rt qts r - - PowerPoint PPT Presentation

▶
r t q t s r tr
SMART_READER_LITE
LIVE PREVIEW

rt qts r - - PowerPoint PPT Presentation

Sep 24, 2022 342 likes •801 views

rt qts r tr Prt t r s rstt

slide-1
SLIDE 1

▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛

❚❡❝❤♥✐s❝❤❡ ❯♥✐✈❡rs✐tät ▼ü♥❝❤❡♥

❈❊◗❯■P ✷✵✶✺

❏♦✐♥t ✇♦r❦ ✇✐t❤ ❆❧❡①❛♥❞❡r ▼ü❧❧❡r✲❍❡r♠❡s ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❡❧ ▼✳ ❲♦❧❢ ❛r❳✐✈✿✶✺✵✺✳✵✹✻✼✽ ❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-2
SLIDE 2

❖✉t❧✐♥❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✷ ❝♦♥st❛♥t✱ ❤②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ❛♥❞ ▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s t❤❛t t❡♥s♦r✐③❡ ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-3
SLIDE 3

❖✉t❧✐♥❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✷ ❝♦♥st❛♥t✱ ❤②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ❛♥❞ ▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s t❤❛t t❡♥s♦r✐③❡ ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-4
SLIDE 4

❖✉t❧✐♥❡

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣②✳ ❚❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✷ ❝♦♥st❛♥t✱ ❤②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ❛♥❞ ▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s t❤❛t t❡♥s♦r✐③❡ ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-5
SLIDE 5

▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❈♦♥st❛♥t

  • ✐✈❡♥ ❛ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ L : M❞ → M❞ ✇✐t❤ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡ σ ∈ D+

❞

✇❡ ✇❛♥t t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣②✿ ❉ ❡t ❡

✷

✶t❉

✇✐t❤ ❉ tr ❧♦❣ ❧♦❣ ✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-6
SLIDE 6

▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❈♦♥st❛♥t

  • ✐✈❡♥ ❛ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ L : M❞ → M❞ ✇✐t❤ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡ σ ∈ D+

❞

✇❡ ✇❛♥t t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣②✿ ❉

  • ❡tLρ||σ
  • ≤ ❡−✷α✶t❉ (ρ||σ)

✇✐t❤ ❉ (ρ||σ) = tr[ρ(❧♦❣(ρ) − ❧♦❣(σ))]✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-7
SLIDE 7

▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❈♦♥st❛♥t

  • ✐✈❡♥ ❛ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ L : M❞ → M❞ ✇✐t❤ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡

σ ∈ D+

❞ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡

❡♥tr♦♣②✿ ❉

  • ❡tLρ||σ
  • ≤ ❡−✷α✶t❉ (ρ||σ)

✭✶✮ ✇✐t❤ ❉ (ρ||σ) = tr[ρ(❧♦❣(ρ) − ❧♦❣(σ))]✳ ❚❤❡ ❧❛r❣❡st α✶ s✳t✳ ✭✶✮ ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ t > ✵ ✐s t❤❡ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✶ ❝♦♥st❛♥t✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-8
SLIDE 8

❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

❋♦r ❙(ρ) = −tr[ρ ❧♦❣(ρ)] t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ✭L(1) = L∗(1) = ✵✮✱ ❛ ▲❙✲✶ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦✿ ❙ ❡t ❙ ✶ ❡

✷ t

❧♦❣ ❞ ❙ Pr♦✈✐❞❡s ❛ ✇❛② ♦❢ q✉❛♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❜② t❤❡ s❡♠✐❣r♦✉♣✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-9
SLIDE 9

❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

❋♦r ❙(ρ) = −tr[ρ ❧♦❣(ρ)] t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ✭L(1) = L∗(1) = ✵✮✱ ❛ ▲❙✲✶ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦✿ ❙(❡tLρ) − ❙(ρ) ≥ (✶ − ❡−✷αt)(❧♦❣(❞) − ❙(ρ)) Pr♦✈✐❞❡s ❛ ✇❛② ♦❢ q✉❛♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❜② t❤❡ s❡♠✐❣r♦✉♣✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-10
SLIDE 10

❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

❋♦r ❙(ρ) = −tr[ρ ❧♦❣(ρ)] t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ✭L(1) = L∗(1) = ✵✮✱ ❛ ▲❙✲✶ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦✿ ❙(❡tLρ) − ❙(ρ) ≥ (✶ − ❡−✷αt)(❧♦❣(❞) − ❙(ρ)) Pr♦✈✐❞❡s ❛ ✇❛② ♦❢ q✉❛♥t✐❢②✐♥❣ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❡♥tr♦♣② ❜② t❤❡ s❡♠✐❣r♦✉♣✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-11
SLIDE 11

❲❤② ②♦✉ s❤♦✉❧❞ ❝❛r❡

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❢♦✉♥❞ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s✿

✶ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ ❧❛tt✐❝❡ t❤❛t

❤❛✈❡ ❛ ▲❙ ❝♦♥st❛♥t ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t s❝❛❧❡ ✇✐t❤ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s✿

❙tr♦♥❣ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✳r✳t✳ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥✶✳

✶❚✳ ❙✳ ❈✉❜✐tt ❡t ❛❧✳ ✏❙t❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❧♦❝❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ s②st❡♠s✑✳ ■♥✿

❆r❳✐✈ ❡✲♣r✐♥ts ✭▼❛r✳ ✷✵✶✸✮✳ ❛r❳✐✈✿✶✸✵✸✳✹✼✹✹ ❬q✉❛♥t✲♣❤❪

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-12
SLIDE 12

❲❤② ②♦✉ s❤♦✉❧❞ ❝❛r❡

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❢♦✉♥❞ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s✿

✶ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ ❧❛tt✐❝❡ t❤❛t

❤❛✈❡ ❛ ▲❙ ❝♦♥st❛♥t ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t s❝❛❧❡ ✇✐t❤ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s✿

❙tr♦♥❣ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✳r✳t✳ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ ❆r❡❛ ❧❛✇ ❛♥❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡✳ ✷✸✳

✷▼✳ ❏✳ ❑❛st♦r②❛♥♦ ❛♥❞ ❏✳ ❊✐s❡rt✳ ✏❘❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣ ✐♠♣❧✐❡s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢

❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s✑✳ ■♥✿ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s ✺✹✳✶✵ ✭❖❝t✳ ✷✵✶✸✮✱ ♣✳ ✶✵✷✷✵✶✳ ❉❖■✿ ✶✵✳✶✵✻✸✴✶✳✹✽✷✷✹✽✶✳ ❛r❳✐✈✿✶✸✵✸✳✻✸✵✹ ❬q✉❛♥t✲♣❤❪

✸❋✳ ●✳ ❙✳ ▲✳ ❇r❛♥❞❛♦ ❡t ❛❧✳ ✏❆r❡❛ ❧❛✇ ❢♦r ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ r❛♣✐❞❧② ♠✐①✐♥❣

❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s✑✳ ■♥✿ ❆r❳✐✈ ❡✲♣r✐♥ts ✭▼❛② ✷✵✶✺✮✳ ❛r❳✐✈✿✶✺✵✺✳✵✷✼✼✻ ❬q✉❛♥t✲♣❤❪

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-13
SLIDE 13

❲❤② ②♦✉ s❤♦✉❧❞ ❝❛r❡

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❢♦✉♥❞ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s✿

✶ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ ❧❛tt✐❝❡ t❤❛t

❤❛✈❡ ❛ ▲❙ ❝♦♥st❛♥t ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t s❝❛❧❡ ✇✐t❤ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s✿

❙tr♦♥❣ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✳r✳t✳ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ ❆r❡❛ ❧❛✇ ❛♥❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡✳

✷ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❛❧❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✿

||❡tL(ρ) − σ||✶ ≤ ❡−α✶t

  • ✷ ❧♦❣
  • σ−✶

♠✐♥

  • ✸ ❘❡✜♥❡♠❡♥ts ♦❢ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳

✹ ❆♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❧✐❢❡t✐♠❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s✳ ❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-14
SLIDE 14

❲❤② ②♦✉ s❤♦✉❧❞ ❝❛r❡

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❢♦✉♥❞ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s✿

✶ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ ❧❛tt✐❝❡ t❤❛t

❤❛✈❡ ❛ ▲❙ ❝♦♥st❛♥t ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t s❝❛❧❡ ✇✐t❤ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s✿

❙tr♦♥❣ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✳r✳t✳ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ ❆r❡❛ ❧❛✇ ❛♥❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡✳

✷ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❛❧❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✿

||❡tL(ρ) − σ||✶ ≤ ❡−α✶t

  • ✷ ❧♦❣
  • σ−✶

♠✐♥

  • ✸ ❘❡✜♥❡♠❡♥ts ♦❢ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳

✹ ❆♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❧✐❢❡t✐♠❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s✳ ❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-15
SLIDE 15

❲❤② ②♦✉ s❤♦✉❧❞ ❝❛r❡

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❢♦✉♥❞ ♠❛♥② ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ s✉❝❤ ❛s✿

✶ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ ❧❛tt✐❝❡ t❤❛t

❤❛✈❡ ❛ ▲❙ ❝♦♥st❛♥t ✇❤✐❝❤ ❞♦❡s ♥♦t s❝❛❧❡ ✇✐t❤ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s✿

❙tr♦♥❣ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡s ✇✳r✳t✳ ♣❡rt✉r❜❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ ❆r❡❛ ❧❛✇ ❛♥❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② st❛t❡✳

✷ ❚❤❡s❡ ❛r❡ ❛❧❧ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ♦❢ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✿

||❡tL(ρ) − σ||✶ ≤ ❡−α✶t

  • ✷ ❧♦❣
  • σ−✶

♠✐♥

  • ✸ ❘❡✜♥❡♠❡♥ts ♦❢ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✳

✹ ❆♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❧✐❢❡t✐♠❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s✳ ❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-16
SLIDE 16

❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❲❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss t❤❡ ▲❙✲✶ ❝♦♥st❛♥t ❛s✿ α✶ (L) = ✐♥❢

ρ∈D+

❞

tr[L(ρ)(❧♦❣(σ) − ❧♦❣(ρ))] ❉ (ρ||σ) ❍❛r❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧②✦ ❖♥❧② ❦♥♦✇♥ ❢♦r ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝✱ r❡✈❡rs✐❜❧❡ q✉❜✐t ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-17
SLIDE 17

❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❋♦r♠✉❧❛t✐♦♥

❲❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss t❤❡ ▲❙✲✶ ❝♦♥st❛♥t ❛s✿ α✶ (L) = ✐♥❢

ρ∈D+

❞

tr[L(ρ)(❧♦❣(σ) − ❧♦❣(ρ))] ❉ (ρ||σ) ❍❛r❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧②✦ ❖♥❧② ❦♥♦✇♥ ❢♦r ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝✱ r❡✈❡rs✐❜❧❡ q✉❜✐t ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-18
SLIDE 18

▲❙✲✶ ❈♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❈❤❛♥♥❡❧

❯s✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢r♦♠ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤✐s ❝♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s Lσ(ρ) = tr(ρ)σ − ρ✱ σ ∈ D+

❞ ❛r❜✐tr❛r②✳ ✶

♠✐♥

① ✵ ✶

✶ ✷ ✶ ❉✷

♠✐♥ ①

❉✷ ①

♠✐♥

✇❤❡r❡ ❉✷ ✐s t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣②✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡✿ ✶

✶

✶ ✷ ✶

♠✐♥ ✶ ♠✐♥

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-19
SLIDE 19

▲❙✲✶ ❈♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❈❤❛♥♥❡❧

❯s✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢r♦♠ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤✐s ❝♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s Lσ(ρ) = tr(ρ)σ − ρ✱ σ ∈ D+

❞ ❛r❜✐tr❛r②✳

α✶ (Lσ) = ♠✐♥

①∈[✵,✶]

✶ ✷

  • ✶ + ❉✷ (σ♠✐♥||①)

❉✷ (①||σ♠✐♥)

  • ✇❤❡r❡ ❉✷ ✐s t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣②✳

❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡✿ ✶

✶

✶ ✷ ✶

♠✐♥ ✶ ♠✐♥

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-20
SLIDE 20

▲❙✲✶ ❈♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❈❤❛♥♥❡❧

❯s✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❢r♦♠ ❢r❛❝t✐♦♥❛❧ ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤✐s ❝♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s Lσ(ρ) = tr(ρ)σ − ρ✱ σ ∈ D+

❞ ❛r❜✐tr❛r②✳

α✶ (Lσ) = ♠✐♥

①∈[✵,✶]

✶ ✷

  • ✶ + ❉✷ (σ♠✐♥||①)

❉✷ (①||σ♠✐♥)

  • ✇❤❡r❡ ❉✷ ✐s t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣②✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡✿

✶ ≥ α✶(Lσ) ≥ ✶ ✷

  • ✶ +
  • σ♠✐♥(✶ − σ♠✐♥)
  • ❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛

▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-21
SLIDE 21

❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✿ ❈♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ t❤❡ ✈♦♥ ◆❡✉♠❛♥♥ ❊♥tr♦♣②

■t ❢♦❧❧♦✇s ❢r♦♠ t❤❡ ❧❛st r❡s✉❧t t❤❛t ❢♦r ρ, σ ∈ D❞ ❛♥❞ q ∈ [✵, ✶] ✇❡ ❤❛✈❡ ❙((✶ − q)σ + qρ) − (✶ − q)❙(σ) − q❙(ρ) ≥ ♠❛①

  • q(✶ − q❝(σ))❉(ρσ)

(✶ − q)(✶ − (✶ − q)❝(ρ))❉(σρ) , ✇✐t❤ ❝(σ) = ♠✐♥

①∈[✵,✶]

❉✷(σ♠✐♥①) ❉✷(①σ♠✐♥) ❛♥❞ ❝(ρ) ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-22
SLIDE 22

❙✐♠✐❧❛r ❘❡s✉❧t ❜② ❑✐♠ ❛♥❞ ❘✉s❦❛✐

❲❡ ❤❛✈❡✹✿ ❙((✶ − q)σ + qρ) − (✶ − q)❙(σ) − q❙(ρ) ≥ (✶ − q)q ✷ ||ρ − σ||✷

✶

✹■s❛❛❝ ❑✐♠ ❛♥❞ ▼❛r② ❇❡t❤ ❘✉s❦❛✐✳ ✏❇♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ q✉❛♥t✉♠

❡♥tr♦♣②✑✳ ■♥✿ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s ✺✺✳✾✱ ✵✾✷✷✵✶ ✭✷✵✶✹✮✱ ♣♣✳ ✕

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-23
SLIDE 23

❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❙✐♠✐❧❛r ❘❡s✉❧ts

q 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

✭❛✮

q 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

✭❜✮ ❋✐❣✉r❡ ✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❜♦✉♥❞ t❤❡ ❜♦✉♥❞ ❜② ❑✐♠✭r❡❞✮✱ ♦✉rs ✭❜❧✉❡✮ ❛♥❞ t❤❡ ❡①❛❝t ✈❛❧✉❡ ❙((✶ − q)σ + qρ) − (✶ − q)❙(σ) − q❙(ρ) ✭❜❧❛❝❦✮✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-24
SLIDE 24

❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t②

■t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ α✶(L) t❤❛t ❛r❡ ❡❛s✐❡r t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦♥ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝✱ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ✭ ✵✮✳ ❋♦r q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s ✐t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❜♦✉♥❞s t❤❛t t❡♥s♦r✐③❡✱ t❤❛t ✐s

✶ ♥

❝ ❛♥❞

♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢

❡t

♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-25
SLIDE 25

❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t②

■t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ α✶(L) t❤❛t ❛r❡ ❡❛s✐❡r t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦♥ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝✱ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ✭L = L∗, L(1) = ✵✮✳ ❋♦r q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s ✐t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❜♦✉♥❞s t❤❛t t❡♥s♦r✐③❡✱ t❤❛t ✐s

✶ ♥

❝ ❛♥❞

♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢

❡t

♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-26
SLIDE 26

❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t②

■t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s ♦♥ α✶(L) t❤❛t ❛r❡ ❡❛s✐❡r t♦ ❡✈❛❧✉❛t❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦♥ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝✱ r❡✈❡rs✐❜❧❡ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s ✭L = L∗, L(1) = ✵✮✳ ❋♦r q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s ✐t ✐s ❞❡s✐r❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❜♦✉♥❞s t❤❛t t❡♥s♦r✐③❡✱ t❤❛t ✐s α✶(L(♥)) ≥ ❝ ❛♥❞ L(♥) t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ (❡tL)⊗♥✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-27
SLIDE 27

❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t②

❚❤❡ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ L ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ α✷ > ✵ s✳t✳ ❢♦r ❛❧❧ ❳ ∈ M+

❞ ❛♥❞ t > ✵

❞

✶ ✷− ✶ ♣(t) ||❡tL❳||♣(t)

||❳||✷ ≤ ✶ ❤♦❧❞s ❢♦r ♣(t) = ✶ + ❡✷α✷t✳ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❧❛r❣❡r ♣ ❡♠♣❤❛s✐③❡s t❤❡ ✏♣❡❛❦s✑ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ❳✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ s♠❛❧❧ ♣✲♥♦r♠ ✇✐t❤ ♣ ❧❛r❣❡✱ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ✐s ✏✢❛t✑✳

✶ ✷

❊❛s✐❡r t♦ ❤❛♥❞❧❡✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-28
SLIDE 28

❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t②

❚❤❡ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ L ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ α✷ > ✵ s✳t✳ ❢♦r ❛❧❧ ❳ ∈ M+

❞ ❛♥❞ t > ✵

❞

✶ ✷− ✶ ♣(t) ||❡tL❳||♣(t)

||❳||✷ ≤ ✶ ❤♦❧❞s ❢♦r ♣(t) = ✶ + ❡✷α✷t✳ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❧❛r❣❡r ♣ ❡♠♣❤❛s✐③❡s t❤❡ ✏♣❡❛❦s✑ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ❳✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ s♠❛❧❧ ♣✲♥♦r♠ ✇✐t❤ ♣ ❧❛r❣❡✱ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ✐s ✏✢❛t✑✳

✶ ✷

❊❛s✐❡r t♦ ❤❛♥❞❧❡✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-29
SLIDE 29

❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t②

❚❤❡ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ L ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ α✷ > ✵ s✳t✳ ❢♦r ❛❧❧ ❳ ∈ M+

❞ ❛♥❞ t > ✵

❞

✶ ✷− ✶ ♣(t) ||❡tL❳||♣(t)

||❳||✷ ≤ ✶ ❤♦❧❞s ❢♦r ♣(t) = ✶ + ❡✷α✷t✳ ■♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✿ ❧❛r❣❡r ♣ ❡♠♣❤❛s✐③❡s t❤❡ ✏♣❡❛❦s✑ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ♦❢ ❳✳ ■❢ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ s♠❛❧❧ ♣✲♥♦r♠ ✇✐t❤ ♣ ❧❛r❣❡✱ t❤✐s ♠❡❛♥s t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ✐s ✏✢❛t✑✳ α✶ (L) ≥ α✷ (L) ❊❛s✐❡r t♦ ❤❛♥❞❧❡✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-30
SLIDE 30

❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛❣❛✐♥

❯s✐♥❣ ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ✇❡ s❤♦✇✿

✷

❞

✷ ✷

❞

✇❤❡r❡ ✐s t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ ✭s❡❝♦♥❞ s♠❛❧❧❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢ ✮ ✳ ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② t❡♥s♦r✐③❡s✳ ❆ ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❣✐✈❡s ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-31
SLIDE 31

❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛❣❛✐♥

❯s✐♥❣ ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ✇❡ s❤♦✇✿ ||L||α✷

  • L 1

❞

  • ≥ α✷ (L) ≥ λα✷
  • L 1

❞

  • ✇❤❡r❡ λ ✐s t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ L ✭s❡❝♦♥❞ s♠❛❧❧❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢

−L✮ ✳ ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② t❡♥s♦r✐③❡s✳ ❆ ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❣✐✈❡s ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-32
SLIDE 32

❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛❣❛✐♥

❯s✐♥❣ ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ✇❡ s❤♦✇✿ ||L||α✷

  • L 1

❞

  • ≥ α✷ (L) ≥ λα✷
  • L 1

❞

  • ✇❤❡r❡ λ ✐s t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ L ✭s❡❝♦♥❞ s♠❛❧❧❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢

−L✮ ✳ ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② t❡♥s♦r✐③❡s✳ ❆ ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❣✐✈❡s ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-33
SLIDE 33

❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧s ❛❣❛✐♥

❯s✐♥❣ ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ ✇❡ s❤♦✇✿ ||L||α✷

  • L 1

❞

  • ≥ α✷ (L) ≥ λα✷
  • L 1

❞

  • ✇❤❡r❡ λ ✐s t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣ ♦❢ L ✭s❡❝♦♥❞ s♠❛❧❧❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♦❢

−L✮ ✳ ❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② t❡♥s♦r✐③❡s✳ ❆ ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ ❣✐✈❡s ❛ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-34
SLIDE 34

▲♦✇❡r ❇♦✉♥❞ ❢♦r ❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❈❤❛♥♥❡❧s

❯s❡ ❣r♦✉♣ t❤❡♦r❡t✐❝ t❡❝❤♥✐q✉❡s t♦ r❡❧❛t❡ t❤❡ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ t♦ t❤❡ ▲❙✲✷ ♦❢ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ✇✐t❤ ❦♥♦✇♥ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡s❡ st❛② ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❛❦✐♥❣ t❡♥s♦r ♣♦✇❡rs✱ s♦ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿

✷ ♥

❞

✶ ✷❞

✷

❧♦❣ ✸ ❧♦❣ ❞✷ ✶ ✷ ✶ ✷❞

✷

■♠♣r♦✈❡s ✉♣♦♥ ♣r❡✈✐♦✉s ❜♦✉♥❞s✺ ❛♥❞ ❤❛s t❤❡ r✐❣❤t ♦r❞❡r ♦❢ ♠❛❣♥✐t✉❞❡✳

✺❑r✐st❛♥ ❚❡♠♠❡✱ ❋❡r♥❛♥❞♦ P❛st❛✇s❦✐✱ ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❡❧ ❏ ❑❛st♦r②❛♥♦✳

✏❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ♦❢ q✉❛s✐✲❢r❡❡ q✉❛♥t✉♠ s❡♠✐❣r♦✉♣s✑✳ ■♥✿ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ P❤②s✐❝s ❆✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ✹✼✳✹✵ ✭✷✵✶✹✮

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-35
SLIDE 35

▲♦✇❡r ❇♦✉♥❞ ❢♦r ❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❈❤❛♥♥❡❧s

❯s❡ ❣r♦✉♣ t❤❡♦r❡t✐❝ t❡❝❤♥✐q✉❡s t♦ r❡❧❛t❡ t❤❡ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ t♦ t❤❡ ▲❙✲✷ ♦❢ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ✇✐t❤ ❦♥♦✇♥ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡s❡ st❛② ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❛❦✐♥❣ t❡♥s♦r ♣♦✇❡rs✱ s♦ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ α✷

  • L(♥)

1 ❞

  • ≥
  • ✶ − ✷❞−✷

❧♦❣(✸) ❧♦❣(❞✷ − ✶) + ✷ (✶ − ✷❞−✷) ■♠♣r♦✈❡s ✉♣♦♥ ♣r❡✈✐♦✉s ❜♦✉♥❞s✺ ❛♥❞ ❤❛s t❤❡ r✐❣❤t ♦r❞❡r ♦❢ ♠❛❣♥✐t✉❞❡✳

✺❑r✐st❛♥ ❚❡♠♠❡✱ ❋❡r♥❛♥❞♦ P❛st❛✇s❦✐✱ ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❡❧ ❏ ❑❛st♦r②❛♥♦✳

✏❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ♦❢ q✉❛s✐✲❢r❡❡ q✉❛♥t✉♠ s❡♠✐❣r♦✉♣s✑✳ ■♥✿ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ P❤②s✐❝s ❆✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ✹✼✳✹✵ ✭✷✵✶✹✮

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-36
SLIDE 36

▲♦✇❡r ❇♦✉♥❞ ❢♦r ❉❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❈❤❛♥♥❡❧s

❯s❡ ❣r♦✉♣ t❤❡♦r❡t✐❝ t❡❝❤♥✐q✉❡s t♦ r❡❧❛t❡ t❤❡ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ ❝❤❛♥♥❡❧ t♦ t❤❡ ▲❙✲✷ ♦❢ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥ ✇✐t❤ ❦♥♦✇♥ ▲❙✲✷ ❝♦♥st❛♥t✳ ❚❤❡s❡ st❛② ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❛❦✐♥❣ t❡♥s♦r ♣♦✇❡rs✱ s♦ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ α✷

  • L(♥)

1 ❞

  • ≥
  • ✶ − ✷❞−✷

❧♦❣(✸) ❧♦❣(❞✷ − ✶) + ✷ (✶ − ✷❞−✷) ■♠♣r♦✈❡s ✉♣♦♥ ♣r❡✈✐♦✉s ❜♦✉♥❞s✺ ❛♥❞ ❤❛s t❤❡ r✐❣❤t ♦r❞❡r ♦❢ ♠❛❣♥✐t✉❞❡✳

✺❑r✐st❛♥ ❚❡♠♠❡✱ ❋❡r♥❛♥❞♦ P❛st❛✇s❦✐✱ ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❡❧ ❏ ❑❛st♦r②❛♥♦✳

✏❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ♦❢ q✉❛s✐✲❢r❡❡ q✉❛♥t✉♠ s❡♠✐❣r♦✉♣s✑✳ ■♥✿ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ P❤②s✐❝s ❆✿ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ✹✼✳✹✵ ✭✷✵✶✹✮

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-37
SLIDE 37
  • ❡♥❡r❛❧ ❉♦✉❜❧② ❙t♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s

❋♦r ❛♥② ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥ ✐t ❢♦❧❧♦✇s t❤❛t✿ α✷

  • L(♥)

≥ λ

  • ✶ − ✷❞−✷

❧♦❣(✸) ❧♦❣(❞✷ − ✶) + ✷ (✶ − ✷❞−✷) λ ✐s ✐ts s♣❡❝tr❛❧ ❣❛♣✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-38
SLIDE 38
  • ❡♥❡r❛❧ ❉♦✉❜❧② ❙t♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s

■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t✿ ❙(

  • ❡tL⊗♥ ρ) − ❙(ρ) ≥ (✶ − ❡−✷αt)(♥ ❧♦❣(❞) − ❙(ρ))

✇✐t❤ α = λ (✶−✷❞−✷)

❧♦❣(✸) ❧♦❣(❞✷−✶)+✷(✶−✷❞−✷)

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❛♥❛❧②③❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s s✉❜❥❡❝t❡❞ t♦ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♥♦✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-39
SLIDE 39
  • ❡♥❡r❛❧ ❉♦✉❜❧② ❙t♦❝❤❛st✐❝ ▲✐♦✉✈✐❧❧✐❛♥s

■♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡♥tr♦♣② ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t✿ ❙(

  • ❡tL⊗♥ ρ) − ❙(ρ) ≥ (✶ − ❡−✷αt)(♥ ❧♦❣(❞) − ❙(ρ))

✇✐t❤ α = λ (✶−✷❞−✷)

❧♦❣(✸) ❧♦❣(❞✷−✶)+✷(✶−✷❞−✷)

❚❤✐s ✐♥❡q✉❛❧✐t② ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❛♥❛❧②③❡ q✉❛♥t✉♠ ♠❡♠♦r✐❡s s✉❜❥❡❝t❡❞ t♦ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♥♦✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-40
SLIDE 40

❙✉♠♠❛r②

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ s❤♦✇ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✳ ■t ✐s ❞✐✣❝✉❧t t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ✐s ❛ ✈❛❧✉❛❜❧❡ t♦♦❧ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❢♦r ♣r♦❞✉❝t ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❚❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤✐s ❜♦✉♥❞ ❞❡❝r❡❛s❡s ❛s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ❛s ♠❛❞❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❜② t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛❧✇❛②s ✐♥❝r❡❛s❡s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❢❛st ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧✱ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♥♦✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-41
SLIDE 41

❙✉♠♠❛r②

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ s❤♦✇ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✳ ■t ✐s ❞✐✣❝✉❧t t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ✐s ❛ ✈❛❧✉❛❜❧❡ t♦♦❧ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❢♦r ♣r♦❞✉❝t ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❚❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤✐s ❜♦✉♥❞ ❞❡❝r❡❛s❡s ❛s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ❛s ♠❛❞❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❜② t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛❧✇❛②s ✐♥❝r❡❛s❡s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❢❛st ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧✱ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♥♦✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-42
SLIDE 42

❙✉♠♠❛r②

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ s❤♦✇ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✳ ■t ✐s ❞✐✣❝✉❧t t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ✐s ❛ ✈❛❧✉❛❜❧❡ t♦♦❧ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❢♦r ♣r♦❞✉❝t ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❚❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤✐s ❜♦✉♥❞ ❞❡❝r❡❛s❡s ❛s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ❛s ♠❛❞❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❜② t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛❧✇❛②s ✐♥❝r❡❛s❡s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❢❛st ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧✱ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♥♦✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-43
SLIDE 43

❙✉♠♠❛r②

▲❙ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛r❡ ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ s❤♦✇ ❡♥tr♦♣✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✳ ■t ✐s ❞✐✣❝✉❧t t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧ r❡s✉❧ts✳ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ✐s ❛ ✈❛❧✉❛❜❧❡ t♦♦❧ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ❢♦r ♣r♦❞✉❝t ❝❤❛♥♥❡❧s✳ ❚❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤✐s ❜♦✉♥❞ ❞❡❝r❡❛s❡s ❛s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐♥❝r❡❛s❡s✱ ❛s ♠❛❞❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❜② t❤❡ ❞❡♣♦❧❛r✐③✐♥❣ s❡♠✐❣r♦✉♣s✳ ❚❤❡ ❡♥tr♦♣② ❛❧✇❛②s ✐♥❝r❡❛s❡s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧❧② ❢❛st ✉♥❞❡r ❧♦❝❛❧✱ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ❛♥❞ ❞♦✉❜❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♥♦✐s❡✳

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-44
SLIDE 44

❇✐❜❧✐♦❣r❛♣❤②

❬❑❚✶✸❪ ▼✳ ❏✳ ❑❛st♦r②❛♥♦ ❛♥❞ ❑✳ ❚❡♠♠❡✳ ◗✉❛♥t✉♠ ❧♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ r❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s✱ ✺✹✭✺✮✿✵✺✷✷✵✷✱ ▼❛② ✷✵✶✸✳ ❬❖❩✾✾❪ ❘✳ ❖❧❦✐❡✇✐❝③ ❛♥❞ ❇✳ ❩❡❣❛r❧✐♥s❦✐✳ ❍②♣❡r❝♦♥tr❛❝t✐✈✐t② ✐♥ ♥♦♥❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❧♣✲s♣❛❝❡s✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✶✻✶✭✶✮✿✷✹✻ ✕ ✷✽✺✱ ✶✾✾✾✳ ❬❑❘✶✹❪ ■✳ ❑✐♠ ❛♥❞ ▼✳ ❇✳ ❘✉s❦❛✐✱ ❇♦✉♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐t② ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ❡♥tr♦♣② ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s✱ ✈♦❧✳ ✺✺✱ ♥♦✳ ✾✱ ✷✵✶✹✳ ❬❊❑✶✸❪ ❏✳ ❊✐s❡rt ❛♥❞ ▼✳ ❏✳ ❑❛st♦r②❛♥♦ ❘❛♣✐❞ ♠✐①✐♥❣ ✐♠♣❧✐❡s ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞❡❝❛② ♦❢ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥s ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ P❤②s✐❝s✱ ✈♦❧✳ ✺✹✱ ✷✵✶✸ ❬❈▲▼✰✶✸❪ ❈✉❜✐tt✱ ❚✳ ❙✳ ❛♥❞ ▲✉❝✐❛✱ ❆✳ ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❧❛❦✐s✱ ❙✳ ❛♥❞ P❡r❡③✲●❛r❝✐❛ ❙t❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❧♦❝❛❧ q✉❛♥t✉♠ ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ s②st❡♠s ❛r❳✐✈ ✶✸✵✸✳✹✼✹✹ ❬❇❈▲✰✶✺❪ ❇r❛♥❞❛♦✱ ❋✳ ●✳ ❙✳ ▲✳ ❛♥❞ ❈✉❜✐tt✱ ❚✳ ❙✳ ❛♥❞ ▲✉❝✐❛✱ ❆✳ ❛♥❞ ▼✐❝❤❛❧❛❦✐s✱ ❙✳ ❛♥❞ P❡r❡③✲●❛r❝✐❛✱ ❉✳ ❆r❡❛ ❧❛✇ ❢♦r ✜①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ r❛♣✐❞❧② ♠✐①✐♥❣ ❞✐ss✐♣❛t✐✈❡ q✉❛♥t✉♠ s②st❡♠s ❛r❳✐✈ ✶✺✵✺✳✵✷✼✼✻ ❬❉❙❈✾✻❪ ❉✐❛❝♦♥✐s✱ P✳ ❛♥❞ ❙❛❧♦✛✲❈♦st❡✱ ▲✳ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ✜♥✐t❡ ▼❛r❦♦✈ ❝❤❛✐♥s ❚❤❡ ❆♥♥❛❧s ♦❢ ❆♣♣❧✐❡❞ Pr♦❜❛❜✐❧✐t②✱ ✈♦❧✳ ✻✱ ♥♦✳ ✸✱ ✶✾✾✻ ❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥

slide-45
SLIDE 45

❚❤❛♥❦s✦

❉❛♥✐❡❧ ❙t✐❧❝❦ ❋r❛♥ç❛ ▲♦❣❛r✐t❤♠✐❝ ❙♦❜♦❧❡✈ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❢♦r ❊♥tr♦♣② Pr♦❞✉❝t✐♦♥