rt trt t tts r - - PowerPoint PPT Presentation

❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ✽✳✺✳✷✵✶✾ ▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶ ✴ ✺✸

❘❡❢❡r❡♥❝❡s

❚❤❡ r❡s✉❧ts t❤❛t ❛r❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❤❡r❡ ❡✐t❤❡r ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♦r ❛r❡ ❞♦♥❡ ❜② ♠❡ ❛❧♦♥❡ ♦r ✐♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ▲❛✉r❛ ▲✉③③✐ ❛♥❞ ❋r❛♥❝✐s ▲✉✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷ ✴ ✺✸

❆ ❧❛tt✐❝❡

❆ ❧❛tt✐❝❡ L ✐s ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❣r♦✉♣ ✐♥ Rn✳ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡t ♦❢ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❡❧❡♠❡♥ts {a✶, . . . , ak} t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡ L✳ ■❢ L = a✶Z + a✷Z + · · · + akZ✱ ✇❡ s❛② t❤❛t L ❤❛s ❞❡❣r❡❡ k✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸ ✴ ✺✸

▼❛tr✐① ❧❛tt✐❝❡s

▲❛tt✐❝❡s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥ t❤✐s ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❣r♦✉♣s ✐♥ Mn×n(C)✳ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❆ ♠❛tr✐① ❧❛tt✐❝❡ L ⊆ Mn×n(C) ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠ L = ZB✶ ⊕ ZB✷ ⊕ · · · ⊕ ZBk, ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s B✶, . . . , Bk ❛r❡ ❧✐♥❡❛r❧② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦✈❡r R✱ ✐✳❡✳✱ ❢♦r♠ ❛ ❧❛tt✐❝❡ ❜❛s✐s✱ ❛♥❞ k ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t X, Y ∈ Mn(C)✳ ❚❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ✐♥♥❡r✲♣r♦❞✉❝t ✐s ♥♦✇ X, Y = ℜ(Tr(XY †). ❲✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤✐s ✐♥♥❡r✲♣r♦❞✉❝t Mn(C) ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛ s♣❛❝❡ R✷n✷✳ ▼❛tr✐① ❢♦r♠ ✐s ❥✉st ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t ✇❛② ♦❢ ♣r❡s❡♥t✐♥❣ ♦✉r ✈❡❝t♦rs✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹ ✴ ✺✸

▼❛tr✐① ❧❛tt✐❝❡s

❲❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♠❡❛s✉r❡ ✭♦r ❤②♣❡r✈♦❧✉♠❡✮ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❛r❛❧❧❡❧♦t♦♣❡ ♦❢ ❛ ❧❛tt✐❝❡ L ⊂ Mn(C) ❜② ❱♦❧(L) ❛♥❞ ❝❛❧❧ ✐t t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❛r❛❧❧❡❧♦t♦♣❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L✳ ■❢ x✶, . . . , xk ✐s ❛ ❜❛s✐s ♦❢ L✱ ✇❡ ❝❛♥ ❢♦r♠ t❤❡ ●r❛♠ ♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L

• ℜtr(xix†

j )

• ✶≤i,j≤k .

❚❤❡ ●r❛♠ ♠❛tr✐① ❤❛s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ❡q✉❛❧ t♦ ❱♦❧(L)✷.

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✺ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

▲❡t ✉s ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ ❛ ❞❡❣r❡❡ n ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡r a✳ ▲❡t fa(x) = xn + cn−✶xn−✶ + · · · + c✶x + c✵ ❜❡ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ♦❢ a ✭❤❡r❡ ci ∈ Z)✳ ❲❡ ✉s❡ ♥♦t❛t✐♦♥ K = Q(a) = Q ⊕ Qa ⊕ · · · ⊕ Qan−✶✳ ❚❤❡ s❡t K ✐s ❛ ✜❡❧❞✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t K ✐s ❛❞❞✐t✐✈❡❧② ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡❧② ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ❢♦r ❡✈❡r② ❡❧❡♠❡♥t x ∈ K✱x = ✵✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts y ∈ K s✉❝❤ t❤❛t xy = ✶✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✻ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❛t RK = Z[a] = Z ⊕ Za ⊕ · · · ⊕ Zan−✶. ✐s ❛ r✐♥❣ ❛♥❞ ❛ ❞❡❣r❡❡ n ❢r❡❡ Z✲♠♦❞✉❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇❤❡♥ s❡❡♥ ❛s ❛ s✉❜s❡t ✐♥ C ✐t ✐s ❛ ❞❡♥s❡ s❡t✳ ❙♦ ✐t ✐s ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❣r♦✉♣✱ ❜✉t ✐t ✐s ♥♦t ❞✐s❝r❡t❡ ✐♥ t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❛♠❜✐❡♥t s♣❛❝❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✼ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

❲❡ ✇✐❧❧ ❞❡♥♦t❡ ✇✐t❤ σi(a) t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① r♦♦ts ♦❢ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ fa(x)✳ fa(x) = (x − σ✶(a))(x − σ✷(x)) · · · (x − σn(a)), ❤❡r❡ σ✶(a) = a✳ ❚❤❡s❡ ③❡r♦s ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❞❡✜♥❡ n ♠❛♣♣✐♥❣s ❢r♦♠ K t♦ C✳ ❘❡♠❡♠❜❡r t❤❛t ❡❛❝❤ x ∈ K ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s x = d✵ + d✶a + · · · + dn−✶an−✶, ✇❤❡r❡ di ∈ Q✳ ◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ σi(x) = d✵ + d✶σi(a) + · · · + dn−✶σi(a)n−✶.

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✽ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

❙♦ ❞❡✜♥❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣s s❛t✐s❢② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣s σi ❛r❡ Q ❛❧❣❡❜r❛ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s✳ ❲❡ ❤❛✈❡ σi(x + y) = σi(x) + σi(y)✳ ❆♥❞ σi(xy) = σi(x)σi(y)✳ ■❢ x ∈ K✱ t❤❡♥ n

i=✶ σi(x) ∈ Q✳

❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ t❤❛t σi(x) = ✵ ♦♥❧② ✐❢ x = ✵✳ ■❢ x ∈ RK t❤❡♥ n

i=✶ σi(x) ∈ Z.

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✾ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

▲❡t ✉s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t σ✶, . . . , σn ❛r❡ t❤❡ Q✲❡♠❜❡❞❞✐♥❣s ❢r♦♠ K t♦ C✳ ❚❤❡ ▼✐♥❦♦✇s❦✐ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ψ : K → Mn(C) ✐s t❤❡♥ ψ(x) = ❞✐❛❣(σ✶(x), . . . , σn(x)) ∈ Mn(C). ❚❤✐s ✐s r❡❛❧❧② ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) ❛♥❞ ψ(x + y) = ψ(x) + ψ(y)✳ ▲❡t ✉s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t x ∈ K✳ ❆s K ✐s ❛ ✜❡❧❞ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t y ∈ K✱ s✉❝❤ t❤❛t xy = ✶✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ψ(x)ψ(y) = ψ(xy) = ψ(✶K) = I.

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✵ ✴ ✺✸

❙♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s

❆❧❧ t❤❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ♠❛tr✐❝❡s ✐♥ ψ(K) ❛r❡ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡✦ ❋✉rt❤❡r ❞❡t(ψ(x)) =

n

• i=✶

σi(x). ■❢ x ∈ K✱ t❤❡♥ ❞❡t(ψ(x)) ∈ Q✳ ■❢ x ∈ RK✱ t❤❡♥ ❞❡t(ψ(x))) ∈ Z.

• ✐✈❡♥ x ∈ RK✱ x = ✵✱ t❤❡♥ |❞❡t(ψ(x))| ≥ ✶✦

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✶ ✴ ✺✸

◆✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s

❲❤❛t ❝❛♥ ❜❡ s❛✐❞ ❛❜♦✉t t❤❡ s❡t ψ(RK) ⊂ Mn(C)❄ ❆s ψ ✐s ❛ ❣r♦✉♣ ❤♦♠♦♠♦r♣❤✐s♠✱ ✐t ♠✉st ❜❡ ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❣r♦✉♣✳ ■s ✐t ❛ ❧❛tt✐❝❡❄ ◆♦t❡ t❤❛t ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ Z ⊕ √ ✷Z ✐s ❛ ❢r❡❡ ❣r♦✉♣✱ ❜✉t ♥♦t ❛ ❧❛tt✐❝❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✷ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

❘❡♠❡♠❜❡r ♦✉r ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t X, Y = ℜ(Tr(XY †)✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ♠❡tr✐❝ ||X − Y ||F =

• |X − Y , X − Y |✳

▲❡♠♠❛ ▲❡t A ❜❡ ❛♥ n × n ❝♦♠♣❧❡① ♠❛tr✐①✳ ❲❡ t❤❡♥ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t② | ❞❡t A| ≤ An

F

nn/✷ .

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✸ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

▲❡t ✉s s✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡❧❡♠❡♥ts x, y ∈ RK ❛♥❞ x = y✳ ❲❡ t❤❡♥ ❤❛✈❡ t❤❛t ||ψ(x) − ψ(y)||F = ||ψ(x − y)||F ≥ √n|❞❡t(ψ(X − Y ))|✶/n. ❛♥❞ ❜❡❝❛✉s❡ x − y ∈ RK ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t |❞❡t(ψ(x − y))| ≥ ✶✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ||ψ(x) − ψ(y)||F ≥ √n. ❍❡♥❝❡ ψ(RK) ✐s ❛ ❞✐s❝r❡t❡ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❣r♦✉♣ ✐♥ Mn(C)✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✹ ✴ ✺✸

❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ ❛ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡

❲❡ ❛❧r❡❛❞② s❛✇ t❤❛t ❢♦r ❛♥② ❡❧❡♠❡♥t x ∈ ψ(RK) ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t ||x||✷ ≤ n✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❦♥♦✇ t❤❛t ||ψ(✶K)||✷ = n✳ ❆ ♥❛t✉r❛❧ q✉❡st✐♦♥ ✐s ♥♦✇ ✇❤❛t ✐s t❤❡ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ RK ❛♥❞ ❤♦✇ ❧❛r❣❡ ✐t ❝❛♥ ❜❡✳ ❲❡ ♦♥❧② ♥❡❡❞ ♥♦ ❦♥♦✇ ✇❤❛t ✐s t❤❡ ✈♦❧✉♠❡ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❛r❛❧❧❡❧♦t♦♣❡ ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ψ(RK)✳ ■t ✐s ❛❝t✉❛❧❧② s♦♠❡t❤✐♥❣ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ fa(x)✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✺ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ r✐♥❣s ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡rs

❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ψ(RK) ❤❛s ♠❛♥② ♥✐❝❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ ♠❡❛s✉r❡ ✐t✬s ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❡❛s✐❧②✱ ❜✉t ✇❡ ❝❛♥ t②♣✐❝❛❧❧② ❞♦ ❜❡tt❡r✳

• ✐✈❡♥ ❛♥② a ∈ K ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ Z[a] = RK✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠❛①✐♠❛❧

r✐♥❣ OK s✉❝❤ t❤❛t RK ⊆ OK✳ ❚❤❡ r✐♥❣ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡rs OK ❝♦♥s✐st ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ K✳ ■t ✐s ♦❜✈✐♦✉s❧② ✉♥✐q✉❡ ♠❛①✐♠❛❧ r✐♥❣ ✇✐t❤ s✉❝❤ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✻ ✴ ✺✸

❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s

❚❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ψ(OK) ❤❛s ❛❧❧ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ψ(RK) ❤❛s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ✈❡❝t♦r ✐♥ ψ(OK) ❤❛s ❧❡♥❣t❤ √n✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t②♣✐❝❛❧❧② RK ⊂ OK ❛♥❞ ❱♦❧(ψ(OK)) < ❱♦❧(ψ(RK))✳ ■♥ ❛♥② ❝❛s❡ h(ψ(OK)) ≥ h(ψ(RK))✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✼ ✴ ✺✸

❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s

▲❡t ✉s s✐♠♣❧✐❢② t❤✐♥❣s ❧✐tt❧❡ ❜✐t✳ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❛ss✉♠❡ t❤❛t K = Q(a) ✐s ❛ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✜❡❧❞✳ ■t ♠❡❛♥s t❤❛t ✇❤❡♥ fa(x) = (x − σ✶(a))(x − σ✷(a)) · · · (x − σn(a)), t❤❡♥ ❛❧❧ σi(a) ∈ R✳ ❖❜✈✐♦✉s❧② t❤❡♥ ψ(x) ∈ Mn(R) ❢♦r ❛❧❧ x ∈ K✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡ ψ(OK) ✐s t♦t❛❧❧② r❡❛❧✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✽ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

▲❡♠♠❛ ▲❡t K/Q ❜❡ ❛ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n ❛♥❞ ❧❡t ψ ❜❡ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣✳ ❚❤❡♥ ❱♦❧(ψ(OK)) =

• |dK|, ❛♥❞ ❤(ψ(OK)) =

n |dK|

✶ n

. ❍❡r❡ dK ✐s t❤❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ K✳ ■t ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ K ❛♥❞ ❤❛s ❜❡❡♥ ✉♥❞❡r ❞❡❡♣ st✉❞② ❢♦r ♦✈❡r ✶✵✵ ②❡❛rs✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✶✾ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

◆♦✇ t❤❡ st✉❞② ♦❢ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ♦❢ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s ✐s r❡❞✉❝❡❞ t♦ st✉❞② ♦❢ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥ts✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ♣❧❡♥t② ♦❢ ❣♦♦❞ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s✳ ✭▼✐♥❦♦✇s❦✐ ❛♥❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♦❢ ❖❞❧②③❦♦ ❜♦✉♥❞s ❡t❝✮ ❇❡st ❡①✐st❡♥❝❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❝❧❛ss ✜❡❧❞ t♦✇❡rs✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t♦t❛❧❧② r❡❛❧ ✜❡❧❞s ▼❛rt✐♥❡t ♣r♦✈❡s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✜❡❧❞s ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n✱ ✇❤❡r❡ n = ✷k✱ s✉❝❤ t❤❛t |dKn|

✶ n = G✶,

✭✶✮ ✇❤❡r❡ G✶ ≈ ✶✵✺✽✳ ■❢ K ✐s ❛ ❞❡❣r❡❡ n ✜❡❧❞ ❢r♦♠ t❤✐s ❢❛♠✐❧②✱ ❤(ψ(OK)) = n G✶ . ✭✷✮

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✵ ✴ ✺✸

❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ♦❢ ♥✉♠❜❡r ❢✐❡❧❞s

❚❤❡ ❛❝t✉❛❧ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❛♥❞ ♥♦♥✲❛s②♠♣t♦t✐❝ s✐③❡ ♦❢ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥ts ✐s ♥♦t ❦♥♦✇♥✳ ❋♦r ❡♥t❡rt❛✐♥♠❡♥t ♦♥❡ ✜♥❞s q✉✐t❡ ❣♦♦❞ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ❢r♦♠✿ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❧♠❢❞❜✳♦r❣✴◆✉♠❜❡r❋✐❡❧❞✴

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✶ ✴ ✺✸

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t

❚❤❡ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t q✉❡st✐♦♥ ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ♦♥❡ t❤❛t ✐s r❡❧❡✈❛♥t ❢♦r ❛❧❧ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❍♦✇ ❛❜♦✉t q✉❡st✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ s♣❡❝✐✜❝ ❢♦r ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s✳ ❘❡♠❡♠❜❡r t❤❛t ❢♦r ❛♥② ❡❧❡♠❡♥t x ∈ OK✱ |❞❡t(ψ(x))| ≤ ✶✳ ❚❤✐♥❦ ♦❢ ②♦✉r ❢❛✈♦✉r✐t❡ ❧❛tt✐❝❡✳ ❉♦❡s ✐t ❤❛✈❡ t❤✐s ♣r♦♣❡rt②❄ ❚❤✐s ✐s r❡❛❧❧② r❛r❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✷ ✴ ✺✸

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L ⊆ Mn×n(C) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ♠✐♥❞❡t(L) := ✐♥❢

X∈L\{✵} |❞❡t(X)| .

■❢ ♠✐♥❞❡t(L) > ✵ ✇❡ s❛② t❤❛t t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ♥♦♥✲✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✭◆❱❉✮ ♣r♦♣❡rt②✳ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t δ(L)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✜rst s❝❛❧✐♥❣ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L t♦ ❤❛✈❡ ❛ ✉♥✐t s✐③❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣❛r❛❧❧❡❧♦t♦♣❡ ❛♥❞ t❤❡♥ t❛❦✐♥❣ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ s❝❛❧❡❞ ❧❛tt✐❝❡✳ δ(L) = ♠✐♥❞❡t(L) (❱♦❧(L))n/k . ✭✸✮

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✸ ✴ ✺✸

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t

❋♦r ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s ✇❡ ❤❛✈❡ δ(ψ(OK)) = ✶

• |dK|

. ❚❤❡ ♥♦r♠❛❧✐③❡❞ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ❣r❡❛t❡st ❦♥♦✇♥✳ ■♥ ❢❛❝t ✐t s❡❡♠ t♦ ❜❡ t❤❛t ♦♥❧② ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ♣r♦✈✐❞❡ ❧❛tt✐❝❡s ✇✐t❤ ♥♦♥✲✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✹ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✶ ❡❧❡♠❡♥ts

❋♦r t②♣✐❝❛❧ ❧❛tt✐❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ♥❛t✉r❛❧❧② ❛♥❛❧②s❡ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ✐ts ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t✳ ❏✉st ❛s ✇❡❧❧ ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❤♦✇ ♠❛♥② s❤♦rt❡st ✈❡❝t♦rs t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ ❤❛✈❡✳ ❍♦✇ ♠❛♥② ❡❧❡♠❡♥ts x ∈ ψ(OK) t❤❡r❡ ❛r❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② |❞❡t(x)| = ✶❄ ❯s✉❛❧❧② t❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥②✦ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❞❡♥♦t❡ t❤❡♠ ✇✐t❤ ψ(OK)✶✳ ❆s t❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ♦❢ t❤❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❤♦✇ ❞❡♥s❡ s❡t t❤❡② ❛r❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✺ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✶ ❡❧❡♠❡♥ts

❚❤✐s q✉❡st✐♦♥ ✐s ❛❣❛✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r t❤❡♦r②✳ ■t ✐s s♦ ❝❡♥tr❛❧ ❜❡❝❛✉s❡ ψ(OK)✶ = ψ(O∗

K)✱ ✇❤❡r❡ O∗ K ✐s t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣

♦❢ t❤❡ r✐♥❣ OK✳ ❚❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥ OK ✇❤♦✬s ✐♥✈❡rs❡ ❜❡❧♦♥❣s t♦ OK ❛s ✇❡❧❧✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✻ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✶ ❡❧❡♠❡♥ts

❲❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ B(M) = {X ∈ Mn(C) : ||X||F ≤ M} ❢♦r t❤❡ s♣❤❡r❡ ✇✐t❤ r❛❞✐✉s M✳ ❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥t❡r❡st❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ |B(M) ∩ ψ(OK)✶|, ✇❤❡♥ M ❣r♦✇s✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✼ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✶ ❡❧❡♠❡♥ts

❘❡♠❡♠❜❡r t❤❛t fa(x) = (x − σ✶(a))(x − σ✷(a)) · · · (x − σn(a)). ▲❡t ✉s ❞❡♥♦t❡ ❜② r✶ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s σi(a) ✐s r❡❛❧ ❛♥❞ ❜② ✷r✷ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t✐♠❡s σi(a) ✐s ❝♦♠♣❧❡①✳ ❚❤❡ ♣❛✐r (r✶, r✷) ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ K✳ ❚❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ✐s ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ❣❡♥❡r❛t♦r a✳ ❆ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t✬s t❤❡♦r❡♠ ♥♦✇ ❣✐✈❡s ✉s |ψ(OK)✶ ∩ B(M)| ∼ c ❧♦❣(M)r✷+r✶−✶, ✭✹✮ ✇❤❡r❡ c ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ M✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✽ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✶ ❡❧❡♠❡♥ts

❉✐r✐❝❤❧❡t✬s ✉♥✐t t❤❡♦r❡♠ ❛❧s♦ ❛❧♠♦st ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞❡✜♥❡s t❤❡ ❣r♦✉♣ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐ts O∗

K ♦❢ t❤❡ r✐♥❣ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ✐♥t❡❣❡rs OK✳ ■t st❛t❡s t❤❛t

O∗

K ∼

= U × Zr✷+r✶−✶, ✭✺✮ ✇❤❡r❡ U ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❣r♦✉♣ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ♦❢ t❤❡ r♦♦ts ♦❢ ✉♥✐t② ✐♥ t❤❡ ✜❡❧❞ K✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t ✐♥ s♦♠❡ s❡♥s❡ t❤❡ s✐❣♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ✏s✐③❡✑ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✷✾ ✴ ✺✸

• ❡♥❡r❛❧ ♠❛tr✐① ❧❛tt✐❝❡s

▲❡t ✉s ♥♦✇ ❛ss✉♠❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥② ♠❛tr✐① ❧❛tt✐❝❡ L ⊂ Mn(C) ❢r♦♠ ❛ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞✳ ■t ✐s t❤❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ✭❡①❝❡♣t ✵✮ ❛♥❞ ❝♦♠♠✉t✐♥❣ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠❛tr✐① A s✉❝❤ t❤❛t ALA−✶ ❝♦♥s✐st ♦❢ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❲❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t ✐rr❡s♣❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ✉s❡❞ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❛♥❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✇❡ ❛r❡ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❛ s♠❛❧❧ s✉❜s❡t ♦❢ ❧❛tt✐❝❡s✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ❛❧✇❛②s ❞❡❣(L) ≤ ✷n✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✵ ✴ ✺✸

❆ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r ✜❡❧❞ Q[i] = Q + Qi✳ ✭♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ x✷ + ✶✮ ❍❡r❡ σ ✐s t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥✳ ▲❡t u ❜❡ ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ❡❧❡♠❡♥t t❤❛t s❛t✐s❢② u✷ = −✶✳ ❲❡ ❝❛♥ t❤❡♥ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ H Q(i) + uQ(i), ✇❤❡r❡ au = uσ(a) = ua. ❚❤✐s s✐♠♣❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❛❧❧ t❤❡ ♥❡❡❞❡❞ r✐♥❣ ♦♣❡r❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ Q✲❛❧❣❡❜r❛ ✐s ♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✶ ✴ ✺✸

◗✉❛t❡r♥✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛

◗✉❛t❡r♥✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❛❧s♦ ❤❛s ❛ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ ♠❛tr✐① ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ H = a −b∗ b a∗

• | a, b ∈ Q(i)
• .

◆♦✇ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ R = a −b∗ b a∗

• | a, b ∈ Z(i)
• ✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡ ✐♥ M✷(C)✳

❚❤❡ s❡t R ✐s ❛ r✐♥❣ ❛♥❞ ❛❧s♦ |❞❡t(X)| ≥ ✶✱ ✇❤❡♥ X = ✵✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✷ ✴ ✺✸

• ❛❧♦✐s ❣r♦✉♣

❇❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ t❤❡ q✉❛t❡r♥✐♦♥s ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ❣✐✈❡ s♦♠❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✳ ▲❡t ✉s ❛❣❛✐♥ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ✜❡❧❞ K ✇✐t❤ ❛ ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❡❧❡♠❡♥t a ❛♥❞ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ fa(x) = (x − σ✶(a))(x − σ✷(a)) · · · (x − σn(a)). ■❢ ♥♦✇ ❢♦r ❡❛❝❤ i ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t Q(σi(a)) = Q(a)✱ t❤❡♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♠❛♣♣✐♥❣s

• ❛❧(K/Q) = {σ✶, σ✷, . . . , σn},

❢♦r♠ ❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐✈❡ ❣r♦✉♣✱ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ■❢ ●❛❧(K/Q) = {σ, σ✷, . . . , σn}✱ ✇❡ s❛② t❤❛t t❤❡ ●❛❧♦✐s ❣r♦✉♣ ✐s ❝②❝❧✐❝✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✸ ✴ ✺✸

◆♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❛❧❣❡❜r❛

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t K/Q ✐s ❛ ❝②❝❧✐❝ ●❛❧♦✐s ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❞❡❣r❡❡ n ✇✐t❤ t❤❡

• ❛❧♦✐s ❣r♦✉♣ Gal(K/Q) = σ✳ ❲❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ❛ss♦❝✐❛t✐✈❡ Q✲❛❧❣❡❜r❛

A = (K/Q, σ, γ) = K ⊕ uK ⊕ u✷K ⊕ · · · ⊕ un−✶K, ✇❤❡r❡ u ∈ A ✐s ❛♥ ❛✉①✐❧✐❛r② ❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❡❧❡♠❡♥t s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s xu = uσ(x) ❢♦r ❛❧❧ x ∈ K ❛♥❞ un = γ ∈ Q∗✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤✐s t②♣❡ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛ ❝②❝❧✐❝ ❛❧❣❡❜r❛ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦r H ✇❡ ❤❛❞ t❤❛t K = Q(i)✱ u✷ = −✶✱ ❛♥❞ xu = ux✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✹ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

❇② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥t γ ❝♦rr❡❝t❧② ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✉r❡ t❤❛t A ✐s ❛ ✜❡❧❞✳ ❋♦r ❡❛❝❤ ♥♦♥✲③❡r♦ ❡❧❡♠❡♥t x ∈ A t❤❡r❡ ❡①✐sts y s✉❝❤ t❤❛t xy = ✶A✳ ❲❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ str✉❝t✉r❡ t❤❛♥ ❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ✜❡❧❞✳ ❍♦✇ ❝❛♥ ✇❡ ❡♠❜❡❞ ✐t ✐♥t♦ s✉✐t❛❜❧❡ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡❄ ❘❡♠❡♠❜❡r t❤❛t A ✐s ❛ ❞❡❣r❡❡ n r✐❣❤t K✲✈❡❝t♦r s♣❛❝❡✳

• ✐✈❡♥ ❛♥② ❡❧❡♠❡♥t x ∈ A✱ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❢r♦♠ ❧❡❢t ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣✳

x(a + b) = x(a) + x(b) x(a)k = x(ak)✳ ❲❡ ❝❛♥ s❡❡ ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ A ❛s ❛ ♠❛tr✐① ✐♥ Mn(K)✦

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✺ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t K/Q ✐s ❛ ❝②❝❧✐❝ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s✳ ▲❡t A = (K/Q, σ, γ) ❜❡ ❛ ❝②❝❧✐❝ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❲❡ ❝❛♥ ❝♦♥s✐❞❡r A ❛s ❛ r✐❣❤t ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ ♦✈❡r K ❛♥❞ ❡✈❡r② ❡❧❡♠❡♥t x = x✵ + ux✶ + · · · + un−✶xn−✶ ∈ A ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❛s ❛ ♠❛tr✐① ψ(x) = A =        x✵ γσ(xn−✶) γσ✷(xn−✷) · · · γσn−✶(x✶) x✶ σ(x✵) γσ✷(xn−✶) γσn−✶(x✷) x✷ σ(x✶) σ✷(x✵) γσn−✶(x✸) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ xn−✶ σ(xn−✷) σ✷(xn−✸) · · · σn−✶(x✵)        .

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✻ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

■t ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ψ(ab) = ψ(a)ψ(b) ❛♥❞ ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b)✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ♠❛tr✐❝❡s ψ(A) ✐s ❛♥ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ A✳ ■t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t ✐❢ A ✐s ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛✱ t❤❡♥ ψ(A) ❝♦♥s✐sts ♦❢ ✐♥✈❡rt✐❜❧❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ▲❡ss ♦❜✈✐♦✉s❧② ✐❢ x ∈ A✱ t❤❡♥ ❞❡t(ψ(x)) ∈ Q✳ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❛ss✉♠❡ t❤❛t un = γ ∈ Z✳ ❚❤❡♥ t❤❡ r✐♥❣ OK[u] = OK + uOK + · · · + un−✶OK ✐s ❛ ♣r♦♠✐s✐♥❣ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r ❛ ♣r❡✲✐♠❛❣❡ ♦❢ ❛ ❧❛tt✐❝❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✼ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

❲❡ ❝❛♥ ❞✐r❡❝t❧② s❡❡ t❤❛t ψ(OK[u]) ⊂ Mn(OK)✳ ■❢ x ∈ OK[u]✱ t❤❡♥ ❞❡t(ψ(x))) ∈ Z

• ✐✈❡♥ x ∈ OK[u]✱ x = ✵✱ t❤❡♥ |❞❡t(ψ(x))| ≥ ✶✦

❏✉st ❧✐❦❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧② ✇❡ ❝❛♥ ✉s❡ t❤✐s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ψ(OK[u]) ✐s ❛ ❧❛tt✐❝❡✳ ■t ❛❧s♦ ❤❛s s❤♦rt❡st ✈❡❝t♦r ♦❢ ❧❡♥❣t❤ √n✳ ψ(OK[u]) ✐s ❛ s✉❜s❡t ✐♥ Mn(C) ❛♥❞ ❤❛s ❞❡❣r❡❡ n✷✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✽ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

❏✉st ❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s✱ t❤❡ r✐♥❣ OK[u] ✐s ❛❧✇❛②s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♠❛①✐♠❛❧ r✐♥❣ Λ✳ ❍♦✇❡✈❡r t❤✐s r✐♥❣ ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡✳ ■♥ ❢❛❝t t②♣✐❝❛❧❧② ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❝♦♥t❛✐♥s ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ ♦r❞❡rs✳ ❆❣❛✐♥ t❤❡ s❡t ψ(Λ) ❤❛s ❛❧❧ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ψ(OK[u]) ❤❛s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ t❤❡ s❤♦rt❡st ✈❡❝t♦r ✐♥ ψ(OK[u]) ❤❛s ❧❡♥❣t❤ √n✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✸✾ ✴ ✺✸

▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ▲❡t ✉s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ Z✲♦r❞❡r Λ ✐♥ ❛ Q✲❝❡♥tr❛❧ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ A ♦❢ ✐♥❞❡① n t❤❡♥ h(ψ(Λ)) = n ❱♦❧(ψ(Λ))✷/n✷ . ▲❡♠♠❛ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t A ✐s ❛ r❡❛❧ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ψ s♦♠❡ ❝②❝❧✐❝ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ▲❡t Λ ❜❡ ❛ Z✲♦r❞❡r ✐♥s✐❞❡ A✳ ❚❤❡♥ ❱♦❧(ψ(Λ)) = |

• d(Λ/Z)|,

✇❤❡r❡ d(Λ/Z) ✐s ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ♦❢ t❤❡ ❛❧❣❡❜r❛ A✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✵ ✴ ✺✸

▼❛①✐♠❛❧ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♦❢ ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❧❛tt✐❝❡

❇② r❡❛❧ ❛❧❣❡❜r❛ ✇❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛♥ ❛❧❣❡❜r❛ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✜❡❧❞ K ✐s ❛ s✉❜s❡t ✐♥ R✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ψ(Λ) ⊂ Mn(R)✳ ❚❤✐s r❡str✐❝t✐♦♥ ✇❛s ❞♦♥❡ ❥✉st ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❣❡t ❛s ❝❧❡❛r r❡s✉❧t ❛s ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❛s❦ ❤♦✇ ❧❛r❣❡ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ♠❛①✐♠❛❧ ♦r❞❡rs ❝❛♥ ❤❛✈❡✳ ❖r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ❤♦✇ s♠❛❧❧ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥ts ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s ❝❛♥ ❤❛✈❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✶ ✴ ✺✸

▲❛r❣❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t

❚❤❡♦r❡♠ ✭❱✳ ✷✵✶✵✮ ❚❤❡ ❛❜s♦❧✉t❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥ts ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ Q✲❝❡♥tr❛❧ r❡❛❧ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s ♦❢ ✐♥❞❡① n ❛r❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② |✷ · ✸|n(n−✶), ❛♥❞ t❤✐s ❜♦✉♥❞ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞✳ ❚❤✐s r❡s✉❧t ❝❛♥ ❜❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞✱ ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr♦❧ ♦✈❡r ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥ts ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s✳ ❚❤✐s ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡❧② ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞ ❝❛s❡✱ ✇❤❡r❡ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t ✐s r❛t❤❡r ♠②st❡r✐♦✉s✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✷ ✴ ✺✸

▲❛r❣❡st ♣♦ss✐❜❧❡ ❍❡r♠✐t❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t

❲❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ t❤❛t h(ψ(Λ)) ∼ n

✻ ❛t ❜❡st✳

❙♦✉♥❞s ❣♦♦❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤✐s ❧❛tt✐❝❡ ❧✐✈❡s ✐♥ s♣❛❝❡ Mn(R) ≃ Rn✷✳ ❍❡♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ♥♦t ✈❡r② ❞❡♥s❡ ♣❛❝❦✐♥❣s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡s❡ ❧❛tt✐❝❡s ❛r❡ ❧✐❦❡❧② ❝❧♦s❡ t♦ ♦♣t✐♠❛❧ ✐♥ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t s❡♥s❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✸ ✴ ✺✸

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❧❛tt✐❝❡

❘❡♠❡♠❜❡r t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ t❤❡ ❧❛tt✐❝❡ L ⊆ Mn×n(C) δ(L) := ✐♥❢X∈L\{✵} |❞❡t(X)| ❱♦❧(L)n/k . ❋♦r ❡✈❡r② n t❤❡r❡ ❡①✐sts n✷✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❧❛tt✐❝❡ Ln ⊂ Mn(R)✱ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t δ(Ln) = ✻

(✶−n) ✷ .

❚❤❡s❡ ❧❛tt✐❝❡s ✜❧❧ t❤❡ ✇❤♦❧❡ s♣❛❝❡ Mn(R) ❝♦♠♣❧❡t❡❧②✳ ❨❡t t❤❡✐r ♠✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ✐s ✶✳ ❆s ❢❛r ❛s ■ ❦♥♦✇ t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ δ(Ln) ❛r❡ t❤❡ ❧❛r❣❡st ❦♥♦✇♥✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✹ ✴ ✺✸

▼✐♥✐♠✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ ❧❛tt✐❝❡s

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❛tt✐❝❡ ❜❛s✐s ✐s t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✹✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❧❛tt✐❝❡ ✐♥ M✷(R)✳ ✵ −✶ ✶ ✵

• ,

√ ✸ ✵ ✵ − √ ✸

• ,
• ✵

− √ ✸ − √ ✸ ✵

• ,

✶/✷(✶ + √ ✸) ✶/✷(−✶ − √ ✸ ✶/✷(✶ − √ ✸) ✶/✷(✶ − √ ✸)

• ❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐

❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✺ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ✉♥✐ts ✐♥ ♦r❞❡rs ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

❍♦✇ ♠❛♥② ❡❧❡♠❡♥ts x ∈ ψ(Λ) t❤❡r❡ ❛r❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② |❞❡t(x)| = ✶❄ ❯s✉❛❧❧② t❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥②✦ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❞❡♥♦t❡ t❤❡♠ ✇✐t❤ ψ(Λ)✶✳ ❆s t❤❡r❡ ❛r❡ ✐♥✜♥✐t❡❧② ♠❛♥② ♦❢ t❤❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛s❦ ❤♦✇ ❞❡♥s❡ s❡t t❤❡② ❛r❡✳ ❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥t❡r❡st❡❞ ♦♥ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ |B(M) ∩ ψ(Λ)✶|, ✇❤❡♥ M ❣r♦✇s✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✻ ✴ ✺✸

❆♥ ❡①❛♠♣❧❡

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s D✶ = (Q(i)/Q, σ, −✸) ❛♥❞ D✷ = (Q(i)/Q, σ, ✸). ❆♥❞ t❤❡✐r ❧❛tt✐❝❡s ψ(Λ✶) = a −✸b∗ b a∗

• | a, b ∈ Z(i)
• .

❛♥❞ ψ(Λ✷) = a ✸b∗ b a∗

• | a, b ∈ Z(i)
• .

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✼ ✴ ✺✸

❆♥ ❡①❛♠♣❧❡

❞❡t a −✸b∗ b a∗

• = |a|✷ + ✸|b|✷.

❞❡t a ✸b∗ b a∗

• = |a|✷ − ✸|b|✷.

❲❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ |B(M) ∩ ψ(Λ✶)✶| = ❝♦♥st❛♥t. ❛♥❞ |B(M) ∩ ψ(Λ✷)✶| ∼ cM✷, ❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t c✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✽ ✴ ✺✸

• ❡♥❡r❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♥♦r♠ ✶ ❡❧❡♠❡♥ts

❚❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣ Λ∗ ♦❢ Λ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❡❧❡♠❡♥ts x ∈ Λ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts y ∈ Λ✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ xy = ✶D✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ Λ∗ = {x |x ∈ Λ, |det(ψ(x))| = ✶}. ❲❡ ❛r❡ ♥♦✇ ✐♥t❡r❡st❡❞ ♦♥ t❤❡ s❡ts {ψ(Λ∗) ∩ B(M)} = {x|x ∈ Λ∗, ||ψ(x)|| ≤ M}. ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✜♥❞ s✉❝❤ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ f t❤❛t |ψ(Λ∗) ∩ B(M)| ≈ f (M)✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✹✾ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ ✉♥✐ts ✐♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛s

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ▲❡t ✉s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t D ✐s ❛♥ ✐♥❞❡① n Q✲❝❡♥tr❛❧ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ■❢ D ⊗Q R ∼ = Mn(R), ✇❡ s❛② t❤❛t D ✐s ♥♦t r❛♠✐✜❡❞ ❛t t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❧❛❝❡✳ ■❢ ✷|n ❛♥❞ D ⊗Q R ∼ = Mn/✷(❍), ✇❡ s❛② t❤❛t D ✐s r❛♠✐✜❡❞ ❛t t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❧❛❝❡✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✉♥✐ts ❤❡❛✈✐❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✉s❡❞ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤✐s ❞❡♥s✐t② ✐s r♦✉❣❤❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜② t❤❡ r❛♠✐✜❝❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❧❛❝❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✺✵ ✴ ✺✸

❉❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣

▲❡t ✉s s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥❞❡① n Q✲❝❡♥tr❛❧ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛ D = (L/Q, σ, γ) ❛♥❞ ❛♥ ♦r❞❡r Λ ⊂ D✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❱✳✱ ▲✉✱ ▲✉③③✐✱ ✷✵✶✸✮ ■❢ D ✐s r❛♠✐✜❡❞ ❛t t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❧❛❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t |ψ(Λ∗) ∩ B(M)| ≈ cMn✷−✷n, ✇❤❡r❡ c ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭❱✳✱ ▲✉✱ ▲✉③③✐✱ ✷✵✶✸✮ ■❢ D ✐s ✉♥r❛♠✐✜❡❞ ❛t t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ♣❧❛❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t |ψ(Λ∗) ∩ B(M)| ≈ KMn✷−n, ✇❤❡r❡ K ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✺✶ ✴ ✺✸

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣

■♥ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s ✇❡ ❤❛❞ t❤❛t ✐❢ K ⊗Q R ≃ Cr✷ ⊕ Rr✶. ❚❤❡♥ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣ ❞✐❞ ❣r♦✇ ❧✐❦❡ ❧♦❣(M)r✷+r✶−✶. ❚❤❡ s❛♠❡ ✇❛② t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ A ⊗Q R ❞✐❞ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣ ♦❢ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✺✷ ✴ ✺✸

❙tr✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣

■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣ ♦❢ ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐t✬s ❛❧❣❡❜r❛✐❝ str✉❝t✉r❡ ✐s ❛ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ❝♦♠♣❧❡t❡ ♠②st❡r②✳ ❚♦ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ ✐t✬s ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♥♦♥✲❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❣r♦✉♣ ✐♥s✐❞❡ s♦♠❡ ▲✐❡ ❣r♦✉♣✳ ❚❤✐s ✐♥ ✉♥❧✐❦❡ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♥✉♠❜❡r ✜❡❧❞s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✉♥✐t ❣r♦✉♣ ❤❛❞ r❡❛❧❧② s✐♠♣❧❡ str✉❝t✉r❡✳

❘♦♦♣❡ ❱❡❤❦❛❧❛❤t✐ ❆❛❧t♦ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❋✐♥❧❛♥❞ ❆ ❙❤♦rt ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ▲❛tt✐❝❡s ❢r♦♠ ◆♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❋✐❡❧❞s ✽✳✺✳✷✵✶✾▲❛tt✐❝❡ ♠❡❡t✐♥❣ ▲♦♥❞♦♥ ✺✸ ✴ ✺✸