rt - - PowerPoint PPT Presentation

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❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧

❯♥✐✈✳ ❇♦r❞❡❛✉①✱ ■▼❇ ❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❋❛❜✐❡♥ P✐❡rr❡✱ ❆✉r❡❧✐❡ ❇✉❣❡❛✉✱ ❛♥❞ ❱✐♥❤✲❚❤♦♥❣ ❚❛

❚❤✉rs❞❛② ✼t❤ ❏✉❧② ✷✵✶✻

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

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Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

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❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

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Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

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❊①t❡♥s✐♦♥ t♦ ✈✐❞❡♦

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▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ s♣❛❝❡

▲✉♠✐♥❛♥❝❡ ✿ ❨ = ✵.✷✾✾❘ + ✵.✺✽✼● + ✵.✶✶✹❇ (❯, ❱ ) ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ s✉❝❤ t❤❛t✿ [✵, ✷✺✺]✸ → [❛✶, ❛✷] × [❜✶, ❜✷] × [❝✶, ❝✷] (❘, ❇, ●) → (❨ , ❯, ❱ ) ✐s ❛ ❜✐❥❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❤✉♠❛♥ ❡②❡ ✐s s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ ❨❀ ■❢ ❨ ✐s ❛ ❣r❛②✲s❝❛❧❡ ✐♠❛❣❡ t♦ ❝♦❧♦r✐③❡✱ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❯ ❛♥❞ ❱ ❣✐✈❡s t❤❡ ❝♦❧♦r ✐♠❛❣❡✳

❈♦❧♦r ✐♠❛❣❡✳

• r❛②✲s❝❛❧❡ ✈❡rs✐♦♥ ✭❨✮✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

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▼❛♥✉❛❧ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥✳

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt✿ ▲❡✈✐♥ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✹✱ ❙❛♣✐r♦ ✷✵✵✺✱ ❍♦r✐✉❝❤✐ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✹ ❀ ◆❡❡❞ s♦♠❡ t❡❞✐♦✉s ✇♦r❦ ❢♦r t❤❡ ✉s❡r❀ ❘❡❣✉❧❛r r❡s✉❧ts❀ ▼♦st ♦❢ ♠❡t❤♦❞s ✇♦r❦ ✐♥ ❧✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ s♣❛❝❡s✳

❋✐❣✉r❡ ✿ ▼❛♥✉❛❧ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ▲❡✈✐♥ ❡t ❛❧✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

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❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❡①❡♠♣❧❛r✲❜❛s❡❞ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥✳

❙♦✉r❝❡✳ ❚❛r❣❡t✳ ❘❡s✉❧t✳

❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❡①t✉r❡s ❛♥❞ ❝♦❧♦rs❀ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧t ❢♦r ❛ r❡❛❧✐st✐❝ ✐♠❛❣❡❀ ❆ ♥❡✇ ❞✐✣❝✉❧t②✿ ✜♥❞ ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ s♦✉r❝❡ ✐♠❛❣❡✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

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❆❞❞ ♦❢ ❛ ♣r✐♦r ✇✐t❤ t❡①t✉r❡s✳

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt✿ ❲❡❧s❤ ❡t ❛❧✳ ✷✵✵✷❀ ◆♦ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥❀ Pr♦❜❧❡♠ ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♠❡tr✐❝ ❜❡t✇❡❡♥ ♣❛t❝❤❡s❀ ▼❡t❤♦❞ ♦❢ ❲❡❧s❤ ❡t ❛❧✳ ✇♦r❦s ✐♥ t❤❡ ❧αβ ❝♦❧♦r✲s♣❛❝❡✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✽✴✺✺

❙♣❡❡❞ ✉♣ t❤❡ s❡❛r❝❤✳

❙✉❜✲s❛♠♣❧✐♥❣ ♦❢ ✷✵✵ ♣✐①❡❧s ♦❢ t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦♥ ❛ ❣r✐❞✳ ❯s❡ ♦❢ ❛ ❢❛st ❛❧❣♦r✐t❤♠ s✉❝❤ ❛s ♣❛t❝❤♠❛t❝❤ ✭❇❛r♥❡s ❡t ❛❧ ✷✵✵✾✮ t♦ ✜♥❞ ❛ ❝❧♦s❡ ♣❛t❝❤✳

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❆❞❞ ♦❢ ❛ ♣r✐♦r ✇✐t❤ t❡①t✉r❡s✳

❙t❛t❡✲♦❢✲t❤❡✲❛rt✿ ❈❤❛r♣✐❛t ❡t ❛❧✳ ✭▲❛❜✮ ✷✵✵✽✱ ❇✉❣❡❛✉ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✸ ✭❨❯❱ ✮✱ ●✉♣t❛ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✸ ✭❨❯❱ ✮✳ ❚✇♦ st❡♣s✿

❙❡❛r❝❤ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✿ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❡①tr❛❝t✐♦♥ ❢r♦♠ t❡①t✉r❡s ❝r✐t❡r✐❛❀ ❙♣❛t✐❛❧ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦rs✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✵✴✺✺

▼❡tr✐❝s✳

❯s❡❞ ❝r✐t❡r✐❛✿ st❛♥❞❛r❞✲❞❡✈✐❛t✐♦♥✿ ρ✶(♣, q, P) := |σ✷(P♣) − σ✷(Pq)| ✱ ✇❤❡r❡ σ(P♣) st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ st❛♥❞❛r❞✲❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛t❝❤ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♣✐①❡❧ ♣❀ t❤❡ ❉❋❚✿ ρ✷(♣, q, P) :=

ξ

• || ˆ

P♣(ξ)||✷ − || ˆ Pq(ξ)||✷

• ✱ ✇❤❡r❡

ˆ P♣ ✐s t❤❡ ❉❋❚ ♦❢ t❤❡ ♣❛t❝❤ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♣✐①❡❧ ♣❀ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❤✐st♦❣r❛♠✿ ρ✸(♣, q, P) :=

✐ |❍P♣(✐) − ❍Pq(✐)| ✱

✇❤❡r❡ ❍ ✐s t❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❤✐st♦❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ ♣❛t❝❤ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♣✐①❡❧ ♣✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✶✴✺✺

❖✈❡r✈✐❡✇

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❈♦❧♦r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✷

▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡❧

✸

Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

✹

❯♥✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺

❊①t❡♥s✐♦♥ t♦ ✈✐❞❡♦

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✷✴✺✺

▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡❧ ✭P✐❡rr❡ ❡t ❛❧ ✷✵✶✹✮

❋(✉, ❲ ) := ❚❱C(✉) + λ ✷

• Ω

◆

✐=✶ ✇✐||✉ − ❝✐||✷

+χ✉∈❘ + χ❲ ∈∆✳ ✉✿ ❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ✈❡❝t♦r✱ t♦ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞✳ ❘ ✐s ❛ r❡❝t❛♥❣❧❡ ✭✇❤❡r❡ t❤❡ ❝❤r♦♠❛t✐❝✐t② ❧✐✈❡s✮✳ ∆ =

• ✇ ∈ R◆ s✳t✳ ✵ ≤ ✇✐ ≤ ✶ ✱ ∀✐ ∈ [✶..◆] ❛♥❞ ◆

✐=✶ ✇✐ = ✶

• ✳

❝✐ ❛r❡ ❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s✳ ❚❱C(✉) =

• Ω
• γ∂①❨ ✷ + γ∂②❨ ✷ + ∂①❯✷ + ∂②❯✷ + ∂①❱ ✷ + ∂②❱ ✷

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✸✴✺✺

■♥t✉✐t✐♦♥s ❛❜♦✉t ❝♦✉♣❧✐♥❣✳

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠♦❞❡❧✿ ❋(✉, ❲ ) := ❚❱C(✉) + λ ✷

• Ω

▼(✉ − ❝)✷ ❲✐t❤ ▼ ❛ ♠❛s❦ ❛♥❞ ❝ s❡❡❞s ♦❢ ❝♦❧♦r ♣✉t ❜② t❤❡ ✉s❡r✳

❙❝r✐❜❜❧❡s ❲✐t❤♦✉t ❝♦✉♣❧✐♥❣ ❲✐t❤ ❝♦✉♣❧✐♥❣

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✹✴✺✺

■♥t✉✐t✐♦♥s ❛❜♦✉t ❝♦✉♣❧✐♥❣✳

❉✐✛❡r❡♥t r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦✉♣❧✐♥❣✿

❚❛r❣❡t ❙❝r✐❜❜❧❡s γ = ✵ γ = ✶ γ = ✶✵

❙♠❛❧❧ γ✿ ❝♦♥t♦✉rs ♦❢ ❧♦✇ ♣❡r✐♠❡t❡r ❢♦r ❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧s✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✺✴✺✺

❈♦♠♣❛r✐s♦♥

❚❛r❣❡t ✐♠❛❣❡ s♦✉r❝❡ ■♠❛❣❡

❇✉❣❡❛✉ ❡t ❛❧ ✇✐t❤♦✉t ♣♦st✲♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❖✉r ♠♦❞❡❧

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✻✴✺✺

❈♦♠♣❛r✐s♦♥s

❙♦✉r❝❡ ❚❛r❣❡t ❖✉r r❡s✉❧t

• ✉♣t❛ ❡t ❛❧

❲❡❧s❤ ❡t ❛❧

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✼✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✽✴✺✺

❖✈❡r✈✐❡✇

✶

❈♦❧♦r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✷

▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡❧

✸

Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

✹

❯♥✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺

❊①t❡♥s✐♦♥ t♦ ✈✐❞❡♦

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✶✾✴✺✺

❚❡❝❤♥✐❝❛❧ r❡❝❛❧❧s✳

Pr✐♠❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✿ ♠✐♥

①∈❳ [❋(❑①) + ●(①)] ✱

✇❤❡r❡ ● : ❳ → [✵, +∞] ❀ ❋ ∗ : ❨ → [✵, +∞] ❛r❡ ❝♦♥✈❡①✱ ♣r♦♣❡r✱ ❧♦✇❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s❀ ❑ ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r✳ ❆ss♦❝✐❛t❡❞ s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠✿ ♠✐♥

①∈❳ ♠❛① ②∈❨ [❑①|② + ●(①) − ❋ ∗(②)] ✳

✇✐t❤ ❋ ∗ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ ❋✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✵✴✺✺

▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t♦ ❛ s❛❞❞❧❡✲♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✳ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✶ Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦❢ ❈❤❛♠❜♦❧❧❡ ❛♥❞ P♦❝❦ ✷✵✶✶✳

✶✿ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ τ✱ σ > ✵✱ θ ∈ [✵, ✶] ✱ (①✵, ②✵) ∈ ❳ × ❨ ❡t ①✵ = ①✵✳ ✷✿ ❢♦r ♥ ≥ ✵ ❞♦ ✸✿

②♥+✶ = ♣r♦①σ❋ ∗ (②♥ + σ❑①♥)

✹✿

①♥+✶ = ♣r♦①τ●

• ①♥ − τ❑ ∗②♥+✶

✺✿

①♥ = ✷①♥+✶ − ①♥✳

✻✿ ❡♥❞ ❢♦r

✇❤❡r❡ ♣r♦①❢ (˜ ✉) = ❛r❣♠✐♥✉ ˜ ✉ − ✉✷

✷

✷ + ❢ (✉)✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✶✴✺✺

◆❡✇ ♠♦❞❡❧✳

◆♦♥✲❝♦♥✈❡① ♠♦❞❡❧✿ ♠✐♥

①∈❳, ✇∈❲ ❋(❑①) + ●(①) + ❤(①, ✇) + ❍(✇) ✱

❛♥❞ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠✿ ♠✐♥

①∈❳ ♠✐♥ ✇∈❲ ♠❛① ②∈❨ ❑①|② − ❋ ∗(②) + ●(①) + ❤(①, ✇) + ❍(✇) ✱

✇❤❡r❡ ● : ❳ → [✵, +∞)✱ ❋ ∗ : ❨ → [✵, +∞) ✱ ❍ : ❲ → [✵, +∞) ❛♥❞ ❤ : (❳ × ❲ ) → [✵, +∞) ❛r❡ ♣r♦♣❡r✱ ❧♦✇❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ❋ ∗✱ ● ✱ ❍ ❛r❡ ❝♦♥✈❡①✱ ❤ ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❡❛❝❤ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r ∀✇ ∈ R♥✱ ● + ❤(., ✇) ❛♥❞ ∀① ∈ R♥✱ ❍ + ❤(①, .) ❛r❡ ♣r♦♣❡r✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✷✴✺✺

▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✷ ❈♦♠♣✉t✐♥❣ ❛ s♦❧✉t✐♦♥✳

✶✿ ❢♦r ♥ ≥ ✵ ❞♦ ✷✿

②♥+✶ ← ♣r♦①σ❋ ∗ (②♥ + σ❑①♥)

✸✿

✇♥+✶ ← ♣r♦①ρ❍+ρ❤(①♥,.) (✇♥)

✹✿

①♥+✶ ← ♣r♦①τ●+τ❤(.,✇♥+✶)

• ①♥ − τ❑ ∗②♥+✶

✺✿

①♥+✶ ← ✷①♥+✶ − ①♥

✻✿ ❡♥❞ ❢♦r

❚❤❡♦r❡♠ ✭P✐❡rr❡ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✹✮ ❆ss✉♠❡ τσ❑✷ < ✶ ❛♥❞ ρ > ✵✳ ❚❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ (①♥, ②♥, ✇♥) ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❜♦✉♥❞❡❞✳ ①♥+✶ − ①♥ → ✵✱ ②♥+✶ − ②♥ → ✵✱ ❛♥❞ ✇ ♥+✶ − ✇♥ → ✵✳ ■❢ t❤❡ ❝❧✉st❡r ♣♦✐♥ts ♦❢ (①♥, ②♥, ✇♥) ❛r❡ ✐s♦❧❛t❡❞✱ t❤❡♥ (①♥, ②♥, ✇♥) ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ❛ ✜①❡❞ ♣♦✐♥t✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✸✴✺✺

▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✸ ❆♣♣❧✐❡❞ t♦ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥✳

✶✿ ❲ ← ✶/◆ ✷✿ ✉✵ ←

✐ ✇✐❝✐

✸✿ ❩ ✵ ← ∇✉✵ ✹✿ ❢♦r ♥ ≥ ✶ ❞♦ ✺✿

❩ ♥+✶ ← P❇ (❩ ♥ + σ∇✉♥)

✻✿

❲ ♥+✶ ← P∆

• ❲ ♥ − ρ
• ✉♥ − ❝✐✷

✐

• ✼✿

✉♥+✶ ← PR

• ✉♥ + τ
• ❞✐✈(❩ ♥+✶) + λ

✐ ✇♥+✶ ✐

❝✐

• ✶ − δλ
• ✽✿

✉♥+✶ ← ✷✉♥+✶ − ✉♥

✾✿ ❡♥❞ ❢♦r

P∆ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ t❤❡ s✐♠♣❧❡①❀ PR ✐s ❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ ❛ r❡❝t❛♥❣❧❡✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✹✴✺✺

❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡

❋(✉, ❲ ) := ❚❱C(✉) + λ ✷

• Ω

◆

✐=✶ ✇✐||✉ − ❝✐||✷

+χ✉∈❘ + χ❲ ∈∆ + α✇✷

✷✳

❚❤❡♦r❡♠ ✭P✐❡rr❡ ❡t ❛❧✳ ✷✵✶✹✮ ❆ss✉♠❡ τσ❑✷ < ✶ ❛♥❞ ρ > ✵✳ ❆ss✉♠❡ t❤❡ ❝❛♥❞✐❞❛t❡s ❈ ❛r❡ ❛❧❧ ❞✐✛❡r❡♥t✳ ❚❤❡♥ ✐❢ α > ✵ ✐s s♠❛❧❧ ❡♥♦✉❣❤✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ (✇♥) ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ✇ ∗✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇∗ ❜❡❧♦♥❣s t♦ t❤❡ ✜♥✐t❡ s❡t✿ W := {(✶, ✵, . . . , ✵), . . . , (✶/✷, ✶/✷, ✵, . . . , ✵), . . . , (✶/◆, . . . , ✶/◆)} ✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✺✴✺✺

❈♦♥✈❡r❣❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✹ ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧

✶✿ ❢♦r ✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ✇♥ t♦ ✇∗ ❞♦ ✷✿

②♥+✶ ← ♣r♦①σ❋ ∗ (②♥ + σ❑①♥)

✸✿

✇♥+✶ ← ♣r♦①ρ❍+ρ❤(①♥,.) (✇♥)

✹✿

①♥+✶ ← ♣r♦①τ●+τ❤(.,✇♥+✶)

• ①♥ − τ❑ ∗②♥+✶

✺✿

①♥+✶ ← ✷①♥+✶ − ①♥

✻✿ ❡♥❞ ❢♦r ✼✿ ❢♦r ✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ (①♥, ②♥) t♦ (①∗, ②∗) ❞♦ ✽✿

②♥+✶ ← ♣r♦①σ❋ ∗ (②♥ + σ❑①♥)

✾✿

①♥+✶ ← ♣r♦①τ●+τ❤(.,✇∗)

• ①♥ − τ❑ ∗②♥+✶

✶✵✿

①♥+✶ ← ✷①♥+✶ − ①♥

✶✶✿ ❡♥❞ ❢♦r

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✻✴✺✺

❚♦✇❛r❞s ❛ ❢❛st ❛❧❣♦r✐t❤♠

♣r♦①ρ❍+ρ❤(①♥,.) (✇♥) = ❛r❣♠✐♥✇ ˜ ✇♥ − ✇|✷

✷ + ρ

• Ω
• ✐ ✇✐① − ❝✐✷

✷ + α✇✷ ✷ + χ∆(✇)

• ❜❡❝♦♠❡s✱ ✐❢ ρ → +∞✿

❛r❣♠✐♥❲

• Ω
• ✐

✇✐① − ❝✐✷

✷ + α✇✷ ✷ + χ∆(✇)✳

= ⇒ ✇∗ ∈ W ✇✐t❤ W := {(✶, ✵, . . . , ✵), . . . , (✶/✷, ✶/✷, ✵, . . . , ✵), . . . , (✶/◆, . . . , ✶/◆)} ✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✼✴✺✺

❋❛st ❛❧❣♦r✐t❤♠

♠✐♥

✇ ♠✐♥ ① ♠❛① ②

❑①|②−❋ ∗(②)+

• Ω
• ✐

✇✐① −❝✐✷

✷+χW(✇)+χ❘(①)✳

❆❧❣♦r✐t❤♠ ✺ ▼✐♥✐♠✐③❛t✐♦♥

✶✿ ❲ = ✶/✽ ❛♥❞ ① =

✐ ✇✐❝✐✳

✷✿ ② ← ∇✉ ✸✿ ❢♦r ♥ ≥ ✵ ❞♦ ✹✿

② ← P❇ (② + σ∇①♥)

✺✿

①♥+✶ ← PR ①♥ + τ (❞✐✈(②) + λ❙) ✶ + τλ

• ✻✿ ❡♥❞ ❢♦r

✇❤❡r❡ ❙ =

✐ ✇∗ ✐ ❝✐ st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ❝❧♦s❡st ❝❛♥❞✐❞❛t❡ t♦ ①♥✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✽✴✺✺

❖✈❡r✈✐❡✇

✶

❈♦❧♦r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✷

▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡❧

✸

Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

✹

❯♥✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺

❊①t❡♥s✐♦♥ t♦ ✈✐❞❡♦

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✷✾✴✺✺

■ss✉❡s ♦❢ t❤❡ ✉♥✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧

◆♦ ❝✉rr❡♥t ♠❡t❤♦❞ ✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ ❛❧❧ s✐t✉❛t✐♦♥s✿ ❚❤❡ s❡❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ✐♠❛❣❡ ❢♦r t❤❡ ❡①❡♠♣❧❛r✲❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❝♦♠♣❧❡①✳ ❚❤❡ ♠❛♥✉❛❧ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥ ✐s ❧♦♥❣ ❛♥❞ t❡❞✐♦✉s✳ ❚❤❡ ❡①❡♠♣❧❛r✲❜❛s❡❞ ♠❡t❤♦❞ ♦❢t❡♥ ♣r♦✈✐❞❡s ❣♦♦❞ r❡s✉❧t✱ ❜✉t s♠❛❧❧ ❞❡❢❡❝ts ❛r❡ ✈❡r② ❝♦♠♠♦♥✳ Pr❡✈✐♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✿ ❋(✉, ❲ ) := ❚❱C(✉) + λ ✷

• Ω

◆

✐=✶ ✇✐||✉ − ❝✐||✷

+χ✉∈❘ + χ❲ ∈∆✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✵✴✺✺

❯s❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❝♦♥✈❡①✐t②✳

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −0.015 −0.01 −0.005 0.005 0.01 0.015

• r❛❞✐❡♥t ❞❡s❝❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠✿ ①♥+✶ ← ①♥ − γ∇❢ (①♥)✳

❚❤❡ r❡s✉❧t ❞❡♣❡♥❞s ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✶✴✺✺

❈❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳

❲ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ❛s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ t❤❡ ❣❡♦❞❡s✐❝ ❞✐st❛♥❝❡ ❢♦r t❤❡ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s❝r✐❜❜❧❡✳

■♥✐t✐❛❧ s❝r✐❜❜❧❡

• ❡♦❞❡s✐❝ ❞✐st❛♥❝❡✳

❉✐✛✉s✐♦♥✳

❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦r ✇✐t❤ ❣❡♦❞❡s✐❝ ❞✐st❛♥❝❡✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✷✴✺✺

❈❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳

❙♦✉r❝❡✳ ❊①❡♠♣❧❛r✲❜❛s❡❞✳ ❲✐t❤ ♦♥❡ s❝r✐❜❜❧❡✳ ✸ s❝r✐❜❜❧❡s✳ ❋✐♥❛❧ r❡s✉❧t✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✸✴✺✺

❈❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥✳

❙♦✉r❝❡✳ ❚❛r❣❡t✳ ❲✐t❤ ❡①❛♠✲ ♣❧❡✳ ❙❝r✐❜❜❧❡s✳ ❙❝r✐❜❜❧❡s✳ ❙❝r✐❜❜❧❡s✳ ❙❝r✐❜❜❧❡s✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✹✴✺✺

❘❡s✉❧ts✳

❚❛r❣❡t ❙♦✉r❝❡ ❙❝r✐❜❜❧❡s ▼❛♥✉❛❧ ❊①❡♠♣❧❛r ❇♦t❤

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✺✴✺✺

❘❡s✉❧ts✳

❚❛r❣❡t ❙♦✉r❝❡ ❙❝r✐❜❜❧❡s ▼❛♥✉❛❧ ❊①❡♠♣❧❛r ❇♦t❤

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✻✴✺✺

❖✈❡r✈✐❡✇

✶

❈♦❧♦r✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠

✷

▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡❧

✸

Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳

✹

❯♥✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺

❊①t❡♥s✐♦♥ t♦ ✈✐❞❡♦

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✼✴✺✺

❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ❆♣♣r♦❛❝❤

Gray frames

at time t -1 and t

Minimization of the functional (1) Colorized frame at time t -1 Gray frame at time t Output Correspondence maps computation

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✽✴✺✺

❈♦❧♦r ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥

c*

(t -1)

c1

(t)

v1

(t)(x)

v2

(t)(x)

x x c2

(t)

❋r♦♠ ❛ ❣✐✈❡♥ r❡s✉❧t ❛t t✐♠❡ t − ✶✱ t✇♦ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❛r❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❛t t✐♠❡ t ❢r♦♠ t❤❡ t✇♦ ♠❛♣s✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✸✾✴✺✺

P❛t❝❤▼❛t❝❤ ❚❱▲✶ ♦♣t✐❝❛❧ ✢♦✇ Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ r❡s✉❧t

❋✉s✐♦♥ ♦❢ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♠❛♣s ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ♦❢ ❚❱▲✶ ♦♣t✐❝❛❧ ✢♦✇ ❛♥❞ P❛t❝❤▼❛t❝❤❀ r❡❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ♠✐st❛❦❡s✳ ❇❛s✐❝ ❞❛t❛✿ ❈❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝✶ ❛♥❞ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ✈✶ ❢r♦♠ P❛t❝❤▼❛t❝❤❀ ❝✷ ❛♥❞ ✈✷ ❢r♦♠ ❚❱✲▲✶ ♦♣t✐❝❛❧ ✢♦✇✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✵✴✺✺

▲✉♠✐♥❛♥❝❡✲❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧

Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✿ (ˆ ✉(t), ˆ ✇(t)) = ❛r❣♠✐♥✉(t),✇(t)λ

• Ω

✷

• ✐=✶

✇(t)

✐

(①)✉(t)(①)−❝(t)

✐

(①)✷

✷ ❞①

+α ❚❱C(✉(t))+β ❚❱(✈(t))+χ✈(t)=✇(t)

✶ ✈(t) ✶ +✇(t) ✷ ✈✷(t)+χR(✉)+χ∆(✇),

✭✶✮ ✇❤❡r❡ ❚❱C(✉) ✐s t❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞ t♦t❛❧ ✈❛r✐❛t✐♦♥✿ ❚❱C(✉) =

• Ω
• γ|∇❨ |✷ + |∇❯|✷ + |∇❱ |✷.

✉(t) ✿ ❝❤r♦♠✐♥❛♥❝❡ ❝❤❛♥♥❡❧s (❯, ❱ ) ❛t t✐♠❡ t❀ ✇(t) ✿ ❛✉①✐❧✐❛r② ✇❡✐❣❤t ✈❛r✐❛❜❧❡❀ ❚❱(✈(t)) ❡♥❢♦r❝❡s t❤❡ r❡❣✉❧❛r✐s❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❛❣❛t✐♦♥ ♠❛♣❀ ∆ ✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② s✐♠♣❧❡①✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✶✴✺✺

❉✉❛❧ ❱❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ Pr♦♣❛❣❛t✐♦♥ ▼♦❞❡❧

❚❤❡ ▼♦❞❡❧ ✐s r❡✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ♣r✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❢♦r♠✿ ♠✐♥

✉(t)∈R✸×◆×▼,✇(t)∈R◆×▼

♠❛①

♣∈R✻×◆×▼,③∈R✹×◆×▼

λ

• ①∈R◆×▼

✇(①)✉(①) − ❝✶(①)✷

✷ + (✶ − ✇(①))✉(①) − ❝✷(①)✷ ✷

+ ♣(①)|∇✉R✻×◆×▼ − χ❇(✵,α)◆×▼(♣) + ❆✇|③R✹×◆×▼ + ∇✈✷|③R✹×◆×▼ − χ❇(✵,β)◆×▼(③) + χR◆×▼(✉) + χ[✵,✶]◆×▼(✇). ✇❤❡r❡ ❆✇ = (✈✶ − ✈✷) ⊗ ∇✇ + ✇(∇✈✶ − ∇✈✷)✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✷✴✺✺

❆ ●❡♥❡r❛❧ ▼♦❞❡❧

▲❡t ✉s ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♠♦❞❡❧ ✿ ♠✐♥

✉∈U,✇∈W

♠❛①

♣∈P,③∈Z

❤(✉, ✇) + ♣|❑✉ − ❋ ∗(♣) + ❆✇|③ − ❏∗(③) + ●(✉) + ❍(✇) ✱ ✇❤❡r❡ ● : U → [✵, +∞)✱ ❋ ∗ : P → [✵, +∞)✱ ❏∗ : Z → [✵, +∞) ✱ ❍ : W → [✵, +∞) ❛♥❞ ❤ : (U × W) → [✵, +∞) ❛r❡ ♣r♦♣❡r ❧♦✇❡r s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❋ ∗✱ ❏∗✱ ● ✱ ❍ ❛r❡ ❝♦♥✈❡①✱ ❤ ✐s ❝♦♥✈❡① ✇✳r✳t✳ ❡❛❝❤ ♦❢ ✐ts ✈❛r✐❛❜❧❡s s❡♣❛r❛t❡❧②✳ ❑ ❛♥❞ ❆ ❛r❡ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✸✴✺✺

❆ ●❡♥❡r❛❧ ❆❧❣♦r✐t❤♠

Pr✐♠❛❧✲❞✉❛❧ ❧✐❦❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠✿

✶✿ ❢♦r ♥ ≥ ✵ ❞♦ ✷✿

♣♥+✶ ← ♣r♦①σ✉❋ ∗ (♣♥ + σ✉❑✉♥)

✸✿

③♥+✶ ← ♣r♦①σ✇❏∗ (③♥ + σ✇❆✇♥)

✹✿

✇♥+✶ ← ♣r♦①τ✇❍+τ✇❤(✉♥+✶,.)

• ✇♥ − τ✇❆∗③♥+✶

✺✿

✉♥+✶ ← ♣r♦①τ✉●+τ✉❤(.,✇♥+✶)

• ✉♥ − τ✉❑ ∗♣♥+✶

✻✿

✉♥+✶ ← ✷✉♥+✶ − ✉♥

✼✿

✇♥+✶ ← ✷✇♥+✶ − ✇♥

✽✿ ❡♥❞ ❢♦r

P❛r❛♠❡t❡rs τ✉✱ τ✇✱ σ✉ ❛♥❞ σ✇ ❛r❡ t❤❡ t✐♠❡ st❡♣s✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✹✴✺✺

Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ❆❧❣♦r✐t❤♠

❚❤❡♦r❡♠ ✭P✐❡rr❡ ❡t ❛❧✳✮ ▲❡t ▲ = ❑✱ ◗ = ❆✱ ❝❤♦♦s❡ τ✉σ✉▲✷ < ✶✱ τ✇σ✇◗✷ < ✶✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t U✱ P✱ W❛♥❞ Z ❛r❡ ♦❢ ✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ (✉♥, ♣♥, ✇♥, ③♥) ✐s ✉♥✐❢♦r♠❧② ❜♦✉♥❞❡❞✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝❧✉st❡r ♣♦✐♥t ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ✜①❡❞✲♣♦✐♥t ♦❢ t❤❡ ❆❧❣♦r✐t❤♠✳ ❯♥❞❡r ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❤②♣♦t❤❡s✐s✱ t❤❡ s❡q✉❡♥❝❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✺✴✺✺

❖✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ❈♦rr❡❝t✐♦♥ ▼♦❞❡❧

Scribble propagation by geodesic distance

• Weights computation
• New candidates

User input

Scribbles on one frame of the block

Minimization of the functional Colored block

Result from the propagation algorithm

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✻✴✺✺

❈♦rr❡❝t✐♦♥ ▼♦❞❡❧

(ˆ ✉(t), ˆ ✇(t)) = ❛r❣♠✐♥✉∈RΩ×[✵,♥]×✷,✇∈RΩ×[✵,♥]×✷α❚❱[✵,♥](✉) + λ

• Ω×[✵,♥]

✷

• ✐=✶

✇(t)

✐

(①)✉(t)(①) − ˜ ❝(t)

✐

(①)✷

✷ ❞① + χB(✉) + χE(✇),

✇❤❡r❡ ❚❱[✵,♥](✉) =

• Ω×[✵,♥]
• Λ∇❯✷

✷ + Λ∇❱ ✷ ✷ + γΛ∇❨ ✷ ✷

✶

✷ ,

✇✐t❤ ∇ = (∂①, ∂②, ∂t)✱ Λ :=   ✶ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ µ   ✱ ❛♥❞ γ ❛ ❝♦✉♣❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡r✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✼✴✺✺

❲♦r❦✢♦✇

time Quality control and correction with scribbles Correction algorithm Frame-to-frame propagation Frame-to-frame propagation

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✽✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❚♦♣✿ ❨❛t③✐✈ ❛♥❞ ❙❛♣✐r♦ ✷✵✵✻❀ ❞♦✇♥✿ ♦✉rs✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✹✾✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❚♦♣✿ ❨❛t③✐✈ ❛♥❞ ❙❛♣✐r♦ ✷✵✵✻❀ ❞♦✇♥✿ ♦✉rs✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺✵✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❚♦♣✿ ❨❛t③✐✈ ❛♥❞ ❙❛♣✐r♦ ✷✵✵✻❀ ❞♦✇♥✿ ♦✉rs✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺✶✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❚♦♣✿ ▲❡✈✐♥ ❡t ❛❧ ✷✵✵✹ ✭♠♦r❡ t❤❡♥ ✺✵ ✇❡❧❧ ❝❤♦s❡♥ s❝r✐❜❜❧❡s✮❀ ❞♦✇♥✿ ♦✉rs ✭✶ s❝r✐❜❜❧❡✮✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺✷✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❚♦♣✿ ▲❡✈✐♥ ❡t ❛❧ ✷✵✵✹ ✭♠♦r❡ t❤❡♥ ✹✵✵ ✇❡❧❧ ❝❤♦s❡♥ s❝r✐❜❜❧❡s✮❀ ❞♦✇♥✿ ♦✉rs ✭✷✵ ❝♦❛rs❡ s❝r✐❜❜❧❡s✮✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺✸✴✺✺

❘❡s✉❧ts

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺✹✴✺✺

❙❡❡ ✈✐❞❡♦s ♦♥ ♣❧❛②❡r✳

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥

✺✺✴✺✺

❚❤❡ ❡♥❞✦ ◗✉❡st✐♦♥s ❄

▼♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❛t✿ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳♠❛t❤✳✉✲❜♦r❞❡❛✉①✳❢r✴∼❥❛✉❥♦❧✴

❏❡❛♥✲❋r❛♥❝♦✐s ❆✉❥♦❧ ■♠❛❣❡ ❝♦❧♦r✐③❛t✐♦♥