐❝t✐♦♥✳ ❆♣♣❧✐❡❞ ❙♦❢t ❈♦♠♣✉t✐♥❣✱ ✹✺✿✹✵✕✻✵✱ ✷✵✶✻✳ ❆♥❞② P ❋✐❡❧❞✳ ▼❡t❛✲❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✿ ❛ ♠♦♥t❡ ❝❛r❧♦ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ✜①❡❞✲❛♥❞ r❛♥❞♦♠✲❡✛❡❝ts ♠❡t❤♦❞s✳ Ps②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞s✱ ✻✭✷✮✿✶✻✶✱ ✷✵✵✶✳

❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤② ■■

▼❛r❦ ❇ ●❛r♠❛♥ ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❡❧ ❏ ❑❧❛ss✳ ❖♥ t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ s❡❝✉r✐t② ♣r✐❝❡ ✈♦❧❛t✐❧✐t✐❡s ❢r♦♠ ❤✐st♦r✐❝❛❧ ❞❛t❛✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❜✉s✐♥❡ss✱ ♣❛❣❡s ✻✼✕✼✽✱ ✶✾✽✵✳ P❡t❡r ❘ ❍❛♥s❡♥ ❛♥❞ ❆s❣❡r ▲✉♥❞❡✳ ❆ ❢♦r❡❝❛st ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ✈♦❧❛t✐❧✐t② ♠♦❞❡❧s✿ ❞♦❡s ❛♥②t❤✐♥❣ ❜❡❛t ❛ ❣❛r❝❤ ✭✶✱ ✶✮❄ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❛♣♣❧✐❡❞ ❡❝♦♥♦♠❡tr✐❝s✱ ✷✵✭✼✮✿✽✼✸✕✽✽✾✱ ✷✵✵✺✳ ❘♦❜ ❏ ❍②♥❞♠❛♥ ❛♥❞ ❆♥♥❡ ❇ ❑♦❡❤❧❡r✳ ❆♥♦t❤❡r ❧♦♦❦ ❛t ♠❡❛s✉r❡s ♦❢ ❢♦r❡❝❛st ❛❝❝✉r❛❝②✳ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❥♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❢♦r❡❝❛st✐♥❣✱ ✷✷✭✹✮✿ ✻✼✾✕✻✽✽✱ ✷✵✵✻✳ ❙♦✉❤❛✐❜ ❇❡♥ ❚❛✐❡❜✳ ▼❛❝❤✐♥❡ ❧❡❛r♥✐♥❣ str❛t❡❣✐❡s ❢♦r ♠✉❧t✐✲st❡♣✲❛❤❡❛❞ t✐♠❡ s❡r✐❡s ❢♦r❡❝❛st✐♥❣✳ P❤❉ t❤❡s✐s✱ P❤✳ ❉✳ ❚❤❡s✐s✱ ✷✵✶✹✳ ❏♦❡ ❍ ❲❛r❞ ❏r✳ ❍✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❣r♦✉♣✐♥❣ t♦ ♦♣t✐♠✐③❡ ❛♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ❆♠❡r✐❝❛♥ st❛t✐st✐❝❛❧ ❛ss♦❝✐❛t✐♦♥✱ ✺✽ ✭✸✵✶✮✿✷✸✻✕✷✹✹✱ ✶✾✻✸✳

❆♣♣❡♥❞✐①

❈♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ✲ ▼❡t❤♦❞♦❧♦❣②

• σi(1), σSD(1), σG(1)
• σi(j), σSD(j), σG(j)
• σi(N), σSD(N), σG(N)

corr(·) corr(·) corr(·) ▼❡t❛✲ ❛♥❛❧②s✐s t♦♦❧❦✐t corr(σAGG) corr(σ(1)) corr(σ(j)) corr(σ(N))

◮ ✹✵ ❚✐♠❡ s❡r✐❡s ✭❈❆❈✹✵✮ ◮ ❚✐♠❡ r❛♥❣❡✿ ✵✺✲✵✶✲✷✵✵✾ t♦ ✷✷✲✶✵✲✷✵✶✹ ⇒ ✶✹✽✾ ❖❍▲❈

s❛♠♣❧❡s ♣❡r ❚❙

◆❆❘❳ ❢♦r❡❝❛st❡r ✲ ▼❡t❤♦❞♦❧♦❣②

σJ

p

❖r✐❣✐♥❛❧ ❉●P ❉✐st✉r❜❛♥❝❡s d ▼♦❞❡❧

m∗(θ∗, σJ

p , σX p )

❙tr✉❝t✉r❛❧ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ P❛r❛♠❡tr✐❝ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥

④❆◆◆✱❑◆◆⑥ ④❘❖✱ ❘❲⑥ σX

p

e σJ

f

ˆ σJ

f

m∗(·, σJ

p , σX p )

θ∗

▼♦❞❡❧ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♣r♦①✐❡s ✭✶✮ ✲ ●❛r♠❛♥ ❛♥❞ ❑❧❛ss ❬✶✾✽✵❪

◮ ❈❧♦s✐♥❣ ♣r✐❝❡s

ˆ σ0(t) =

• ln
• P (c)

t+1

P (c)

t

2 = r2

t

✭✶✮

◮ ❖♣❡♥✐♥❣✴❈❧♦s✐♥❣ ♣r✐❝❡s

ˆ σ1(t) = 1 2f ·

• ln
• P (o)

t+1

P (c)

t

2

• ◆✐❣❤t❧② ✈♦❧❛t✐❧✐t②

+ 1 2(1 − f) ·

• ln
• P (c)

t

P (o)

t

2

• ■♥tr❛❞❛② ✈♦❧❛t✐❧✐t②

✭✷✮

◮ ❖❍▲❈ ♣r✐❝❡s

ˆ σ2(t) = 1 2 ln 4 ·

• ln
• P (h)

t

P (l)

t

2 ✭✸✮ ˆ σ3(t) = a f ·

• ln
• P (o)

t+1

P (c)

t

2

• ◆✐❣❤t❧② ✈♦❧❛t✐❧✐t②

+ 1 − a 1 − f · ˆ σ2(t)

• ■♥tr❛❞❛② ✈♦❧❛t✐❧✐t②

✭✹✮

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♣r♦①✐❡s ✭✷✮ ✲ ●❛r♠❛♥ ❛♥❞ ❑❧❛ss ❬✶✾✽✵❪

◮ ❖❍▲❈ ♣r✐❝❡s

u = ln

• P (h)

t

P (o)

t

• d = ln
• P (l)

t

P (o)

t

• c = ln
• P (c)

t

P (o)

t

• ✭✺✮

ˆ σ4(t) = 0.511(u − d)2 − 0.019[c(u + d) − 2ud] − 0.383c2 ✭✻✮ ˆ σ5(t) = 0.511(u − d)2 − (2 ln 2 − 1)c2 ✭✼✮ ˆ σ6(t) = a f · log

• P (o)

t+1

P (c)

t

2

• ◆✐❣❤t❧② ✈♦❧❛t✐❧✐t②

+ 1 − a 1 − f · ˆ σ4(t)

• ■♥tr❛❞❛② ✈♦❧❛t✐❧✐t②

✭✽✮

❱♦❧❛t✐❧✐t② ♣r♦①✐❡s ✭✸✮

◮ ●❆❘❈❍ ✭✶✱✶✮ ♠♦❞❡❧ ✲ ❍❛♥s❡♥ ❛♥❞ ▲✉♥❞❡ ❬✷✵✵✺❪

σG

t =

• ω +

p

• j=1

βj(σG

t−j)2 + q

• i=1

αiε2

t−i

✇❤❡r❡ εt−i ∼ N(0, 1)✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts ω, αi, βj ✜tt❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❇♦❧❧❡rs❧❡✈ ❬✶✾✽✻❪✳

◮ ❙❛♠♣❧❡ st❛♥❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥

σSD,n

t

=

• 1

n − 1

n−1

• i=0

(rt−i − ¯ r)2 ✇❤❡r❡ rt = ln

• P (c)

t

P (c)

t−1

• ¯

rn = 1 n

t

• j=t−n

rj

❍②♥❞♠❛♥ ❛♥❞ ❑♦❡❤❧❡r ❬✷✵✵✻❪ ✲ ❊rr♦r ♠❡❛s✉r❡s

❊rr♦r ♠❡❛s✉r❡s

❙❝❛❧❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❛♥t

▼❆P❊ ▼❞❆P❊ ❘▼❙P❊ ❘▼❞❙P❊ s▼❆P❊ s▼❞❆P❊

❙❝❛❧❡ ❞❡♣❡♥❞❛♥t

▼❙❊ ❘▼❙❊ ▼❆❊ ▼❞❆❊

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊rr♦rs

▼❘❆❊ ▼❞❘❆❊

• ▼❘❆❊

▼❆❙❊

❘❡❧❛t✐✈❡ ▼❡❛s✉r❡s

❘❡❧❳ P❡r❝❡♥t✲ ❇❡tt❡r

❍②♥❞♠❛♥ ❛♥❞ ❑♦❡❤❧❡r ❬✷✵✵✻❪ ✲ ❙❝❛❧❡ ❞❡♣❡♥❞❛♥t

❙❝❛❧❡ ❞❡♣❡♥❞❛♥t

▼❙❊ ❘▼❙❊ ▼❆❊ ▼❞❆❊

et = yt − ˆ yt

◮ ▼❙❊ ✿ 1 n

n

t=0(yt − ˆ

yt)2

◮ ❘▼❙❊ ✿

• 1

n

n

t=0(yt − ˆ

yt)2

◮ ▼❆❊ ✿ 1 n

n

t=0 |yt − ˆ

yt|

◮ ▼❞❆❊ ✿

Mdt∈{1···n}(|yt − ˆ yt|)

❍②♥❞♠❛♥ ❛♥❞ ❑♦❡❤❧❡r ❬✷✵✵✻❪ ✲ ❙❝❛❧❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❛♥t

❙❝❛❧❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❛♥t

▼❆P❊ ▼❞❆P❊ ❘▼❙P❊ ❘▼❞❙P❊ s▼❆P❊ s▼❞❆P❊

◮ ▼❆P❊ ✿ 1 n

n

t=0 | 100 · yt−ˆ yt yt

|

◮ ▼❞❆P❊ ✿

Mdt∈{1···n}(| 100 · yt−ˆ

yt yt

|)

◮ ❘▼❙P❊ ✿

• 1

n

n

t=0(100 · yt−ˆ yt yt

)2

◮ ❘▼❞❙P❊ ✿

• Mdt∈{1···n}((100 · yt−ˆ

yt yt

)2)

◮ s▼❆P❊ ✿ 1 n

n

t=0 200 · |yt−ˆ yt| yt+ˆ yt ◮ s▼❞❆P❊ ✿

Mdt∈{1···n}(200 · |yt−ˆ

yt| yt+ˆ yt )

❍②♥❞♠❛♥ ❛♥❞ ❑♦❡❤❧❡r ❬✷✵✵✻❪ ✲ ❘❡❧❛t✐✈❡ ❡rr♦rs

❘❡❧❛t✐✈❡ ❊rr♦rs

▼❘❆❊ ▼❞❘❆❊

• ▼❘❆❊

▼❆❙❊

rt = et

e∗

t

◮ ▼❘❆❊ ✿ 1 n

n

t=0 | rt | ◮ ▼❞❘❆❊ ✿ Mdt∈{1···n}(| rt |) ◮ ●▼❘❆❊ ✿

n

• 1

n

t = 0n | rt |

◮ ▼❆❙❊ ✿ 1 T

T

t=1

• |et|

1 T −1

T

i=2|Yi−Yi−1|

❍②♥❞♠❛♥ ❛♥❞ ❑♦❡❤❧❡r ❬✷✵✵✻❪ ✲ ❘❡❧❛t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡s

❘❡❧❛t✐✈❡ ▼❡❛s✉r❡s

❘❡❧❳ P❡r❝❡♥t✲ ❇❡tt❡r

◮ ❘❡❧❳ ✿ X X❜❡♥❝❤ ◮ P❡r❝❡♥t ❇❡tt❡r ✿

PB(X) = 100 · 1

n

• ❢♦r❡❝❛sts I(X < Xb)

✇❤❡r❡

◮ X✿ ❊rr♦r ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡

❛♥❛❧②③❡❞ ♠❡t❤♦❞

◮ Xb✿ ❊rr♦r ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ t❤❡

❜❡♥❝❤♠❛r❦