Privacy as a tool for Robust Mechanism Design in Large Markets - - PowerPoint PPT Presentation
Privacy as a tool for Robust Mechanism Design in Large Markets Aaron Roth Based on joint works with: Rachel Cummings, Jus;n Hsu, Zhiyi Huang, Sampath
Based ¡on ¡joint ¡works ¡with: ¡ ¡ Rachel ¡Cummings, ¡Jus;n ¡Hsu, ¡Zhiyi ¡Huang, ¡Sampath ¡Kannan, ¡ Michael ¡Kearns, ¡Mallesh ¡Pai, ¡Jamie ¡Morgenstern, ¡Ryan ¡Rogers, ¡ Tim ¡Roughgarden ¡Jon ¡Ullman, ¡and ¡Steven ¡Wu ¡
even ¡the ¡number) ¡– ¡not ¡even ¡distribu;onal ¡informa;on ¡
least.. ¡
truthfulness’’ ¡
mechanism ¡outcome ¡to ¡single ¡agent ¡devia;ons. ¡ ¡
reason ¡about. ¡ ¡
¡
A ¡measure ¡of ¡Algorithmic ¡Stability
possible ¡report ¡for ¡agent ¡𝑗. ¡Then ¡a ¡mechanism ¡𝑁:𝒰↑𝑜 →𝒫 ¡is ¡𝜗-‑ differen;ally ¡private ¡if ¡for ¡all ¡𝑇⊆𝒫: ¡ ¡ Pr[𝑁(𝑢)∈𝑇] ≤(1+𝜗)Pr[𝑁(𝑢↓𝑗↑′ , ¡𝑢↓−𝑗 ) ¡∈𝑇] ¡ ¡ In ¡par;cular, ¡for ¡any ¡𝑣:𝒫→ℝ↓≥0 : ¡ 𝔽↓𝑦∼𝑁(𝑢) [𝑣(𝑦)]≤(1+𝜗)𝔽↓𝑦∼𝑁(𝑢↓𝑗↑′ ,𝑢↓−𝑗 ) [𝑣(𝑦)] ¡ ¡ Algorithmically ¡enforced ¡informa8onal ¡smallness. ¡ ¡
A ¡slightly ¡relaxed ¡measure
possible ¡report ¡for ¡agent ¡𝑗. ¡Then ¡a ¡mechanism ¡𝑁:𝒰↑𝑜 →𝒫↑𝑜 ¡is ¡𝜗-‑ jointly ¡differen;ally ¡private ¡if ¡for ¡all ¡𝑇↓−𝑗 ⊆𝒫↑𝑜−1 : ¡ ¡ Pr[𝑁(𝑢)↓−𝑗 ∈𝑇↓−𝑗 ] ≤(1+𝜗)Pr[𝑁(𝑢↓𝑗↑′ , ¡𝑢↓−𝑗 )↓−𝑗 ¡∈𝑇↓−𝑗 ] ¡ ¡ In ¡par;cular, ¡for ¡any ¡𝑣:𝒫↑𝑜−1 →ℝ↓≥0 : ¡ 𝔽↓𝑦∼𝑁(𝑢)↓−𝑗 [𝑣(𝑦)]≤(1+𝜗)𝔽↓𝑦∼𝑁(𝑢↓𝑗↑′ ,𝑢↓−𝑗 )↓−𝑗 [𝑣(𝑦)] ¡ ¡ Player ¡𝑗’s ¡output ¡can ¡depend ¡arbitrarily ¡on ¡𝑢↓𝑗 . ¡
robust, ¡asympto;cally ¡truthful ¡mechanisms ¡
assump;ons) ¡
Given: ¡𝑜 ¡bidders, ¡𝑛 ¡items ¡ Private ¡valua;on ¡func;ons ¡𝑤↓𝑗 :2↑[𝑛] →[0,1] ¡ Find: ¡A ¡feasible ¡alloca;on ¡𝑇↓1 ,…,𝑇↓𝑜 ¡to ¡maximize: ¡ 𝑇𝑋(𝑤, ¡𝑇)=∑𝑗=1↑𝑜▒𝑤↓𝑗 (𝑇↓𝑗 ) ¡
VCG ¡prices ¡will ¡in ¡general ¡be ¡complex: ¡not ¡ item ¡pricings, ¡not ¡anonymous, ¡not ¡envy ¡free. ¡ ¡
form ¡an ¡𝛽-‑approximate ¡Walrasian ¡equilibrium ¡if: ¡
1. For ¡all ¡𝑗: ¡𝑤↓𝑗 (𝑇↓𝑗 )−∑𝑘∈𝑇↓𝑗 ↑▒𝑞↓𝑘 ≥max┬𝑇⊆[𝑛] (𝑤↓𝑗 (𝑇)−∑𝑘∈𝑇↑▒ 𝑞↓𝑘 )−𝛽 ¡ 2. For ¡all ¡𝑘: ¡If ¡𝑘∉𝑇↓1 ∪…∪𝑇↓𝑜 ¡then ¡𝑞↓𝑘 =0 ¡ ¡
“Simultaneously, ¡everyone ¡is ¡ge\ng ¡their ¡favorite ¡bundle ¡given ¡the ¡ prices” ¡ ¡ Bonus ¡Fact ¡(“First ¡Welfare ¡Theorem”) ¡ If ¡𝑇↓1 ,…,𝑇↓𝑜 ¡is ¡part ¡of ¡an ¡𝛽-‑approximate ¡Walrasian ¡equilibrium, ¡then: ¡ ∑𝑗↑▒𝑤↓𝑗 (𝑇↓𝑗 ) ≥OPT−𝛽𝑜 ¡
computes ¡an ¡alloca;on ¡𝑇↓1 ,…,𝑇↓𝑜 ¡and ¡price ¡vector ¡𝑞 ¡that ¡form ¡an ¡ 𝛽-‑approximate ¡Walrasian ¡equilibrium ¡makes ¡truthful ¡repor;ng ¡an ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ (𝜗+𝛽)-‑approximate ¡dominant ¡strategy. ¡ ¡ Most ¡interes;ng ¡if ¡we ¡can ¡take ¡(𝜗+𝛽)→0 ¡as ¡the ¡market ¡grows ¡large. ¡
Proof: ¡ ¡Fix ¡any ¡𝑗, ¡𝑤, ¡𝑤↓𝑗↑′ ¡and ¡let ¡(𝑇,𝑞)=𝑁(𝑤) ¡and ¡(𝑇↑′ , ¡𝑞↑′ )=𝑁(𝑤↓𝑗↑ ′ , ¡𝑤↓−𝑗 ). ¡ We ¡have: ¡ 𝔽[𝑤↓𝑗 (𝑇↓𝑗 )−∑𝑘∈𝑇↓𝑗 ↑▒𝑞↓𝑘 ]≥max┬𝑇⊆[𝑛] [𝑤↓𝑗 (𝑇)−𝔽[∑𝑘∈𝑇↑▒ 𝑞↓𝑘 ]]−𝛽 ¡ ≥max┬𝑇⊆[𝑛] [𝑤↓𝑗 (𝑇)−(1+𝜗)𝔽[∑𝑘∈𝑇↑▒𝑞↓𝑘↑′ ]]−𝛽 ¡ ≥max┬𝑇⊆[𝑛] [𝑤↓𝑗 (𝑇)−𝔽[∑𝑘∈𝑇↑▒𝑞↓𝑘↑′ ]]−𝛽−𝜗 ¡ ≥𝑤↓𝑗 (𝑇↓𝑗↑′ )− ¡∑𝑘∈𝑇↓𝑗 ↑▒𝑞↓𝑘↑′ −𝛽−𝜗 ¡ ¡ ¡
𝛽−𝑋𝐹 ¡ 𝜗-‑DP ¡
𝑙-‑demand ¡valua;ons ¡over ¡𝑛 ¡types ¡of ¡goods ¡of ¡supply ¡𝑡 ¡each, ¡ computes ¡an ¡𝛽-‑approximate ¡Walrasian ¡equilibrium ¡subject ¡to ¡𝜗-‑joint ¡ differen;al ¡privacy ¡whenever: ¡ 𝑡≥ ¡𝑃 (𝑙⋅𝑛/𝛽↑2 𝜗 ) ¡ ¡ ¡
There ¡is ¡an ¡𝜃-‑approximately ¡dominant ¡strategy ¡truthful ¡mechanism ¡that ¡uses ¡ an ¡anonymous ¡item ¡pricing. ¡Whenever: ¡ 𝑡≥𝜕(𝑙⋅𝑛) ¡ We ¡can ¡take ¡𝜃=𝑝(1). ¡ Large ¡market ¡assump;on: ¡supply ¡grows ¡with ¡
No ¡assump;on ¡on ¡bidder ¡valua;ons! ¡
In ¡a ¡stable ¡matchings ¡problem ¡there ¡are ¡𝑜 ¡students ¡and ¡𝑛 ¡schools. ¡ ¡
𝜈(𝑗)≻↓𝑗 𝑘 ¡ ¡
|𝜈(𝑘)|≥(1−𝛽)𝑡 ¡and ¡for ¡all ¡𝑗↑′ ∈𝜈(𝑘): ¡𝑗↑′ ≻↓𝑘 𝑗 ¡
to ¡each ¡student ¡𝑗. ¡(Higher ¡is ¡beher) ¡
matching: ¡ ¡ 𝜈↑𝑢 (𝑗)=argmax┬≻↓𝑗 {𝑘 ¡|𝑟↓𝑗 (𝑘)≥𝑢↓𝑘 } ¡ (every ¡student ¡goes ¡to ¡her ¡favorite ¡school ¡she ¡gets ¡into) ¡
Theorem: ¡Any ¡𝜗-‑jointly ¡differen;ally ¡private ¡mechanism ¡𝑁 ¡which ¡ computes ¡a ¡matching ¡𝜈 ¡and ¡threshold ¡vector ¡𝑢 ¡that ¡form ¡an ¡𝛽-‑ approximately ¡stable ¡matching ¡makes ¡truthful ¡repor;ng ¡for ¡the ¡ students ¡ ¡an ¡𝜗-‑approximate ¡dominant ¡strategy. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Theorem: ¡There ¡is ¡a ¡mechanism ¡for ¡compu;ng ¡𝛽-‑approximately ¡stable ¡ thresholds ¡corresponding ¡to ¡the ¡school ¡op8mal ¡stable ¡matching ¡ subject ¡to ¡𝜗-‑differen;al ¡privacy, ¡whenever ¡the ¡school ¡capaci;es ¡are: ¡ 𝑡≥𝑃 (√𝑛 /𝜗𝛽 ) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
There ¡is ¡an ¡𝜃-‑approximately ¡dominant ¡strategy ¡student-‑truthful ¡mechanism ¡ for ¡compu;ng ¡school ¡op;mal ¡𝛽−stable ¡matchings. ¡ ¡Whenever ¡ 𝑡≥𝜕(√𝑛 ) ¡ We ¡can ¡take ¡𝜃,𝛽=𝑝(1). ¡ ¡ If ¡students ¡have ¡constant-‑length ¡preference ¡lists, ¡only ¡need ¡𝑡≥𝜕(polylog𝑛 ) ¡ Large ¡market ¡assump;on: ¡capacity ¡grows ¡with ¡
No ¡assump;on ¡on ¡student ¡or ¡school ¡ preferences! ¡
but ¡they ¡are ¡not ¡unique. ¡ ¡
many) ¡
ac;ons ¡(but ¡I ¡can ¡ignore ¡them) ¡
𝑁:(𝑈∪{⊥})↑𝑜 →(𝐵∪{⊥})↑𝑜 ¡
¡
Nash ¡equilibrium. ¡ ¡ ¡ ¡ (Robust, ¡prior ¡free ¡solu;on ¡concept ¡for ¡incomplete ¡informa;on ¡games ¡ – ¡a ¡Nash ¡equilibrium ¡in ¡the ¡complete ¡informa;on ¡game ¡for ¡every ¡ possible ¡realiza;on ¡of ¡types) ¡
computes ¡a ¡set ¡of ¡ac;ons ¡𝑏↓1 ,…,𝑏↓𝑜 ¡forming ¡an ¡𝛽-‑approximate ¡ Nash ¡equilibrium ¡in ¡the ¡complete ¡informa;on ¡game ¡defined ¡by ¡the ¡ reported ¡types ¡makes ¡good ¡behavior ¡an ¡(𝜗+𝛽)-‑approximate ¡ex-‑post ¡ Nash ¡equilibrium. ¡ ¡ ¡
A ¡game ¡is ¡Δ-‑large ¡if ¡for ¡all ¡players ¡𝑗≠𝑘∈[𝑜], ¡for ¡all ¡ac;on ¡profiles ¡a∈ 𝐵↑𝑜 ¡and ¡for ¡all ¡pairs ¡of ¡ac;ons ¡𝑏↓𝑘 , ¡𝑏↓𝑘↑′ ∈𝐵: ¡ : ¡ |𝑣↓𝑗 (𝑏↓𝑘 ,𝑏↓−𝑘 )−𝑣↓𝑗 (𝑏↓𝑘↑′ ,𝑏↓−𝑘 )|≤Δ ¡
that ¡of ¡others. ¡
Theorem: ¡In ¡many ¡classes ¡of ¡large ¡games ¡(including ¡conges;on ¡games, ¡ anonymous ¡games, ¡and ¡more), ¡there ¡is ¡an ¡𝜗-‑jointly ¡differen;ally ¡ private ¡algorithm ¡for ¡compu;ng ¡an ¡𝛽-‑approximate ¡Nash ¡equilibrium ¡ where: ¡ 𝛽=𝑃 (1/√𝑜 ⋅𝜗 ) ¡
In ¡any ¡such ¡game ¡there ¡is ¡a ¡mediator ¡which ¡makes ¡good ¡behavior ¡an ¡𝜃-‑ approximate ¡ex-‑post ¡Nash ¡equilibrium ¡for ¡ ¡ 𝜃=𝑃(1/𝑜↑1/3 ) ¡ We ¡can ¡take ¡𝜃=𝑝(1). ¡ ¡ Large ¡market ¡assump;on: ¡u;lity ¡func;ons ¡are ¡ 𝑝(1)-‑Lipschitz ¡in ¡opponent ¡ac;ons. ¡ No ¡assump;on ¡on ¡type ¡distribu;on ¡of ¡agents. ¡ ¡
(Of ¡which ¡there ¡are ¡many) ¡
(In ¡Broad ¡Strokes) ¡
assump;ons ¡about ¡how ¡type ¡profiles ¡are ¡generated ¡
¡ ¡
And ¡its ¡hard ¡to ¡do ¡beher ¡because ¡they ¡assume ¡exact ¡equilibria ¡are ¡
(Whereas ¡here) ¡
in ¡the ¡agent ¡popula;on ¡which ¡can ¡be ¡worst ¡case. ¡ ¡
assump;ons. ¡