tr r tr r - - PowerPoint PPT Presentation

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Feb 15, 2023 198 likes •553 views

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SLIDE 1

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

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❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❑♥♦✇❧❡❞❣❡

SLIDE 2

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❙✉♠♠❛r②

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SLIDE 3

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SLIDE 4

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Pr♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ▲♦❣✐❝ ❢♦r♠❛❧✐s❛t✐♦♥

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SLIDE 5

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SLIDE 6

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❆✉t♦♠❛t✐❝ ♣r♦♦❢ ♣r♦❝❡❞✉r❡s✿ ●✐❧♠♦r❡

✐❧♠♦r❡ ✶✾✻✵

❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❍❡r❜r❛♥❞✬s ✐❞❡❛ ❋✐rst ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ♣r♦♦❢ ♣r♦❝❡❞✉r❡

✐✈❡♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❋✱ ❝❤❡❝❦ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦❢ ¬❋

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SLIDE 7

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❉❛✈✐s ❛♥❞ P✉t♥❛♠ ✶✾✻✵ ■♠♣r♦✈❡♠❡♥t ♦♥ ●✐❧♠♦r❡✬s ✇♦r❦ ▼♦r❡ ❡✣❝✐❡♥t ♠❡t❤♦❞ t♦ ❝❤❡❝❦ s❛t✐s✜❛❜✐❧✐t② ❈♦♥s✐st❡♥t ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t✱ ❜✉t st✐❧❧ ♥♦t s❛t✐s❢❛❝t♦r②

SLIDE 8

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❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ♣r♦♦❢ ♣r♦❝❡❞✉r❡s

❘♦❜✐♥s♦♥ ✶✾✻✺ ✈❡r② ❡✣❝✐❡♥t ♠❛♥② r❡✜♥❡♠❡♥ts✿

❙❡♠❛♥t✐❝ ❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ▲♦❝❦ ❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ❯♥✐t ❘❡s♦❧✉t✐♦♥ ❙❡t ♦❢ ❙✉♣♣♦rt ❙tr❛t❡❣② ❖r❞❡r❡❞ ❘❡s♦❧✉t✐♦♥

SLIDE 9

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❘❡❢✉t❛t✐♦♥❛❧ Pr♦❝❡❞✉r❡s

Pr♦✈✐♥❣ ✐♥❝♦♥s✐st❡♥❝②

✐✈❡♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ● ✇❡ ✇❛♥t t♦ ♣r♦♦✈❡ t❤❛t ● ✐s ✈❛❧✐❞

❇✉t ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ¬● ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ ● ✐s ✈❛❧✐❞ ❲❡ tr② t♦ r❡❢✉t❡ ¬● ❲❡ ✉s❡ r❡❢✉t❛t✐♦♥ ❥✉st ❢♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡

SLIDE 10

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❉❛✈✐s P✉t♥❛♠ ✶✾✻✵

✐✈❡♥ ❛ ❋❖▲ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✇❡ ❝❛♥✿

✶ ♦❜t❛✐♥ ❛ ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ◗✶①✶ · · · ◗♥①♥▼ ✷ r❡❞✉❝❡ ▼ t♦ ❈◆❋ ❈✶ ∧ · · · ∧ ❈♠ ✇❤❡r❡ ❈✐ = ▲✶ ∨ · · · ∨ ▲❦✳ ✸ r❡♠♦✈❡ ❛❧❧ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✜①

❲❡ ❦♥♦✇ ❤♦✇ t♦ ❞♦ ✶ ❛♥❞ ✷✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❤♦✇ ✸ ❝❛♥ ❜❡ ❞♦♥❡✳

SLIDE 11

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❊❧✐♠✐♥❛t✐♥❣ ❊①✐st❡♥t✐❛❧ ◗✉❛♥t✐✜❡rs

Pr♦❝❡❞✉r❡ t♦ ❡❧✐♠✐♥❛t❡ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs

✐✈❡♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ● ◗✶①✶ · · · ◗♥①♥▼✳

▲❡t✬s ❢♦❝✉s ♦♥ ♦♥❡ s♣❡❝✐✜❝ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡r ◗r ✇✐t❤ ✶ ≤ r ≤ ♥

✶ ✐❢ ♥♦ ✉♥✐✈❡rs❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs ❛♣♣❡❛r ❜❡❢♦r❡ ◗r t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥

r❡♠♦✈❡ ◗r①r ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✜① ❛♥❞ r❡♣❧❛❝❡ ❡✈❡r② ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ①r ✇✐t❤ ❛ ♥❡✇ ❝♦♥st❛♥t ❝

✷ ❙✉♣♣♦s❡ ◗s✶, · · · , ◗s♠ ❛r❡ ❛❧❧ ✉♥✐✈❡rs❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs

❛♣♣❡❛r✐♥❣ ❜❡❢♦r❡ ◗r✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ r❡♠♦✈❡ ◗r①r ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡✜① ❛♥❞ r❡♣❧❛❝❡ ❡✈❡r② ♦❝❝✉rr❡♥❝❡ ♦❢ ①r ✇✐t❤ ❛ ♥❡✇ ♠✲♣❧❛❝❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ s②s♠❜♦❧ ❢ (①s✶, · · · , ①s♠)

SLIDE 12

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠

❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠✱ ❈♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❲❤❡♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡s ❤❛s ❜❡❡♥ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ r❡♠♦✈❡ ❛❧❧ ❡①✐s❡st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡r✱ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✐s ✐♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ❚❤❡ ♥❡✇ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❝♦♥st❛♥ts ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❙❦♦❧❡♠ ❝♦♥st❛♥ts ❚❤❡ ♥❡✇ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❙❦♦❧❡♠ ❢✉♥❝t✐♦♥s

SLIDE 13

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

■♥t✉✐t✐♦♥

■♥t✉✐t✐✈❡ ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥ ❋ ∃①❊(s(✵), ①) ❋ ❙❦♦ ❊(s(✵), ❛)

∀①∃②❊(s(①), ②) ● ❙❦♦ ∀①❊(s(①), ❣(①))

■❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❛t ❊(①, ②) ① ❡q✉❛❧s ②✱ s(①) s✉❝❝❡ss♦r ♦❢ ①✳ ❋ = t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♥✉♠❜❡r ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ s✉❝❝❡ss♦r ♦❢ ③❡r♦

❋ s❦♦ = ✇❡ ♠❛❦❡ t❤❛t ♥✉♠❜❡r ❛ ❝♦st❛♥t ❛♥❞ ❝❛❧❧ ✐t ❛

= ❢♦r ❡✈❡r② ♥✉♠❜❡r t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s✉❝❝❡ss♦r ♦❢ t❤❛t

♥✉♠❜❡r

s❦♦ = ✇❡ ♠❛❦❡ ✉♣ ❛ ♥❡✇ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t ❣✐✈❡s ✉s t❤❡

s✉❝❝❡ss♦r ♦❢ ① ❛♥❞ ❝❛❧❧ ✐t ❣(①)

SLIDE 14

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠✿ ❊①❛♠♣❧❡ ■

❊①❛♠♣❧❡ ✭❙❦♦❧❡♠ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠✮ ❖❜t❛✐♥ st❛♥❞❛r❞ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✿ ∃①∀②∀③∃✉∀✈∃✇P(①, ②, ③, ✉, ✈, ✇) ① ✐s ♥♦t ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ❛♥② ∀ t❤✉s ① → ❝ ✉ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ∀② ❛♥❞ ∀③ t❤✉s ✉ → ❢ (②, ③) ✇ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ∀② ❛♥❞ ∀③ ❛♥❞ ∀✈ t❤✉s ✇ → ❣(②, ③, ✈) ✇❡ ❤❛✈❡ ∀②∀③∀✈P(❝, ②, ③, ❢ (②, ③), ❣(②, ③, ✈))

SLIDE 15

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠✿ ❊①❛♠♣❧❡ ■■

❊①❛♠♣❧❡ ✭❙❦♦❧❡♠ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠✮ ❖❜t❛✐♥ st❛♥❞❛r❞ ◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛✿ ∀①∃②∃③((¬P(①, ②) ∧ ◗(①, ③)) ∨ ❘(①, ②, ③)) tr❛♥s❢♦r♠ t❤❡ ♠❛tr✐① ✐♥ ❈◆❋✿ ∀①∃②∃③((¬P(①, ②) ∨ ❘(①, ②, ③)) ∧ (◗(①, ③) ∨ ❘(①, ②, ③)) ② ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ∀① t❤✉s ② → ❢ (①) ③ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ∀① t❤✉s ③ → ❣(①) ✇❡ ❤❛✈❡ ∀①((¬P(①, ❢ (①)) ∨ ❘(①, ❢ (①), ❣(①))) ∧ (◗(①, ❣(①)) ∨ ❘(①, ❢ (①), ❣(①)))

SLIDE 16

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡✿ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠

❊①❛♠♣❧❡ ✭❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠✮

✐✈❡♥ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛
∀①∀②∃③∀✇∃✉(P(①, ②) ∧ (◗(③, ✇) ∨ ❘(✉))) ✜♥❞ ✐ts ❙❦♦❧❡♠

◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ● s❦♦ ❙♦❧✳ ③ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ① ② t❤✉s ③ ❢ ① ② ✉ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ① ② ✇ t❤✉s ✉ ❣ ① ② ✇ t❤✉s ✇❡ ❤❛✈❡

s❦♦

① ② ✇ P ① ② ◗ ❢ ① ② ✇ ❘ ❣ ① ② ✇

SLIDE 17

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡✿ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠

❊①❛♠♣❧❡ ✭❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠✮

✐✈❡♥ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛
∀①∀②∃③∀✇∃✉(P(①, ②) ∧ (◗(③, ✇) ∨ ❘(✉))) ✜♥❞ ✐ts ❙❦♦❧❡♠

◆♦r♠❛❧ ❋♦r♠ ● s❦♦ ❙♦❧✳ ③ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ∀①∀② t❤✉s ③ → ❢ (①, ②) ✉ ✐s ♣r❡❝❡❞❡❞ ❜② ∀①∀②∀✇ t❤✉s ✉ → ❣(①, ②, ✇) t❤✉s ✇❡ ❤❛✈❡

s❦♦ ∀①∀②∀✇(P(①, ②)∧(◗(❢ (①, ②), ✇)∨❘(❣(①, ②, ✇))))

SLIDE 18

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡✿ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡

✐✈❡ t❤❡ s❦♦❧❡♠ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠ ❢♦r ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛s ❜❡❧♦✇✿

✶ ❋✶ ∀(①)∀(②)((P(①, ②) ∧ ▲(①)) → ❈(②)) ✷ ❋✷ ∀(①)(▲(①) → ∃(②)(P(②, ①) ∧ ▲(②))) ✸ ❋✸ ∃②∀(①)(❈(①) → ❱ (①, ②))

SLIDE 19

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

◆♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❡r♠✐♥♦❧♦❣②

◆♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❚❡r♠✐♥♦❧♦❣② ❢♦r ❈❧❛✉s❡s

✐✈❡♥ ❛ ❈❧❛✉s❡ ❈ = ▲✶ ∨ · · · ∨ ▲❦ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡

❈ = {▲✶, · · · , ▲❦} ❊①❛♠♣❧❡✿ ❈ ¬◗ ∨ ❙ ∨ P = {¬◗, ❙, P} ❆ ❝❧❛✉s❡ ✇✐t❤ ♦♥❧② ♦♥❡ ❧✐t❡r❛❧ ✐s ❛ ✉♥✐t ❝❧❛✉s❡ ❚❤❡ ❡♠♣t② ❝❧❛✉s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ♦❢t❡♥ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ✇✐t❤ ❚❤❡ ❡♠♣t② ❝❧❛✉s❡ ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t♦ ❜❡ ❛❧✇❛②s ❢❛❧s❡ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❡✈❡r② ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥ ❛ s❡t ♦❢ ❝❧❛✉s❡s ✐s ❛❧✇❛②s ✉♥✐✈❡rs❛❧❧② q✉❛♥t✐✜❡❞

SLIDE 20

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭◆♦ q✉❛♥t✐✜❡rs✮ ❲✐t❤✿ ❙ {((¬P(①, ❢ (①)) ∨ ❘(①, ❢ (①), ❣(①))), (◗(①, ❣(①)) ∨ ❘(①, ❢ (①), ❣(①)))} ✇❡ r❡♣r❡s❡♥t✿ ∀①∃②∃③((¬P(①, ②) ∧ ◗(①, ③)) ∨ ❘(①, ②, ③))

SLIDE 21

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

Pr❡s❡r✈✐♥❣ ■♥❝♦♥s✐st❡♥❝②

❚❤❡♦r❡♠ ■♥❝♦♥s✐st❡♥❝② Pr❡s❡r✈❛t✐♦♥ ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠ ▲❡t ❋ ❜❡ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❛♥❞ ❙ ❜❡ ❛ s❡t ♦❢ ❝❧❛✉s❡s ✐♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ t❤❛t r❡♣r❡s❡♥t ❋✱ t❤❡♥ ❋ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ ❙ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ❙❦❡t❝❤ ♦❢ ♣r♦♦❢✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ ❋ (◗✶①✶) · · · (◗♥①♥)▼[①✶, · · · , ①♥] ▲❡t ◗r ❜❡ t❤❡ ✜rst ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡r ❛♥❞ ❧❡t ❋✶ (◗✶①✶) · · · (◗r①r)(◗r+✶①r+✶) · · · (◗♥①♥) ▼[①✶, · · · , ①r−✶, ❢ (①✶, · · · , ①r−✶), ①r+✶, · · · , ①♥] ✇✐t❤ ✶ ≤ r ≤ ♥ ✇❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❋ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ ❋✶ ✐s✳

SLIDE 22

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

Pr❡s❡r✈✐♥❣ ■♥❝♦♥s✐st❡♥❝②✿ s❦❡t❝❤ ♦❢ ♣r♦♦❢ ■

⇒✳ ❙✉♣♣♦s❡ ❋ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ❛♥❞ ❋✶ ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ■ | = ❋✶✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ∀①✶, · · · , ①r−✶∃❢ (①✶, · · · , ①r−✶) s✉❝❤ t❤❛t ■ | = ◗r+✶①r+✶, · · · , ◗♥①♥ ▼[①✶, · · · , ①r−✶, ❢ (①✶, · · · , ①r−✶), ①r+✶, · · · , ①♥] ❜✉t t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ■ | = ❋ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥✳

SLIDE 23

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

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SLIDE 24

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SLIDE 25

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SLIDE 26

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

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SLIDE 27

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

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✐✈❡♥ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ✇❡ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ s❡t ♦❢ ❝❧❛✉s❡s t❤❛t

r❡♣r❡s❡♥ts ❛ s❦♦❧❡♠ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠ ❢♦r ❋ ❊①❛♠♣❧❡ ❈♦♥s✐❞❡r t❤✐s ❢♦r♠✉❧❛ ❋ ∀①P(①) ∧ ∃②◗(②) Φ✶ ∀①∃②(P(①) ∧ ◗(②)) Φ✷ ∃②∀①(P(①) ∧ ◗(②)) ❇♦t❤ ❛r❡ ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠s✳

SLIDE 28

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

✏❇❡tt❡r✑ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠s

❲❡ ✇❛♥t t♦ ✜♥❞ s❦♦❧❡♠ ❢♦r♠s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛s s✐♠♣❧❡ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ❊①❛♠♣❧❡ Φ✶ ⇒s❦♦ ❙✶ ∀①(P(①) ∧ ◗(❢ (❛))) Φ✷ ⇒s❦♦ ❙✷ ∀①(P(①) ∧ ◗(❛)) ❚❤❡ ❧❡ss ❛r❣✉♠❡♥ts ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥ t❤❡ s❦♦❧❡♠ ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❡ ❜❡tt❡r ⇒ ▼♦✈❡ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs t♦ t❤❡ ❧❡❢t ❛s ♠✉❝❤ ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✳

SLIDE 29

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❙❦♦❧❡♠✐s❛t✐♦♥ ❢♦r ❈❧❛✉s❡s

■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❋ = ❋✶ ∧ · · · ∧ ❋♥ ❲❡ ❝❛♥✿ ❖❜t❛✐♥ s❦♦❧❡♠ ❛ ❢♦r♠ ❙✐ ❢♦r ❡❛❝❤ ❋✐ ❙ ❙✶ ∪ · · · ∪ ❙♥ ❋ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✐✛ ❙ ✐s✳ ❊①❛♠♣❧❡ ❙ {❙✶, ❙✷} = {P(①), ◗(❛)}

SLIDE 30

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭❱❛❧✐❞✐t② ❛♥❞ ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✮ ❙✉♣♣♦s❡ ❙ ∃①∀②▼[①, ②] ✐s ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ ❋✳ Pr♦✈❡ t❤❛t ❋ ✐s ✈❛❧✐❞ ↔ ❙′ ∃①▼[①, ❢ (①)] ✐s ✈❛❧✐❞✳ ❙♦❧✳

✶ ❋ ✈❛❧✐❞

❋ ✐♥❝✳ ❙ ✐♥❝✳

✷

❙ ① ②▼ ① ② ① ②▼ ① ② ① ② ▼ ① ②

✸

✐♥❝✳

s❦♦ ✐♥❝✳ ✹ s❦♦

① ▼ ① ❢ ① ①▼ ① ❢ ① ❙

✺

❙ ✐♥❝✳ ❙ ✈❛❧✐❞✳

SLIDE 31

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭❱❛❧✐❞✐t② ❛♥❞ ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✮ ❙✉♣♣♦s❡ ❙ ∃①∀②▼[①, ②] ✐s ♣r❡♥❡① ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ ❋✳ Pr♦✈❡ t❤❛t ❋ ✐s ✈❛❧✐❞ ↔ ❙′ ∃①▼[①, ❢ (①)] ✐s ✈❛❧✐❞✳ ❙♦❧✳

✶ ❋ ✈❛❧✐❞ ↔ ¬❋ ✐♥❝✳ ↔ ¬❙ ✐♥❝✳ ✷ ¬❙ ≡ ¬∃①∀②▼[①, ②] ≡ ∀①¬∀②▼[①, ②] ≡ ∀①∃②¬▼[①, ②]

φ

✸ φ ✐♥❝✳ ↔ φs❦♦ ✐♥❝✳ ✹ φs❦♦ ≡ ∀①¬▼[①, ❢ (①)] ≡ ¬(∃①▼[①, ❢ (①)]) ≡ ¬❙′ ✺ ¬❙′ ✐♥❝✳ ↔ ❙′ ✈❛❧✐❞✳

SLIDE 32

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❈♦♠♣❧❡t❡ ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭❯s✐♥❣ ❙❦♦❧❡♠✐s❛t✐♦♥✮ ❲❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❋ ∀①P(①) → ◗(①) ∧ ∃②P(②) | = ● ∃③◗(③) ❙♦❧✳ ✿ Pr♦♦❢ ❜② r❡❢✉t❛t✐♦♥

✶ ❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❋

✐✛ ❋
✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t

✷

① P ① ◗ ① ②P ② ③◗ ③

✸ ✶ ✷ ✸ ✹ s❦♦ s❦♦ ✶ s❦♦ ✷ s❦♦ ✸ ✺

✐♥❝✳ ✐✛

s❦♦ ✐♥❝✳ ✻ s❦♦ ✶

P ① ◗ ①

s❦♦ ✷

P ❛

s❦♦ ✸

◗ ③

✼ s❦♦

P ① ◗ ① P ❛ ◗ ③ ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ ✜♥❞ ❛ ✇❛② t♦ s❤♦✇ t❤❛t

s❦♦ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✳

SLIDE 33

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❈♦♠♣❧❡t❡ ❡①❛♠♣❧❡

❊①❛♠♣❧❡ ✭❯s✐♥❣ ❙❦♦❧❡♠✐s❛t✐♦♥✮ ❲❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ❋ ∀①P(①) → ◗(①) ∧ ∃②P(②) | = ● ∃③◗(③) ❙♦❧✳ ✿ Pr♦♦❢ ❜② r❡❢✉t❛t✐♦♥

✶ ❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❋ |

= ● ✐✛ ❋ ∧ ¬● ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t

✷ φ ∀①(P(①) → ◗(①)) ∧ ∃②P(②) ∧ ¬∃③◗(③) ✸ φ ≡ φ✶ ∧ φ✷ ∧ φ✸ ✹ φs❦♦ ≡ φs❦♦ ✶

∪ φs❦♦

✷

∪ φs❦♦

✸ ✺ φ ✐♥❝✳ ✐✛ φs❦♦ ✐♥❝✳ ✻ φs❦♦ ✶

= ¬P(①) ∨ ◗(①) φs❦♦

✷

= P(❛) φs❦♦

✸

= ¬◗(③)

✼ φs❦♦ ≡ ¬P(①) ∨ ◗(①), P(❛), ¬◗(③)

❲❡ ♥❡❡❞ t♦ ✜♥❞ ❛ ✇❛② t♦ s❤♦✇ t❤❛t φs❦♦ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✳

SLIDE 34

❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙❦♦❧❡♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❋♦r♠ Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❙❦♦❧❡♠ ❋♦r♠

❊①❡r❝✐s❡s

❊①❡r❝✐s❡ ❋✐♥❞ ❛ st❛♥❞❛r❞ ❢♦r♠ ❢♦r ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛s ❬❈❤❛♥❣✲▲❡❡ ✶ ♣❛❣ ✻✼❪

✶ ¬((∀①)P(①) → (∃②)(∀③)◗(②, ③)) ✷ (∀①)(¬❊(①, ✵) → ((∃②)(❊(②, ❣(①)) ∧ (∀③)(❊(③, ❣(①)) →

❊(②, ③)))))

✸ ¬((∀①)P(①) → (∃②)P(②))

✐✈❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛s✿