Network Economics -- Lecture 5: Auc5ons and applica5ons - - PowerPoint PPT Presentation

Network ¡Economics ¡

• ­‑-­‑ ¡

Lecture ¡5: ¡Auc5ons ¡and ¡applica5ons ¡

Patrick ¡Loiseau ¡ EURECOM ¡ Fall ¡2013 ¡

1 ¡

References ¡

• V. ¡Krishna, ¡“Auc5on ¡Theory”, ¡Elseiver ¡AP ¡2009 ¡(second ¡

edi5on) ¡

– Chapters ¡2, ¡3, ¡5 ¡

• P. ¡Milgrom, ¡“PuTng ¡auc5on ¡theory ¡to ¡work”, ¡CUP ¡

2004 ¡

– Chapter ¡1 ¡

• D. ¡Easley ¡and ¡J. ¡Kleinberg, ¡“Networks, ¡Crowds ¡and ¡

Markets”, ¡CUP ¡2010 ¡

– Chapters ¡9 ¡and ¡15 ¡

• Ben ¡Polak’s ¡online ¡course ¡

h[p://oyc.yale.edu/economics/econ-­‑159 ¡ ¡

– Lecture ¡24 ¡

2 ¡

Outline ¡

• 1. Generali5es ¡on ¡auc5ons ¡
• 2. Private ¡value ¡auc5ons ¡
• 3. Common ¡value ¡auc5ons: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡
• 4. Mechanism ¡design ¡
• 5. Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡

3 ¡

Outline ¡

• 1. Generali5es ¡on ¡auc5ons ¡
• 2. Private ¡value ¡auc5ons ¡
• 3. Common ¡value ¡auc5ons: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡
• 4. Mechanism ¡design ¡
• 5. Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡

4 ¡

Where ¡are ¡auc5ons? ¡

• Everywhere! ¡

– Ebay ¡ – Google ¡search ¡auc5ons ¡ – Spectrum ¡auc5ons ¡ – Art ¡auc5ons ¡ – Etc. ¡

5 ¡

What ¡is ¡an ¡auc5on? ¡

• Seller ¡sells ¡one ¡item ¡of ¡good ¡through ¡bidding ¡

– Set ¡of ¡buyers ¡

• Buyer ¡buys ¡one ¡item ¡of ¡good ¡ ¡

– Set ¡of ¡sellers ¡ – Called ¡procurement ¡auc5on ¡(governments) ¡

• Auc5ons ¡are ¡useful ¡when ¡the ¡valua5on ¡of ¡

bidders ¡is ¡unknown ¡

• More ¡complex ¡auc5ons ¡

– Mul5-­‑items ¡ – Combinatorial ¡ ¡

6 ¡

Standard ¡auc5on ¡

• Standard ¡auc5on: ¡the ¡bidder ¡with ¡the ¡highest ¡

bid ¡wins ¡

• Example ¡of ¡nonstandard ¡auc5on: ¡lo[ery ¡

7 ¡

The ¡two ¡extreme ¡seTngs ¡

• Common ¡values ¡ ¡ßà ¡Private ¡values ¡

8 ¡

Main ¡types ¡of ¡auc5ons ¡ ¡

• 1. Ascending ¡open ¡auc5on ¡(English) ¡
• 2. Descending ¡open ¡auc5on ¡(Dutch) ¡
• 3. First-­‑price ¡sealed ¡bid ¡auc5on ¡
• 4. Second ¡price ¡sealed ¡bid ¡auc5on ¡(Vickrey) ¡

9 ¡

Rela5onships ¡between ¡the ¡different ¡ types ¡of ¡auc5ons ¡

10 ¡

Outline ¡

• 1. Generali5es ¡on ¡auc5ons ¡
• 2. Private ¡value ¡auc5ons ¡
• 3. Common ¡value ¡auc5ons: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡
• 4. Mechanism ¡design ¡
• 5. Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡

11 ¡

Private ¡value ¡auc5ons: ¡Model ¡

• One ¡object ¡for ¡sale ¡
• N ¡buyers ¡
• Valua5on ¡Xi ¡
• Xi’s ¡i.i.d. ¡distributed ¡on ¡[0, ¡w], ¡cdf ¡F(.) ¡
• Bidder ¡i ¡knows ¡ ¡

– Realiza5on ¡xi ¡of ¡his ¡value ¡ – That ¡other ¡bidders ¡have ¡values ¡distributed ¡according ¡ to ¡F ¡

• Def: ¡symmetric: ¡all ¡bidders ¡have ¡the ¡same ¡

distribu5on ¡of ¡value ¡

12 ¡

Game ¡

• The ¡game ¡is ¡determine ¡by ¡the ¡auc5on ¡rules ¡

– Game ¡between ¡the ¡bidders ¡

• Bidder’s ¡strategy: ¡βi: ¡[0, ¡w] ¡à ¡[0, ¡∞) ¡
• Look ¡for ¡symmetric ¡equilibria ¡

– 1st ¡price ¡auc5on ¡ – 2nd ¡price ¡auc5on ¡ – Compare ¡seller’s ¡revenue ¡

13 ¡

Second-­‑price ¡sealed-­‑bid ¡auc5on ¡

• Proposi5on: ¡In ¡a ¡second-­‑price ¡sealed-­‑bid ¡auc5on, ¡

bidding ¡its ¡true ¡value ¡is ¡weakly ¡dominant ¡ ¡

14 ¡

First-­‑price ¡sealed-­‑bid ¡auc5on ¡

• Bidding ¡truthfully ¡is ¡weakly ¡dominated ¡

15 ¡

First-­‑price ¡sealed-­‑bid ¡auc5on ¡(2) ¡

• What ¡is ¡the ¡equilibrium ¡strategy? ¡ ¡

16 ¡

First-­‑price ¡sealed-­‑bid ¡auc5on ¡(3) ¡

• Proposi5on: ¡Symmetric ¡equilibrium ¡strategies ¡

in ¡a ¡first-­‑price ¡sealed-­‑bid ¡auc5on ¡are ¡given ¡by ¡ ¡ ¡ where ¡Y1 ¡is ¡the ¡maximum ¡of ¡N-­‑1 ¡independent ¡ copies ¡of ¡Xi ¡ ¡

β(x) = E Y

1 |Y 1 < x

[ ]

17 ¡

Example ¡ ¡

• Values ¡uniformly ¡distributed ¡on ¡[0, ¡1] ¡

18 ¡

Revenue ¡comparison ¡

• With ¡independently ¡and ¡iden5cally ¡distributed ¡

private ¡values, ¡the ¡expected ¡revenue ¡in ¡a ¡first-­‑ price ¡and ¡in ¡a ¡second-­‑price ¡auc5on ¡are ¡the ¡same ¡ ¡

19 ¡

Proof ¡

20 ¡

Warning ¡

• This ¡is ¡not ¡true ¡for ¡each ¡realiza5on ¡
• Example: ¡2 ¡bidders, ¡uniform ¡values ¡in ¡[0, ¡1] ¡

21 ¡

Revenue ¡equivalence ¡theorem ¡

• Generaliza5on ¡of ¡the ¡previous ¡result ¡
• Theorem: ¡Suppose ¡that ¡values ¡are ¡independently ¡and ¡

iden5cally ¡distributed ¡and ¡all ¡bidders ¡are ¡risk ¡neutral. ¡Then ¡ any ¡symmetric ¡and ¡increasing ¡equilibrium ¡of ¡any ¡standard ¡ auc5on ¡such ¡that ¡the ¡expected ¡payment ¡of ¡a ¡bidder ¡with ¡ value ¡zero ¡is ¡zero ¡yields ¡the ¡same ¡expected ¡revenue ¡to ¡the ¡

• seller. ¡
• See ¡an ¡even ¡more ¡general ¡result ¡in ¡the ¡(beau5ful) ¡paper ¡R. ¡

Myerson, ¡“Op5mal ¡Auc5on ¡Design”, ¡Mathema5cs ¡of ¡ Opera5on ¡Research ¡1981 ¡

– 2007 ¡Nobel ¡Prize ¡

22 ¡

Proof ¡

23 ¡

Reserve ¡price ¡

• r>0, ¡such ¡that ¡the ¡seller ¡does ¡not ¡sell ¡if ¡the ¡

price ¡determined ¡by ¡the ¡auc5on ¡is ¡lower ¡

24 ¡

Reserve ¡price ¡in ¡second-­‑price ¡auc5on ¡

• No ¡bidder ¡with ¡value ¡x<r ¡can ¡make ¡a ¡posi5ve ¡

profit ¡

• Bidding ¡truthfully ¡is ¡s5ll ¡weakly ¡dominant ¡
• Winner ¡pays ¡r ¡if ¡the ¡determined ¡price ¡is ¡lower ¡
• Expected ¡payment ¡

25 ¡

Reserve ¡price ¡in ¡first-­‑price ¡auc5on ¡

• No ¡bidder ¡with ¡value ¡x<r ¡can ¡make ¡a ¡posi5ve ¡

profit ¡

• Symmetric ¡equilibrium: ¡ ¡
• Expected ¡payment: ¡ ¡

26 ¡

Effect ¡of ¡reserve ¡price ¡on ¡revenue ¡

• Seller ¡has ¡valua5on ¡x0 ¡of ¡the ¡good ¡
• Sets ¡r>x0! ¡ ¡
• Op5mal ¡reserve ¡price: ¡ ¡
• Increases ¡the ¡seller’s ¡revenue ¡

– Some5mes ¡called ¡exclusion ¡principle ¡

27 ¡

Remark ¡ ¡

• Efficiency: ¡maximize ¡social ¡welfare ¡

– Good ¡ends ¡up ¡in ¡the ¡end ¡of ¡the ¡highest ¡value ¡among ¡ bidders ¡and ¡seller ¡

• Efficient ¡is ¡NOT ¡the ¡same ¡as ¡revenue ¡op5mality ¡
• Example ¡

– Seller ¡with ¡valua5on ¡zero ¡

¡

28 ¡

Outline ¡

• 1. Generali5es ¡on ¡auc5ons ¡
• 2. Private ¡value ¡auc5ons ¡
• 3. Common ¡value ¡auc5ons: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡
• 4. Mechanism ¡design ¡
• 5. Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡

29 ¡

Playing ¡with ¡a ¡jar ¡of ¡coins ¡

30 ¡

The ¡winner’s ¡curse ¡

• Good ¡has ¡value ¡V, ¡same ¡for ¡all ¡bidders ¡

– Example: ¡oil ¡field ¡

• Each ¡bidder ¡has ¡an ¡i.i.d. ¡es5mate ¡xi=V+ei ¡of ¡

the ¡value ¡(E(ei)=0) ¡

• They ¡all ¡bid ¡(e.g., ¡first-­‑price ¡auc5on) ¡

31 ¡

The ¡winner’s ¡curse ¡(2) ¡

• Suppose ¡bidder ¡1 ¡wins ¡
• Upon ¡winning, ¡he ¡finds ¡out ¡his ¡es5mate ¡was ¡too ¡

large! ¡à ¡bad ¡news: ¡winner’s ¡curse ¡

• Bid ¡as ¡if ¡you ¡know ¡you ¡win! ¡
• Remark: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡does ¡not ¡arise ¡at ¡

equilibrium, ¡if ¡your ¡bid ¡takes ¡it ¡into ¡account. ¡

32 ¡

Outline ¡

• 1. Generali5es ¡on ¡auc5ons ¡
• 2. Private ¡value ¡auc5ons ¡
• 3. Common ¡value ¡auc5ons: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡
• 4. Mechanism ¡design ¡
• 5. Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡

33 ¡

Mechanism ¡design ¡

• An ¡auc5on ¡is ¡only ¡one ¡of ¡many ¡ways ¡to ¡sell ¡a ¡

good ¡

• Mechanism ¡design ¡studies ¡the ¡design ¡of ¡rules ¡

such ¡that ¡the ¡resul5ng ¡game ¡yields ¡a ¡desired ¡

• utcome ¡
• The ¡2007 ¡Nobel ¡Memorial ¡Prize ¡in ¡Economic ¡

Sciences ¡was ¡awarded ¡to ¡Leonid ¡Hurwicz, ¡Eric ¡ Maskin, ¡and ¡Roger ¡Myerson ¡"for ¡having ¡laid ¡the ¡ founda5ons ¡of ¡mechanism ¡design ¡theory" ¡

34 ¡

SeTng ¡

• Buyers ¡
• Values ¡
• Set ¡of ¡values ¡
• Distribu5ons ¡
• Product ¡set ¡
• Joint ¡density ¡

35 ¡

Mechanisms ¡

• Set ¡of ¡messages ¡(bids) ¡
• Alloca5on ¡rule ¡
• Payment ¡rule ¡
• Example: ¡1st ¡or ¡2nd ¡price ¡auc5on ¡

36 ¡

Direct ¡mechanism ¡

• Defini5on ¡
• Characteriza5on: ¡Pair ¡(Q, ¡M) ¡
• Truthful ¡equilibrium ¡

37 ¡

Revela5on ¡principle ¡

• Given ¡a ¡mechanism ¡and ¡an ¡equilibrium ¡for ¡

that ¡mechanism, ¡there ¡exists ¡a ¡direct ¡ mechanism ¡such ¡that ¡

• 1. It ¡is ¡an ¡equilibrium ¡for ¡each ¡buyer ¡to ¡report ¡his ¡

value ¡truthfully ¡

• 2. The ¡outcomes ¡(probabili5es ¡Q ¡and ¡expected ¡

payment ¡M) ¡are ¡the ¡same ¡as ¡in ¡the ¡equilibrium ¡

• f ¡the ¡original ¡mechanism ¡

38 ¡

Proof ¡

39 ¡

Incen5ve ¡compa5bility ¡(IC) ¡

• A ¡direct ¡revela5on ¡mechanism ¡is ¡IC ¡if ¡it ¡is ¡
• p5mal ¡for ¡a ¡buyer ¡to ¡report ¡his ¡value ¡

truthfully ¡when ¡all ¡other ¡buyers ¡report ¡their ¡ value ¡truthfully ¡

40 ¡

Revenue ¡equivalence ¡

• If ¡the ¡direct ¡mechanism ¡(Q, ¡M) ¡is ¡incen5ve ¡

compa5ble, ¡then ¡the ¡expected ¡payment ¡is ¡

• Thus, ¡the ¡expected ¡payment ¡in ¡any ¡two ¡incen5ve ¡

compa5ble ¡mechanisms ¡with ¡the ¡same ¡alloca5on ¡ rule ¡are ¡equivalent ¡up ¡to ¡a ¡constant ¡

• Generalizes ¡the ¡previous ¡version ¡

mi(xi) = mi(0)+ qi(xi)xi − qi(ti)

xi

∫

dti

41 ¡

Two ¡ques5ons ¡

• How ¡to ¡design ¡a ¡revenue ¡op5mal ¡mechanism? ¡
• How ¡to ¡design ¡an ¡efficient ¡mechanism? ¡
• Restric5ng ¡to ¡ ¡

– IC ¡mechanisms ¡ – Individually ¡ra5onal ¡mechanisms ¡(i.e., ¡such ¡that ¡the ¡ expected ¡payoff ¡of ¡every ¡buyer ¡is ¡nonnega5ve) ¡

42 ¡

Op5mal ¡mechanism ¡

• Define ¡the ¡virtual ¡valua5on ¡
• Define ¡ ¡
• Under ¡some ¡regularity ¡condi5ons, ¡the ¡op5mal ¡

mechanism ¡is: ¡allocate ¡to ¡the ¡buyer ¡with ¡highest ¡ virtual ¡valua5on ¡(if ¡it ¡is ¡nonnega5ve), ¡with ¡ expected ¡payment ¡yi(x-­‑i) ¡

ψi(xi) = xi −1− F

i(xi)

fi(xi)

yi(x−i) = inf zi :ψi(zi) ≥ 0 and ψi(zi) ≥ψ j(x j) for all j

{ }

43 ¡

Symmetric ¡case ¡

• We ¡find ¡the ¡second ¡price ¡auc5on ¡with ¡reserve ¡

price ¡ ¡ψ −1(0)

44 ¡

Efficient ¡mechanism ¡

• Social ¡welfare ¡maximized ¡by ¡Q* ¡
• If ¡there ¡is ¡no ¡5e: ¡alloca5on ¡to ¡the ¡buyer ¡with ¡

highest ¡value ¡

• Nota5on: ¡

45 ¡

VCG ¡mechanism: ¡defini5on ¡

• The ¡VCG ¡mechanism ¡is ¡(Q*, ¡MV), ¡where ¡
• Note: ¡the ¡W’s ¡are ¡computed ¡with ¡the ¡efficient ¡

alloca5on ¡rule ¡

Mi

V (x) = W(0, x−i)−W−i(x)

46 ¡

VCG ¡mechanism: ¡proper5es ¡

• The ¡VCG ¡mechanism ¡is ¡ ¡

– Incen5ve ¡compa5ble ¡– ¡truthful ¡repor5ng ¡is ¡weakly ¡dominant ¡ – Individually ¡ra5onal ¡ – Efficient ¡ ¡

• i’s ¡equilibrium ¡payoff ¡is ¡the ¡difference ¡in ¡social ¡welfare ¡

induced ¡by ¡his ¡truthful ¡repor5ng ¡instead ¡of ¡0 ¡

• Proposi5on: ¡Among ¡all ¡mechanisms ¡for ¡alloca5ng ¡a ¡single ¡

good ¡that ¡are ¡efficient, ¡IC ¡and ¡IR, ¡the ¡VCG ¡mechanism ¡ maximizes ¡the ¡expected ¡payment ¡of ¡each ¡agent ¡

47 ¡

Example ¡

• In ¡the ¡context ¡of ¡auc5ons: ¡VCG ¡= ¡2nd ¡price ¡

auc5on! ¡

48 ¡

Outline ¡

• 1. Generali5es ¡on ¡auc5ons ¡
• 2. Private ¡value ¡auc5ons ¡
• 3. Common ¡value ¡auc5ons: ¡the ¡winner’s ¡curse ¡
• 4. Mechanism ¡design ¡
• 5. Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡

49 ¡

Sponsored ¡search ¡

• Ads ¡in ¡

sponsored ¡box ¡

• Several ¡spots: ¡

mul5ple ¡items ¡ auc5on ¡

• Pay ¡per ¡click ¡for ¡

the ¡adver5ser ¡

50 ¡

Generalized ¡second ¡price ¡auc5on ¡ (GSP) ¡

• How ¡does ¡Google ¡determine ¡which ¡ad ¡is ¡shown ¡

for ¡a ¡given ¡keyword? ¡

• Adver5sers ¡ ¡submit ¡bids ¡
• Google ¡ranks ¡ads ¡by ¡bid ¡x ¡expected ¡nb ¡of ¡clicks ¡

– Ad ¡quality ¡factor ¡

• Adver5sers ¡pay ¡the ¡price ¡determined ¡by ¡the ¡bid ¡

below ¡(GSP) ¡

51 ¡

GSP ¡proper5es ¡

• GSP ¡is ¡not ¡truthful ¡
• GSP ¡is ¡not ¡VCG ¡
• GSP ¡may ¡have ¡several ¡equilibria ¡
• GSP’s ¡revenue ¡may ¡be ¡higher ¡or ¡lower ¡than ¡VCG’s ¡revenue ¡
• B. ¡Edelman, ¡M. ¡Ostrovsky, ¡M. ¡Schwarz, ¡“Internet ¡

Adver5sing ¡and ¡the ¡Generalized ¡Second-­‑Price ¡Auc5on: ¡ Selling ¡Billions ¡of ¡Dollars ¡Worth ¡of ¡Keywords”, ¡American ¡ Economic ¡Review ¡2007 ¡

• H. ¡Varian, ¡“Posi5on ¡auc5ons”, ¡Interna5onal ¡Journal ¡of ¡

Industrial ¡Organiza5on ¡2007 ¡

52 ¡