st s t ts rt - - PowerPoint PPT Presentation

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❍♦✇ ❘♦❜✉st ✐s t❤❡ ❱❛❧✉❡✲❛t✲❘✐s❦ ♦❢ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦s❄

✭❥♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ▲✳ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢✱ ❙✳ ❱❛♥❞✉✛❡❧✱ ❏✳ ❨❛♦✮ ❈❛r♦❧❡ ❇❡r♥❛r❞✱ ●r❡♥♦❜❧❡ ❊❝♦❧❡ ❞❡ ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t

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❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s

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❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥

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❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s

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❈❛s❡ ❙t✉❞②✿ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦

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❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ▲✐t❡r❛t✉r❡ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

✹ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱

❈r❡❞✐t r✐s❦ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t

✶ ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t ♦❢ ❝r❡❞✐t r✐s❦ ✐s ♦❢ ✉t♠♦st ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ✭❈r✐s✐s ✷✵✵✽✮✳ ✷ P♦rt❢♦❧✐♦ ♠♦❞❡❧s ❛r❡ s✉❜❥❡❝t t♦ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ♠♦❞❡❧ ✉♥❝❡rt❛✐♥t②

✭❞❡❢❛✉❧ts ❛r❡ r❛r❡ ❛♥❞ ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ❡✈❡♥ts✮✳

✸ ❘❡❝❡♥t st✉❞✐❡s ✭❊♠❜r❡❝❤ts ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✸✱✷✵✶✹✮✮ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡

✐♠♣❛❝t ♦❢ ♠♦❞❡❧ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ♦♥ ❱❛❧✉❡✲❛t✲❘✐s❦ ✭❱❛❘✮ ❡st✐♠❛t❡s ✐s ❤✉❣❡✳

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❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱

❈r❡❞✐t r✐s❦ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t✿ ◆♦t❛t✐♦♥

• n ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ r✐s❦s (L✶, L✷, ..., Ln) ✭r✐s❦② ❧♦❛♥s✮
• ❆ ♣♦rt❢♦❧✐♦ S := L✶ + ... + Ln
• ❱❛❧✉❡✲❛t✲❘✐s❦ ♦❢ S ❛t ❧❡✈❡❧ q ∈ (✵, ✶)

❱❛❘q (S) = F −✶

S (q) = ✐♥❢ {x ∈ R | FS(x) ≥ q}

✻ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ♦♥ ❱❛❘ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥

❋✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✿ Lj ∼ Fj ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t r✐s❦s ❛s Lj❂F −✶

j

(Uj) ✇❤❡r❡ Uj ✐s U(✵, ✶). + ❋✉❧❧ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ (U✶, U✷, ..., Un) ∼ C ✭❈ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❝♦♣✉❧❛✮ ⇒ ❱❛❘q (L✶ + L✷ + ... + Ln) ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞✦

✼ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱

▼♦t✐✈❛t✐♦♥ ♦♥ ❱❛❘ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥

❋✉❧❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✿ Lj ∼ Fj ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t r✐s❦s ❛s Lj❂F −✶

j

(Uj) ✇❤❡r❡ Uj ✐s U(✵, ✶). + P❛rt✐❛❧ ♦r ♥♦ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ (U✶, U✷, ..., Un) ∼??? ⇒ ❱❛❘q (L✶ + L✷ + ... + Ln) ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞✦ ❖♥❧② ❛ r❛♥❣❡ ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛❧✉❡s ❢♦r ❱❛❘q (L✶ + L✷ + ... + Ln)✳

✽ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱ ▲✐t❡r❛t✉r❡

▼❛①✐♠✉♠ ❱❛❘ ✉♥❞❡r ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❯♥❝❡rt❛✐♥t②

❇♦✉♥❞s ♦♥ ❱❛❧✉❡✲❛t✲❘✐s❦ M := s✉♣ VaRq [L✶+L✷+... + Ln] , s✉❜❥❡❝t t♦ Lj ∼ Fj, ❝♦♣✉❧❛ ❈ ❂ ✉♥❦♥♦✇♥

• ❊①♣❧✐❝✐t s❤❛r♣ ❜♦✉♥❞s

· n = ✷ ▼❛❦❛r♦✈ ✭✶✾✽✶✮✱ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ✭✶✾✽✷✮ · ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ♣♦rt❢♦❧✐♦s✿ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ✫ ❯❝❦❡❧♠❛♥♥ ✭✶✾✾✶✮✱ ❉❡♥✉✐t✱

• ❡♥❡st ✫ ▼❛r❝❡❛✉ ✭✶✾✾✾✮✱ ❊♠❜r❡❝❤ts ✫ P✉❝❝❡tt✐ ✭✷✵✵✻✮✱ ❲❛♥❣ ✫

❲❛♥❣ ✭✷✵✶✶✮✱ ❇❡r♥❛r❞✱ ❏✐❛♥❣ ❛♥❞ ❲❛♥❣ ✭✷✵✶✹✮ · ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ♣♦rt❢♦❧✐♦s✿ ❲❛♥❣ ✫ ❲❛♥❣ ✭✷✵✶✺✮

• ❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ s❤❛r♣ ❜♦✉♥❞s

· ❚❤❡ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭P✉❝❝❡tt✐ ✫ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ✭✷✵✶✷✮✱ ❊♠❜r❡❝❤ts✱ P✉❝❝❡tt✐ ✫ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ✭✷✵✶✸✮✮

✾ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

• ❚❤❡ ❜♦✉♥❞ ▼ ♠❛② ❜❡ t♦♦ ✇✐❞❡ t♦ ❜❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧❧② ✉s❡❢✉❧✿

❛ ❢❡❛t✉r❡ t❤❛t ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳

• ❖✉r ♦❜❥❡❝t✐✈❡✿ ✐♥❝♦r♣♦r❛t❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

✶✵ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❇❛❝❦❣r♦✉♥❞✱ ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥s

❇♦✉♥❞s ♦♥ ❱❛❧✉❡✲❛t✲❘✐s❦

◮ ❱❛❘q ✐s ♥♦t ♠❛①✐♠✐③❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝ s❝❡♥❛r✐♦✿ Sc = Lc

✶ + Lc ✷ + ... + Lc n

✇❤❡r❡ ❛❧❧ Lc

i ❛r❡ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝✳

M ≥ VaRq [Lc

✶ + Lc ✷ + ... + Lc n]

= VaRq [L✶] + VaRq [L✷] + ... + VaRq [Ln] ✇❤❡r❡ ✭Lc

✶, Lc ✷, ...Lc n) ✐s ❛ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝ ❝♦♣② ♦❢ ✭L✶, L✷, ...Ln), ✐✳❡✳

(Lc

✶, Lc ✷, ...Lc n) = (F −✶ L✶ (U), F −✶ L✷ (U), ..., F −✶ Ln (U)).

✶✶ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s

❆❣❡♥❞❛

✷

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ✷ r✐s❦s ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ n r✐s❦s ❊①❛♠♣❧❡

✶✷ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ✷ r✐s❦s

✏❘✐s❦✐❡st✑ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ♠❛①✐♠✉♠ ❱❛❘q ✐♥ ✷ ❞✐♠s

■❢ L✶ ❛♥❞ L✷ ❛r❡ ❯✭✵✱✶✮ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝✱ t❤❡♥ VaRq(Sc) = VaRq(X✶) + VaRq(X✷) = ✷q.

q q

✶✸ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ✷ r✐s❦s

✏❘✐s❦✐❡st✑ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡✿ ♠❛①✐♠✉♠ ❱❛❘q ✐♥ ✷ ❞✐♠s

■❢ L✶ ❛♥❞ L✷ ❛r❡ ❯✭✵✱✶✮ ❛♥❞ ❛♥t✐♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✐♥ t❤❡ t❛✐❧✱ t❤❡♥ VaRq(S∗) = ✶ + q✳

q q

VaRq(S∗) = ✶ + q > VaRq(Sc) = ✷q ⇒ t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ ❱❛❘q✱ t❤❡ ✐❞❡❛ ✐s t♦ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s✉♠ ✐s ❝♦♥st❛♥t ✐♥ t❤❡ t❛✐❧

✶✹ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ n r✐s❦s

❱❛❘ ❛t ❧❡✈❡❧ q ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝ s✉♠ ✇✳r✳t✳ q

p

1 q

VaRq(Sc)

✶✺ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ n r✐s❦s

❱❛❘ ❛t ❧❡✈❡❧ q ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝ s✉♠ ✇✳r✳t✳ q

p

1 q

VaRq(Sc) TVaRq(Sc)

✇❤❡r❡ ❚❱❛❘ ✭❊①♣❡❝t❡❞ s❤♦rt❢❛❧❧✮✿❚❱❛❘q(X) = ✶ ✶ − q ✶

q

❱❛❘u(X)❞u q ∈ ✵ ✶

✶✻ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ n r✐s❦s

❘✐s❦✐❡st ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❙tr✉❝t✉r❡ ❱❛❘ ❛t ❧❡✈❡❧ q

p

1 q

VaRq(Sc) S* => VaRq(S*) =TVaRq(Sc)?

✶✼ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ n r✐s❦s

❆♥❛❧②t✐❝ ❡①♣r❡ss✐♦♥s

❆♥❛❧②t✐❝❛❧ ❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ Lj ∼ Fj

A = LTVaRq(Sc) ≤ ❱❛❘q [L✶ + L✷ + ... + Ln] ≤ B = TVaRq(Sc) p

1 q B:=TVaRq(Sc) A:=LTVaRq(Sc)

✶✽ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ n r✐s❦s

Pr♦♦❢ ❢♦r B

❯♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r ❱❛❘ ✇✐t❤ ❣✐✈❡♥ ♠❛r❣✐♥❛❧s

❱❛❘q [X✶ + X✷ + ... + Xn] ≤ B := ❚❱❛❘q [X c

✶ + X c ✷ + ... + X c n ]

❍❡r❡ ✭X c

✶ , X c ✷ , ...X c n ) ✐s ❛ ❝♦♠♦♥♦t♦♥✐❝ ❝♦♣② ♦❢ ✭X✶, X✷, ...Xn), ✐✳❡✳

(X c

✶ , X c ✷ , ...X c n ) = (F −✶ X✶ (U), F −✶ X✷ (U), ..., F −✶ Xn (U)).

Pr♦♦❢✿ ❱❛❘q [X✶ + X✷ + ... + Xn] ≤ ❚❱❛❘q [X✶ + X✷ + ... + Xn] ≤ ❚❱❛❘q [X c

✶ + X c ✷ + ... + X c n ]

✶✾ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❊①❛♠♣❧❡

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❱❛❘ ✭✶✴✸✮

8 3 10 1 4 11 7 7 12 8 9

1-q q

Sum= 11 Sum= 15 Sum= 25 Sum= 29

✷✵ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❊①❛♠♣❧❡

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❱❛❘ ✭✷✴✸✮

8 3 10 1 4 11 7 7 12 8 9

1-q q

Sum= 11 Sum= 15 Sum= 25 Sum= 29

Rearrange within columns..to make the sums as constant as possible… B=(11+15+25+29)/4=20

✷✶ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❊①❛♠♣❧❡

■❧❧✉str❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❱❛❘ ✭✸✴✸✮

8 8 4 10 7 3 12 1 7 11 9

1-q q

Sum= 20 Sum= 20 Sum= 20 Sum= 20

=B!

✷✷ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ▲✐t❡r❛t✉r❡

❆❣❡♥❞❛

✸

❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ▲✐t❡r❛t✉r❡ Pr♦❜❧❡♠

✷✸ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ▲✐t❡r❛t✉r❡

❈♦♥str❛✐♥❡❞ Pr♦❜❧❡♠

❋✐♥❞✐♥❣ ♠✐♥✐♠✉♠ ❛♥❞ ♠❛①✐♠✉♠ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛❧✉❡s ❢♦r ❱❛❘ ♦❢ t❤❡ ❝r❡❞✐t ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❧♦ss✱ L = n

i=✶ Li✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t

✇❡ ❦♥♦✇ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ r✐s❦s Li. ✇❡ ❤❛✈❡ s♦♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✶✿ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❝♦♥str❛✐♥t ✲ ❇❡r♥❛r❞✱ ❘ü❝❤❡♥❞♦r❢ ❛♥❞ ❱❛♥❞✉✛❡❧ ✭✷✵✶✺✮ M := s✉♣ ❱❛❘q [L✶ + L✷ + ... + Ln] , s✉❜❥❡❝t t♦ Lj ∼ Fj, ✈❛r(L✶ + L✷ + ... + Ln) ≤ s✷ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✿ ❱❛❘ ❜♦✉♥❞s ✇❤❡♥ t❤❡ ❥♦✐♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ (L✶, L✷, ..., Ln) ✐s ❦♥♦✇♥ ♦♥ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ t❤❡ s❛♠♣❧❡ s♣❛❝❡✿ ❇❡r♥❛r❞ ❛♥❞ ❱❛♥❞✉✛❡❧ ✭✷✵✶✺✮✳

✷✹ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ Pr♦❜❧❡♠

❉❡s❝r✐♣t✐♦♥

■t ❛♣♣❡❛rs t❤❛t ❛❞❞✐♥❣ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ s❤❛r♣❡♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞s ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧②✳ ❍❡r❡✱ ◮ ❱❛❘ ❜♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ♠♦♠❡♥ts ♦♥ t❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ s✉♠

◮ P♦rt❢♦❧✐♦ ❧♦ss

L =

n

• i=✶

Li ✇❤❡r❡ Li ∼ viB(pi) (vi ≥ ✵) ❍❡♥❝❡✱ Li ✐s ❛ s❝❛❧❡❞ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ r✈✳

◮ ❲❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠✿

M:= s✉♣ ❱❛❘q[L] s✉❜❥❡❝t t♦ Li∼viB(pi) ❛♥❞ E[Lk] ≤ ck (k = ✷, ✸, ..., K).

◮ ❊①t❡♥❞❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❘❆ ◮ ❆ss❡ss ♠♦❞❡❧ r✐s❦ ♦❢ ✐♥❞✉str② ❝r❡❞✐t r✐s❦ ♠♦❞❡❧s ❢♦r ❱❛❘

✷✺ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ Pr♦❜❧❡♠

❱❛❘ ❜♦✉♥❞s ✇✐t❤ ♠♦♠❡♥t ❝♦♥str❛✐♥ts

◮ ❲✐t❤♦✉t ♠♦♠❡♥t ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ❱❛❘ ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ❛tt❛✐♥❡❞ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛♠♦♥❣ r✐s❦s Li s✉❝❤ t❤❛t L = A ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② q B ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − q ❛✳s✳ ■❢ t❤❡ ✏❞✐st❛♥❝❡✑ ❜❡t✇❡❡♥ A ❛♥❞ B ✐s t♦♦ ✇✐❞❡ t❤❡♥ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❜♦✉♥❞s ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ L∗= a ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② q b ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✶ − q s✉❝❤ t❤❛t akq + bk(✶ − q) ≤ ck aq + b(✶ − q) = E[L] ✐♥ ✇❤✐❝❤ a ❛♥❞ b ❛r❡ ✏❛s ❞✐st❛♥t ❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✇❤✐❧❡ s❛t✐s❢②✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t✑

✷✻ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ Pr♦❜❧❡♠

❉❡❛❧✐♥❣ ✇✐t❤ ♠♦♠❡♥t ❝♦♥str❛✐♥ts

❚♦ ✜♥❞ a ❛♥❞ b✱ s♦❧✈❡ ❢♦r ❡❛❝❤ k = ✷, ✸, .., K t❤❡ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s (A ≤ B) Aq + B(✶ − q) = E(L) Akq + Bk(✶ − q) = ck ❛♥❞ ♦❜t❛✐♥ K − ✶ ♣❛✐rs {Aj, Bj}✳ ❚❤❡♥✱ t❛❦❡ b = ♠✐♥ {Bj|j = ✷, ✸, ..., K} a = E[L] − b(✶ − q) q .

✷✼ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆❣❡♥❞❛

✹

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❙t❛♥❞❛r❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❊①t❡♥❞❡❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

✷✽ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ ❙❤❛r♣ ❇♦✉♥❞s

❚❤❡ ❜♦✉♥❞s a ❛♥❞ b ❛r❡ s❤❛r♣ ✐❢ ♦♥❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛♠♦♥❣ t❤❡ r✐s❦s Li s✉❝❤ t❤❛t q✉❛♥t✐❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡✐r s✉♠ L ❜❡❝♦♠❡s ✢❛t ♦♥ [✵, q] ❛♥❞ ♦♥ [q, ✶]✳ ❚❤✐s ❤♦❧❞s tr✉❡ ✉♥❞❡r ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭s❡❡ ❡❣ ❲❛♥❣ ❛♥❞ ❲❛♥❣✱ ✷✵✶✹✮✳ ❚♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ s❤❛r♣ ❱❛❘ ❜♦✉♥❞s✿ ❊①t❡♥❞❡❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✭❘❆✮✳

❙t❛♥❞❛r❞ ❘❆ ✭P✉❝❝❡tt✐ ❛♥❞ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢✱ ✷✵✶✷✮✿ ◮ P✉t t❤❡ ♠❛r❣✐♥s ✐♥ ❛ ♠❛tr✐① ◮ ❘❡❛rr❛♥❣❡ ❡❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ✭❛❞❛♣t t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✮ s✉❝❤ t❤❛t L ✭r♦✇✲s✉♠s✮ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡s ❛ ❝♦♥st❛♥t ✭E[L]✮

✷✾ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❙t❛♥❞❛r❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❊①❛♠♣❧❡

N = ✹ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ♦❢ d = ✸ ✈❛r✐❛❜❧❡s✿ L✶✱ L✷, L✸

M =     1 1 2 6 3 4 6 3 4    

❊❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥✿ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❛♠♦♥❣ ❝♦❧✉♠♥s✿ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛♠♦♥❣ t❤❡ r✐s❦s

✸✵ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❙t❛♥❞❛r❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❙t❛♥❞❛r❞ ❘❆✿ ❙✉♠ ✇✐t❤ ▼✐♥✐♠✉♠ ❱❛r✐❛♥❝❡

♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛r✐❛♥❝❡ ✇✐t❤ d = ✷ r✐s❦s L✶ ❛♥❞ L✷

❆♥t✐♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✿ var(▲❛

✶ + L✷) ≤ var(▲✶ + L✷)

❆❣❣r❡❣❛t❡ ❘✐s❦ ✇✐t❤ ▼✐♥✐♠✉♠ ❱❛r✐❛♥❝❡

◮ ❈♦❧✉♠♥s ♦❢ M ❛r❡ r❡❛rr❛♥❣❡❞ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡② ❜❡❝♦♠❡ ❛♥t✐✲♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✇✐t❤ t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛❧❧ ♦t❤❡r ❝♦❧✉♠♥s✳ ∀k ∈ {✶, ✷, ..., d}, ▲❛

❦ antimonotonic with

• j=k

Lj ◮ ❆❢t❡r ❡❛❝❤ st❡♣✱ var

• ▲❛

❦ + j=k Lj

• ≤ var
• ▲❦ +

j=k Lj

• ✇❤❡r❡ ▲❛

❦ ✐s ❛♥t✐♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✇✐t❤ j=k Lj

✸✶ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❙t❛♥❞❛r❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆❣❣r❡❣❛t❡ r✐s❦ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛r✐❛♥❝❡ ❙t❡♣ ✶✿ ❋✐rst ❝♦❧✉♠♥

    ↓ X2 + X3     6 6 4 4 3 2 1 1 1 0 0 0     10 5 2 becomes     0 6 4 1 3 2 4 1 1 6 0 0    

✸✷ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❙t❛♥❞❛r❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆❣❣r❡❣❛t❡ r✐s❦ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛r✐❛♥❝❡

↓ X2 + X3     6 6 4 4 3 2 1 1 1     10 5 2 becomes     6 4 1 3 2 4 1 1 6     ↓ X1 + X3     6 4 1 3 2 4 1 1 6     4 3 5 6 becomes     3 4 1 6 2 4 1 1 6     ↓ X1 + X2     3 4 1 6 2 4 1 1 6     3 7 5 6 becomes     3 4 1 6 4 1 2 6 1    

✸✸ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❙t❛♥❞❛r❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❆❣❣r❡❣❛t❡ r✐s❦ ✇✐t❤ ♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛r✐❛♥❝❡

❊❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ✐s ❛♥t✐♠♦♥♦t♦♥✐❝ ✇✐t❤ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡rs✿

↓ X2 + X3     0 3 4 1 6 0 4 1 2 6 0 1     7 6 3 1 , ↓ X1 + X3     0 3 4 1 6 0 4 1 2 6 0 1     4 1 6 7 , ↓ X1 + X2     0 3 4 1 6 0 4 1 2 6 0 1     3 7 5 6

X1 + X2 + X3     3 4 1 6 4 1 2 6 1     SN =     7 7 7 7    

❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✈❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s✉♠ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ ✵✦ ✭✐❞❡❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥st❛♥t s✉♠ ✭❝♦♠♣❧❡t❡ ♠✐①❛❜✐❧✐t②✱ s❡❡ ❲❛♥❣ ❛♥❞ ❲❛♥❣ ✭✷✵✶✶✮✮

✸✹ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❊①t❡♥❞❡❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

■❧❧✉str❛t✐♦♥

… … …

• a

… … …

• a

… … …

• a

… … …

• a

8 8 4

• b

10 7 3

• b

12 1 7

• b

11 9

• b

1-q q Rearrange now within all columns such that all sums becomes close to zero

Extended RA

✸✺ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❆♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❱❛❘ ❇♦✉♥❞s✱ ❊①t❡♥❞❡❞ ❘❡❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠

❊①t❡♥❞❡❞ ❘❆

❊❘❆✿ ❆♣♣❧② ❘❆ ♦♥ t❤❡ ♥❡✇ ♠❛tr✐① ❛♥❞ ❝❤❡❝❦✿ ✕ ■❢ ❛❧❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞✱ t❤❡♥ L∗ r❡❛❞✐❧② ❣❡♥❡r❛t❡s t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✕ ■❢ ♥♦t✱ ❞❡❝r❡❛s❡ b ❜② ε✱ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉t❡ a s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ L ✐s s❛t✐s✜❡❞✳ ❆♣♣❧② t❤❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ❘❆ ❛❣❛✐♥✳

✸✻ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❈❛s❡ ❙t✉❞②✿ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦

❆❣❡♥❞❛

✺

❈❛s❡ ❙t✉❞②✿ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦

✸✼ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❈❛s❡ ❙t✉❞②✿ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦

❈♦r♣♦r❛t❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦

◮ ❛ ❝♦r♣♦r❛t❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ♦❢ ❛ ♠❛❥♦r ❊✉r♦♣❡❛♥ ❇❛♥❦✳ ◮ ✹✹✾✺ ❧♦❛♥s ♠❛✐♥❧② t♦ ♠❡❞✐✉♠ s✐③❡❞ ❛♥❞ ❧❛r❣❡ ❝♦r♣♦r❛t❡ ❝❧✐❡♥ts ◮ t♦t❛❧ ❡①♣♦s✉r❡ ✭❊❆❉✮ ✐s ✶✽✻✹✷✳✼ ✭♠✐❧❧✐♦♥ ❊✉r♦s✮✱ ❛♥❞ t❤❡ t♦♣ ✶✵✪ ♦❢ t❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ✭✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❊❆❉✮ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ✼✵✳✶✪ ♦❢ ✐t✳ ◮ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ❡①❤✐❜✐ts s♦♠❡ ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t②✳ ❙✉♠♠❛r② st❛t✐st✐❝s ♦❢ ❛ ❝♦r♣♦r❛t❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ▼✐♥✐♠✉♠ ▼❛①✐♠✉♠ ❆✈❡r❛❣❡ ❉❡❢❛✉❧t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✵.✵✵✵✶ ✵.✶✺ ✵.✵✶✶✾ ❊❆❉ ✵ ✼✺✵.✷ ✶✶✻.✼ ▲●❉ ✵ ✵.✾✵ ✵.✹✶

✸✽ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❈❛s❡ ❙t✉❞②✿ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ■♥❞✉str② ▼♦❞❡❧s

❱❛❘s ♦❢ ❛ ❝♦r♣♦r❛t❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥❞✉str② ♠♦❞❡❧s q = ❈♦♠♦♥✳ ❑▼❱ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦+ ❇❡t❛ ✾✺% ✸✾✸.✺ ✷✽✶.✸ ✷✽✶.✽ ✷✽✷.✺ ✾✺% ✸✾✸.✺ ✸✹✵.✻ ✸✹✻.✷ ✸✹✼.✹ ρ = ✵.✶✵ ✾✾% ✷✸✼✹.✶ ✺✸✾.✹ ✺✶✸.✹ ✺✷✵.✷ ✾✾.✺% ✺✵✽✽.✺ ✻✸✶.✺ ✺✽✷.✾ ✺✾✸.✺

✸✾ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❈❛s❡ ❙t✉❞②✿ ❈r❡❞✐t ❘✐s❦ P♦rt❢♦❧✐♦

❱❛❘ ❜♦✉♥❞s

❲✐t❤ ρ = ✵.✶✱

❱❛❘ ❛ss❡ss♠❡♥t ♦❢ ❛ ❝♦r♣♦r❛t❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ q = ❑▼❱ ❈♦♠♦♥✳ ❯♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ K = ✷ K = ✸ K = ✹ ✾✺% ✸✹✵.✻ ✸✾✸.✸ (✸✹.✵ ; ✷✵✽✸.✸) (✾✼.✸ ; ✻✶✹.✽) (✶✵✵.✾ ; ✺✻✷.✽) (✶✵✵.✾ ; ✺✻✵.✻) ✾✾% ✺✸✾.✹ ✷✸✼✹.✶ (✺✻.✺ ; ✻✾✼✸.✶) (✶✶✶.✽ ; ✶✷✹✺.✵) (✶✶✺.✵ ; ✾✹✶.✷) (✶✶✺.✾ ; ✽✸✹.✼) ✾✾.✺% ✻✸✶.✺ ✺✵✽✽.✺ (✽✾.✹ ; ✶✵✶✶✾.✾) (✶✶✹.✾ ; ✶✼✵✾.✹) (✶✶✼.✻ ; ✶✶✼✼.✽) (✶✶✽.✺ ; ✾✽✾.✺) ✾✾.✾% ✽✻✷.✹ ✶✷✾✵✺.✶ (✶✶✶.✽ ; ✶✹✼✽✹.✾) (✶✶✾.✷ ; ✸✻✾✷.✸) (✶✷✵.✽ ; ✶✾✾✺.✾) (✶✷✶.✷ ; ✶✹✼✷.✼)

❖❜s ✶✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ ❜♦✉♥❞s ❖❜s ✷✿ ❙✐❣♥✐✜❝❛♥t ❜♦✉♥❞s r❡❞✉❝t✐♦♥ ✇✐t❤ ♠♦♠❡♥ts ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

✹✵ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❈♦♥❝❧✉s✐♦♥s

✶ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ s✐♠♣❧❡ ❜♦✉♥❞s ❢♦r ❱❛❘ ♦❢ ❛ ♣♦rt❢♦❧✐♦ ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ♠♦♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♣♦rt❢♦❧✐♦ s✉♠✳

✷ ❲❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ♥❡✇ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ s❤❛r♣ ❱❛❘ ❜♦✉♥❞s✳ ✸ ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♠♦♠❡♥t ❝♦♥str❛✐♥ts ❝❛♥ str❡♥❣t❤❡♥ t❤❡

✉♥❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❱❛❘ ❜♦✉♥❞s s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧②✳

✹ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❝r❡❞✐t r✐s❦ ♠♦❞❡❧s

✹✶ ✶✹t❤ ❙❝✐❡♥t✐✜❝ ❉❛② ✸✵✳✵✹✳✷✵✶✺

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

◮ ❇❡r♥❛r❞✱ ❈✳✱ ❳✳ ❏✐❛♥❣✱ ❛♥❞ ❘✳ ❲❛♥❣ ✭✷✵✶✹✮✿ ✏❘✐s❦ ❆❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❯♥❝❡rt❛✐♥t②✱✑ ■♥s✉r❛♥❝❡✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝s✳ ◮ ❇❡r♥❛r❞✱ ❈✳✱ ▼❝▲❡✐s❤ ❉✳ ✭✷✵✶✹✮✿ ✏❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ❋✐♥❞✐♥❣ ❈♦♣✉❧❛s ▼✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❱❛r✐❛♥❝❡ ♦❢ ❙✉♠s✱✑ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r✳ ◮ ❇❡r♥❛r❞✱ ❈✳✱ ▲✳ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢✱ ❛♥❞ ❙✳ ❱❛♥❞✉✛❡❧ ✭✷✵✶✹✮✿ ✏❱❛❘ ❇♦✉♥❞s ✇✐t❤ ❛ ❱❛r✐❛♥❝❡ ❈♦♥str❛✐♥t✱✑ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r✳ ◮ ❇❡r♥❛r❞✱ ❈✳✱ ❱❛♥❞✉✛❡❧ ❙✳ ✭✷✵✶✹✮✿ ✏❆ ♥❡✇ ❛♣♣r♦❛❝❤ t♦ ❛ss❡ss✐♥❣ ♠♦❞❡❧ r✐s❦ ✐♥ ❤✐❣❤ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✑✱ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❇❛♥❦✐♥❣ ❛♥❞ ❋✐♥❛♥❝❡✳ ◮ ❊♠❜r❡❝❤ts✱ P✳✱ ●✳ P✉❝❝❡tt✐✱ ❛♥❞ ▲✳ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ✭✷✵✶✸✮✿ ✏▼♦❞❡❧ ✉♥❝❡rt❛✐♥t② ❛♥❞ ❱❛❘ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥✱✑ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❇❛♥❦✐♥❣ ✫ ❋✐♥❛♥❝❡✳ ◮ ❊♠❜r❡❝❤ts✱ P✳✱ ●✳ P✉❝❝❡tt✐✱ ▲✳ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢✱ ❘✳ ❲❛♥❣✱ ❛♥❞ ❆✳ ❇❡❧❡r❛❥ ✭✷✵✶✹✮✿ ✏❆♥ ❛❝❛❞❡♠✐❝ r❡s♣♦♥s❡ t♦ ❇❛s❡❧ ✸✳✺✱✑ ❘✐s❦s✳ ◮ ❍❛✉s ❯✳✲❯✳ ✭✷✵✶✹✮✿ ✏❇♦✉♥❞✐♥❣ ❙t♦❝❤❛st✐❝ ❉❡♣❡♥❞❡♥❝❡✱ ❈♦♠♣❧❡t❡ ▼✐①❛❜✐❧✐t② ♦❢ ▼❛tr✐❝❡s✱ ❛♥❞ ▼✉❧t✐❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❇♦tt❧❡♥❡❝❦ ❆ss✐❣♥♠❡♥t Pr♦❜❧❡♠s✱✑ ❲♦r❦✐♥❣ P❛♣❡r✳ ◮ P✉❝❝❡tt✐✱ ●✳✱ ❛♥❞ ▲✳ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ✭✷✵✶✷❛✮✿ ✏❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ s❤❛r♣ ❜♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥t r✐s❦s✱✑ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✳ ◮ P✉❝❝❡tt✐✱ ●✳✱ ❘üs❝❤❡♥❞♦r❢ ▲✳ ✭✷✵✶✷❜✮✳ ❇♦✉♥❞s ❢♦r ❥♦✐♥t ♣♦rt❢♦❧✐♦s ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥t r✐s❦s✳ ❙t❛t✐st✐❝s ❛♥❞ ❘✐s❦ ▼♦❞❡❧✐♥❣✳ ◮ ❲❛♥❣✱ ❇✳✱ ❛♥❞ ❘✳ ❲❛♥❣ ✭✷✵✶✶✮✿ ✏❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♠✐①❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ♠✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ♠♦♥♦t♦♥❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞❡♥s✐t✐❡s✱✑ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼✉❧t✐✈❛r✐❛t❡ ❆♥❛❧②s✐s✳ ◮ ❲❛♥❣✱ ❇✳✱ ❛♥❞ ❘✳ ❲❛♥❣ ✭✷✵✶✺✮✿ ✏❏♦✐♥t ▼✐①❛❜✐❧✐t②✱✑ ❲♦r❦✐♥❣ ♣❛♣❡r✳