Rainbow k -connection in Dense Graphs Shinya Fujita 1 , Henry Liu 2 - - PowerPoint PPT Presentation

Rainbow k-connection in Dense Graphs

Shinya Fujita1, Henry Liu∗2, Colton Magnant3

1Gunma National College of Technology, Japan 2Universidade Nova de Lisboa, Portugal 3Georgia Southern University, GA, USA

EuroComb’11, Budapest, August/September 2011

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Introduction

◮ G is a finite, simple, k-connected graph (k ∈ N).

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Introduction

◮ G is a finite, simple, k-connected graph (k ∈ N). ◮ An edge-coloured path is rainbow if its edges have distinct

colours.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Introduction

◮ G is a finite, simple, k-connected graph (k ∈ N). ◮ An edge-coloured path is rainbow if its edges have distinct

colours.

◮ An edge-colouring (not necessarily proper) for G is rainbow

k-connected if any two vertices of G are connected by k internally vertex-disjoint rainbow paths.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Introduction

◮ G is a finite, simple, k-connected graph (k ∈ N). ◮ An edge-coloured path is rainbow if its edges have distinct

colours.

◮ An edge-colouring (not necessarily proper) for G is rainbow

k-connected if any two vertices of G are connected by k internally vertex-disjoint rainbow paths.

◮ The rainbow k-connection number of G, denoted by rck(G),

is the minimum integer s such that there exists a rainbow k-connected edge-colouring of G, using s colours.

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Introduction

◮ G is a finite, simple, k-connected graph (k ∈ N). ◮ An edge-coloured path is rainbow if its edges have distinct

colours.

◮ An edge-colouring (not necessarily proper) for G is rainbow

k-connected if any two vertices of G are connected by k internally vertex-disjoint rainbow paths.

◮ The rainbow k-connection number of G, denoted by rck(G),

is the minimum integer s such that there exists a rainbow k-connected edge-colouring of G, using s colours.

◮ Write rc(G) = rc1(G).

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Introduction

◮ G is a finite, simple, k-connected graph (k ∈ N). ◮ An edge-coloured path is rainbow if its edges have distinct

colours.

◮ An edge-colouring (not necessarily proper) for G is rainbow

k-connected if any two vertices of G are connected by k internally vertex-disjoint rainbow paths.

◮ The rainbow k-connection number of G, denoted by rck(G),

is the minimum integer s such that there exists a rainbow k-connected edge-colouring of G, using s colours.

◮ Write rc(G) = rc1(G). ◮ Note: rck(G) is well-defined if G is k-connected (by Menger’s

Theorem).

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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⇒ rc(G) = 2.

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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⇒ rc2(G) = 3.

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Example

G = C5 + v, the wheel with five spokes.

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⇒ rc3(G) = 5.

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◮ Introduced by Chartrand, Johns, McKeon, and Zhang in 2008.

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◮ Introduced by Chartrand, Johns, McKeon, and Zhang in 2008. ◮ They studied rc(G) and rck(G) for some basic graphs,

including complete and complete bipartite graphs.

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◮ Introduced by Chartrand, Johns, McKeon, and Zhang in 2008. ◮ They studied rc(G) and rck(G) for some basic graphs,

including complete and complete bipartite graphs.

◮ They introduced a related function: the strong rainbow

connection number src(G).

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◮ Introduced by Chartrand, Johns, McKeon, and Zhang in 2008. ◮ They studied rc(G) and rck(G) for some basic graphs,

including complete and complete bipartite graphs.

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connection number src(G).

◮ They presented an interesting application to secure data

transfer.

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◮ Introduced by Chartrand, Johns, McKeon, and Zhang in 2008. ◮ They studied rc(G) and rck(G) for some basic graphs,

including complete and complete bipartite graphs.

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◮ Since then, the function rck(G) has been studied by many

• people. Many results about rck(G) have been proved when G

satisfies some condition, such as in relation to minimum degree, diameter, connectivity, ... of G. Further related functions to rck(G) have been introduced.

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◮ Introduced by Chartrand, Johns, McKeon, and Zhang in 2008. ◮ They studied rc(G) and rck(G) for some basic graphs,

including complete and complete bipartite graphs.

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◮ Since then, the function rck(G) has been studied by many

• people. Many results about rck(G) have been proved when G

satisfies some condition, such as in relation to minimum degree, diameter, connectivity, ... of G. Further related functions to rck(G) have been introduced.

◮ Survey paper recently written by Li and Sun (2011).

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Graphs with Fixed Connectivity

Question 1 (Broersma, 2009)

If G is an ℓ-connected graph, then what is rc(G)?

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Graphs with Fixed Connectivity

Question 1 (Broersma, 2009)

If G is an ℓ-connected graph, then what is rc(G)?

Theorem 2

If G is an ℓ-connected graph on n vertices, then

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

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Graphs with Fixed Connectivity

Question 1 (Broersma, 2009)

If G is an ℓ-connected graph, then what is rc(G)?

Theorem 2

If G is an ℓ-connected graph on n vertices, then

◮ ℓ = 2: rc(G) ≤ 2n 3 and rc(G) ≤ n 2 + O(√n) (Caro, Lev,

Roditty, Tuza, and Yuster, 2008).

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Graphs with Fixed Connectivity

Question 1 (Broersma, 2009)

If G is an ℓ-connected graph, then what is rc(G)?

Theorem 2

If G is an ℓ-connected graph on n vertices, then

◮ ℓ = 2: rc(G) ≤ 2n 3 and rc(G) ≤ n 2 + O(√n) (Caro, Lev,

Roditty, Tuza, and Yuster, 2008).

◮ ℓ = 3: rc(G) ≤ 3(n+1) 5

(Li and Shi, 2010).

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Graphs with Fixed Connectivity

Question 1 (Broersma, 2009)

If G is an ℓ-connected graph, then what is rc(G)?

Theorem 2

If G is an ℓ-connected graph on n vertices, then

◮ ℓ = 2: rc(G) ≤ 2n 3 and rc(G) ≤ n 2 + O(√n) (Caro, Lev,

Roditty, Tuza, and Yuster, 2008).

◮ ℓ = 3: rc(G) ≤ 3(n+1) 5

(Li and Shi, 2010).

◮ General ℓ: rc(G) ≤ 3n δ(G)+1 + 3. ⇒ rc(G) ≤ 3n ℓ+1 + 3

(Chandran, Das, Rajendraprasad, and Varma, 2010).

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Question 3 (Li and Sun, 2010)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph, then what is rc2(G)?

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Question 3 (Li and Sun, 2010)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph, then what is rc2(G)?

Theorem 4 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph with on n vertices, then rc2(G) ≤ (ℓ+1)n

ℓ

.

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Question 3 (Li and Sun, 2010)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph, then what is rc2(G)?

Theorem 4 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph with on n vertices, then rc2(G) ≤ (ℓ+1)n

ℓ

.

Proof (sketch).

First, construct a spanning subgraph H ⊂ G as follows.

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Question 3 (Li and Sun, 2010)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph, then what is rc2(G)?

Theorem 4 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph with on n vertices, then rc2(G) ≤ (ℓ+1)n

ℓ

.

Proof (sketch).

First, construct a spanning subgraph H ⊂ G as follows.

◮ Take a cycle H0 ⊂ G with |V (H0)| ≥ ℓ.

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Question 3 (Li and Sun, 2010)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph, then what is rc2(G)?

Theorem 4 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If ℓ ≥ 2 and G is an ℓ-connected graph with on n vertices, then rc2(G) ≤ (ℓ+1)n

ℓ

.

Proof (sketch).

First, construct a spanning subgraph H ⊂ G as follows.

◮ Take a cycle H0 ⊂ G with |V (H0)| ≥ ℓ. ◮ Repeatedly attach subdivided K1,ℓ’s (by Menger’s Theorem),

until all vertices of G are exhausted. Let the graphs obtained be H0 ⊂ H1 ⊂ H2 ⊂ · · · ⊂ Ht = H, with V (H) = V (G).

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Example

ℓ = 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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H0

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Example

ℓ = 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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H0

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Example

ℓ = 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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H1

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Example

ℓ = 5

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Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

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Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

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Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Example

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H3, etc...

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

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◮ It suffices to find a rainbow 2-connected colouring for Hi using

at most (ℓ+1)|V (Hi)|

ℓ

colours, for every 0 ≤ i ≤ t.

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

◮ It suffices to find a rainbow 2-connected colouring for Hi using

at most (ℓ+1)|V (Hi)|

ℓ

colours, for every 0 ≤ i ≤ t.

◮ In fact, we prove that the colouring for Hi satisfies the

following.

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◮ It suffices to find a rainbow 2-connected colouring for Hi using

at most (ℓ+1)|V (Hi)|

ℓ

colours, for every 0 ≤ i ≤ t.

◮ In fact, we prove that the colouring for Hi satisfies the

following.

(a) For all u, v ∈ V (Hi), there are two internally vertex-disjoint rainbow u − v paths.

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◮ It suffices to find a rainbow 2-connected colouring for Hi using

at most (ℓ+1)|V (Hi)|

ℓ

colours, for every 0 ≤ i ≤ t.

◮ In fact, we prove that the colouring for Hi satisfies the

following.

(a) For all u, v ∈ V (Hi), there are two internally vertex-disjoint rainbow u − v paths. (b) For all u ∈ V (Hi) and X ⊂ V (Hi) with |X| = 2, there are two disjoint rainbow u − X paths (except at u).

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◮ It suffices to find a rainbow 2-connected colouring for Hi using

at most (ℓ+1)|V (Hi)|

ℓ

colours, for every 0 ≤ i ≤ t.

◮ In fact, we prove that the colouring for Hi satisfies the

following.

(a) For all u, v ∈ V (Hi), there are two internally vertex-disjoint rainbow u − v paths. (b) For all u ∈ V (Hi) and X ⊂ V (Hi) with |X| = 2, there are two disjoint rainbow u − X paths (except at u). (c) For all X, Y ⊂ V (Hi) with |X| = |Y | = 2, there are two disjoint rainbow X − Y paths.

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◮ It suffices to find a rainbow 2-connected colouring for Hi using

at most (ℓ+1)|V (Hi)|

ℓ

colours, for every 0 ≤ i ≤ t.

◮ In fact, we prove that the colouring for Hi satisfies the

following.

(a) For all u, v ∈ V (Hi), there are two internally vertex-disjoint rainbow u − v paths. (b) For all u ∈ V (Hi) and X ⊂ V (Hi) with |X| = 2, there are two disjoint rainbow u − X paths (except at u). (c) For all X, Y ⊂ V (Hi) with |X| = |Y | = 2, there are two disjoint rainbow X − Y paths.

◮ Use induction on i. For i = 0, take a rainbow colouring of H0.

Then, |V (H0)| < (ℓ+1)|V (H0)|

ℓ

colours are used, and (a) to (c) are satisfied.

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◮ For 1 ≤ i ≤ t, assume that the whole claim holds for Hi−1.

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◮ For 1 ≤ i ≤ t, assume that the whole claim holds for Hi−1.

One possible case is shown.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Hi−1 Hi

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◮ For 1 ≤ i ≤ t, assume that the whole claim holds for Hi−1.

One possible case is shown. For this case, colour Hi as follows.

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Hi−1 Hi

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

◮ For 1 ≤ i ≤ t, assume that the whole claim holds for Hi−1.

One possible case is shown. For this case, colour Hi as follows.

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Hi−1 Hi Colour the other new edges with new, distinct colours.

Shinya Fujita, Henry Liu∗, Colton Magnant Rainbow k-connection in Dense Graphs

Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

◮ For 1 ≤ i ≤ t, assume that the whole claim holds for Hi−1.

One possible case is shown. For this case, colour Hi as follows.

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Hi−1 Hi Colour the other new edges with new, distinct colours.

◮ Using a case by case analysis, it is easy to check that at most (ℓ+1)|V (Hi)| ℓ

colours are used, and (a) to (c) hold for Hi.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Theorem 5 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If G is a 2-connected, series-parallel graph on n vertices, then rc2(G) ≤ n.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Theorem 5 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If G is a 2-connected, series-parallel graph on n vertices, then rc2(G) ≤ n. Roughly speaking, a 2-connected, series-parallel graph is a graph which can be obtained from a cycle, followed by repeatedly attaching ‘ears’ in a specific way. These graphs are a rather large subfamily of the 2-connected graphs.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Theorem 5 (Fujita, L., Magnant, 2011)

If G is a 2-connected, series-parallel graph on n vertices, then rc2(G) ≤ n. Roughly speaking, a 2-connected, series-parallel graph is a graph which can be obtained from a cycle, followed by repeatedly attaching ‘ears’ in a specific way. These graphs are a rather large subfamily of the 2-connected graphs. The proof of Theorem 5 is similar to that of Theorem 4. But to consider the colouring for G, we need to embed G into the plane and turn it into a directed graph.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Complete Bipartite and Multipartite Graphs

Theorem 6 (Chartrand et al, 2008)

If t ≥ 2, 1 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nt, t−1

i=1 ni = m and nt = n, then

rc(Kn1,...,nt) =                  n if t = 2 and n1 = 1, min(⌈ m √n ⌉, 4) if t = 2 and 2 ≤ n1 ≤ n2, 1 if t ≥ 3 and nt = 1, 2 if t ≥ 3, nt ≥ 2 and m > n, min(⌈ m √n ⌉, 3) if t ≥ 3 and m ≤ n.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Theorem 7 (Li and Sun, 2011)

If k ≥ 2 and n ≥ 2k⌈ k

2⌉, then rck(Kn,n) = 3.

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Theorem 7 (Li and Sun, 2011)

If k ≥ 2 and n ≥ 2k⌈ k

2⌉, then rck(Kn,n) = 3.

The proof of Theorem 7 considers an explicit 3-colouring of Kn,n.

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Theorem 7 (Li and Sun, 2011)

If k ≥ 2 and n ≥ 2k⌈ k

2⌉, then rck(Kn,n) = 3.

The proof of Theorem 7 considers an explicit 3-colouring of Kn,n.

Theorem 8 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let ε > 0. There exists a function f (ε) such that if k ≥ f (ε) and n ≥ (2 + ε)k, then rck(Kn,n) = 3.

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Theorem 7 (Li and Sun, 2011)

If k ≥ 2 and n ≥ 2k⌈ k

2⌉, then rck(Kn,n) = 3.

The proof of Theorem 7 considers an explicit 3-colouring of Kn,n.

Theorem 8 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let ε > 0. There exists a function f (ε) such that if k ≥ f (ε) and n ≥ (2 + ε)k, then rck(Kn,n) = 3.

Proof (sketch).

◮ Colour a perfect matching of Kn,n with colour 1. Randomly

colour the other edges with colours 2 and 3.

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Theorem 7 (Li and Sun, 2011)

If k ≥ 2 and n ≥ 2k⌈ k

2⌉, then rck(Kn,n) = 3.

The proof of Theorem 7 considers an explicit 3-colouring of Kn,n.

Theorem 8 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let ε > 0. There exists a function f (ε) such that if k ≥ f (ε) and n ≥ (2 + ε)k, then rck(Kn,n) = 3.

Proof (sketch).

◮ Colour a perfect matching of Kn,n with colour 1. Randomly

colour the other edges with colours 2 and 3.

◮ Let Euv be the event that there are no k internally

vertex-disjoint rainbow u − v paths. Using the Chernoff and union bounds, P( Euv) < 1 for sufficiently large n.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Let Kt×n be the complete t-partite graph, with each class having n vertices.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Let Kt×n be the complete t-partite graph, with each class having n vertices.

Theorem 9 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let t ≥ 3 and ε > 0. There exists a function g(ε) such that if k ≥ g(ε) and n ≥ ( 2

t−2 + ε)k, then rck(Kt×n) = 2.

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Let Kt×n be the complete t-partite graph, with each class having n vertices.

Theorem 9 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let t ≥ 3 and ε > 0. There exists a function g(ε) such that if k ≥ g(ε) and n ≥ ( 2

t−2 + ε)k, then rck(Kt×n) = 2.

The proof of Theorem 9 is similar to that of Theorem 8. Here we just consider a random 2-colouring of Kt×n.

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Random Graphs

Definition

Let Q be a graph property of Gn,p, where p = p(n). A function f (n) is a sharp threshold function for Q if there are constants c, C > 0 such that, Gn,cf (n) does not satisfy Q a.s., and Gn,p satisfies Q a.s. for all p ≥ Cf (n).

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Random Graphs

Definition

Let Q be a graph property of Gn,p, where p = p(n). A function f (n) is a sharp threshold function for Q if there are constants c, C > 0 such that, Gn,cf (n) does not satisfy Q a.s., and Gn,p satisfies Q a.s. for all p ≥ Cf (n). A result of Bollob´ as and Thomason (1986) implies that the property rck(Gn,p) ≤ d (for some d ≥ 2) has a threshold function.

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Theorem 10 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, p =

• log n/n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,p) ≤ 2.

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Theorem 10 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, p =

• log n/n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,p) ≤ 2. The case k = 1 was proved by Caro et al (2008). A generalisation

• f this to the property rck(Gn,p) ≤ d (for some d ≥ 2), with

k ≤ O(log n), was proved by He and Liang (2010).

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Introduction Graphs with Fixed Connectivity Complete Bipartite and Multipartite Graphs Random Graphs Open Problems

Proof of Theorem 10 (sketch).

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Proof of Theorem 10 (sketch).

◮ Firstly, we prove that for some C > 0 and p ≥ C

• log n/n,

any two vertices of Gn,p have at least 4 log2 n common neighbours, a.s. This then allows us to use a standard probabilistic argument, involving a random 2-colouring, and the union bound, to show that rck(Gn,p) = 2.

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Proof of Theorem 10 (sketch).

◮ Firstly, we prove that for some C > 0 and p ≥ C

• log n/n,

any two vertices of Gn,p have at least 4 log2 n common neighbours, a.s. This then allows us to use a standard probabilistic argument, involving a random 2-colouring, and the union bound, to show that rck(Gn,p) = 2.

◮ Secondly, we prove that for some c > 0 and p = c

• log n/n,

Gn,p has diameter at least 3, a.s. To do this, we prove that there is a set A ⊂ V (Gn,p) such that a.s., A is an independent set, and a.s., there are two vertices of A with no common neighbour outside A.

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Theorem 11 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, p =

• log n/n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,n,p) ≤ 3. (Gn,n,p is the random bipartite graph with two classes of size n, and edge probability p).

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Theorem 11 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, p =

• log n/n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,n,p) ≤ 3. (Gn,n,p is the random bipartite graph with two classes of size n, and edge probability p).

Theorem 12 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, M =

• n3 log n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,M) ≤ 2.

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Theorem 11 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, p =

• log n/n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,n,p) ≤ 3. (Gn,n,p is the random bipartite graph with two classes of size n, and edge probability p).

Theorem 12 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For all k ≥ 1, M =

• n3 log n is a sharp threshold function for the

property rck(Gn,M) ≤ 2. The proofs of Theorems 11 and 12 are similar to that of Theorem 10.

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Open Problems

For graphs with fixed connectivity, we can ask the following question.

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Open Problems

For graphs with fixed connectivity, we can ask the following question.

Problem 13 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let 1 ≤ k ≤ ℓ. Find the least constant c = c(k, ℓ), where 0 < c ≤ k, such that for all ℓ-connected graphs G on n vertices, we have rck(G) ≤ cn.

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Open Problems

For graphs with fixed connectivity, we can ask the following question.

Problem 13 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Let 1 ≤ k ≤ ℓ. Find the least constant c = c(k, ℓ), where 0 < c ≤ k, such that for all ℓ-connected graphs G on n vertices, we have rck(G) ≤ cn. The bound c ≤ k follows from a result of Mader (1972).

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For complete bipartite and multipartite graphs, we can ask the following question.

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For complete bipartite and multipartite graphs, we can ask the following question.

Problem 14 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For k, t ≥ 2 and n1 ≤ · · · ≤ nt, is there a function h(k, t) such that, if n1 ≥ h(k, t), then rck(Kn1,...,nt) =

• 3

if t = 2, 2 if t ≥ 3?

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For complete bipartite and multipartite graphs, we can ask the following question.

Problem 14 (Fujita, L., Magnant, 2011)

For k, t ≥ 2 and n1 ≤ · · · ≤ nt, is there a function h(k, t) such that, if n1 ≥ h(k, t), then rck(Kn1,...,nt) =

• 3

if t = 2, 2 if t ≥ 3? The case t = 2 (bipartite case) was asked by Chartrand et al (2009).

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Concerning random graphs, we can ask the following question.

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Concerning random graphs, we can ask the following question.

Problem 15 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Find a threshold function for another random graph model.

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Concerning random graphs, we can ask the following question.

Problem 15 (Fujita, L., Magnant, 2011)

Find a threshold function for another random graph model. In particular, an answer for random regular graphs will be interesting.

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References

• 1. Y. Caro, A. Lev, Y. Roditty, Zs. Tuza, and R. Yuster, On rainbow

connection, Electron. J. Combin. 15(1) (2008), #R57, 13pp.

• 2. G. Chartrand, G. L. Johns, K. A. McKeon, and P. Zhang, Rainbow

connection in graphs, Math. Bohem. 133(1) (2008), 85-98.

• 3. G. Chartrand, G. L. Johns, K. A. McKeon, and P. Zhang, The

rainbow connectivity of a graph, Networks 54(2) (2009), 75-81.

• 4. J. He, and H. Liang, On rainbow-k-connectivity of random graphs,

arXiv:1012.1942v1 (2010).

• 5. M. Krivelevich, and R. Yuster, The rainbow connection of a graph is

(at most) reciprocal to its minimum degree, J. Graph Th. 63(3) (2009), 185-191.

• 6. X. Li, and Y. Sun, Rainbow connections of graphs - a survey,

arXiv:1101.5747v2 (2011).

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Thank you!

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