Biased coins, blindfold players Vincius G. Pereira de S - PowerPoint PPT Presentation

Biased ¡coins, ¡blindfold ¡players ¡ ¡ Vinícius ¡G. ¡Pereira ¡de ¡Sá ¡ ¡ based ¡on ¡the ¡paper ¡“Blind-­‑friendly ¡von ¡Neumann’s ¡heads ¡or ¡tails”, ¡ ¡ to ¡appear ¡in ¡The ¡American ¡MathemaFcal ¡Monthly, ¡ joint ¡work ¡with ¡Celina ¡M. ¡H. ¡de ¡Figueiredo ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

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Guilherme ¡Dias ¡da ¡Fonseca ¡

What’s ¡in ¡this ¡talk? ¡ • biased ¡randomness ¡ ¡ ¡ à ¡ ¡ ¡unbiased ¡randomness ¡ • counterintuiFve ¡probabiliFes ¡ – a ¡simple ¡2-­‑player ¡dice ¡game ¡(a ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles?) ¡ – condiFoning ¡on ¡seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ – an ¡interesFng ¡lemma ¡ ¡ • fair ¡heads ¡or ¡tails ¡with ¡a ¡“concealed” ¡biased ¡coin ¡ – how ¡ not ¡to ¡do ¡it ¡ – how ¡to ¡do ¡it ¡ ¡

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A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ E 3 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡= ¡C ¡ X p 3 Pr { E 3 } = i . ¡ i ∈ Ω A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ! 2 E 2,2 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡ ¡and ¡ ¡C ¡= ¡D ¡ ¡ ¡ X p 2 Pr { E 2 , 2 } = i i ∈ Ω

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ E 3 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡= ¡C ¡ X p 3 Pr { E 3 } = i . ¡ i ∈ Ω A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ! 2 E 2,2 ¡:= ¡ ¡A ¡= ¡B ¡ ¡and ¡ ¡C ¡= ¡D ¡ ¡ ¡ X p 2 Pr { E 2 , 2 } = i i ∈ Ω

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ X p 3 Pr { E 3 } = i . i ∈ Ω ! 2 X p 2 Pr { E 2 , 2 } = i i ∈ Ω

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ X p 3 Pr { E 3 } = i . i ∈ Ω Cauchy ¡inequality: ¡ ! 2 X X ! X ! x 2 y 2 x i y i ≤ i i i ∈ Ω i ∈ Ω i ∈ Ω ! 2 X p 2 Pr { E 2 , 2 } = i i ∈ Ω

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ X p 3 Pr { E 3 } = i . i ∈ Ω Cauchy ¡inequality: ¡ ! 2 X X ! X ! x 2 y 2 x i y i ≤ X i i i ∈ Ω i ∈ Ω i ∈ Ω d y i = p 1 / 2 Setting x i = p 3 / 2 , ! 2 i i X ! p 2 Pr { E 2 , 2 } = i i ∈ Ω

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ X p 3 Pr { E 3 } = i . i ∈ Ω Cauchy ¡inequality: ¡ ! 2 X X ! X ! x 2 y 2 x i y i ≤ X i i i ∈ Ω i ∈ Ω i ∈ Ω d y i = p 1 / 2 Setting x i = p 3 / 2 , ! 2 i i 1 ¡ X ! 2 X X ! X ! ! p 2 Pr { E 2 , 2 } = X p 2 p 3 p 3 p i = i ≤ i i i i ∈ Ω i ∈ Ω i ∈ Ω i ∈ Ω i ∈ Ω

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ ! ! 2 X } = Pr { E 2 , 2 } ≤ Pr { E 3 } = } = X p 2 p 3 , = i . i i ∈ Ω i ∈ Ω • perfectly ¡fair ¡dice ¡ ¡ • perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡ ¡ ¡ • coins ¡ ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ ! ! 2 X } = Pr { E 2 , 2 } ≤ Pr { E 3 } = } = X p 2 p 3 , = i . i i ∈ Ω i ∈ Ω • perfectly ¡fair ¡dice ¡ Pr { E 3 } = Pr { E 2 , 2 } = 1 re p i = 1 /n for all i ∈ Ω ; n 2 , ¡ • perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡ n = | Ω | ¡ ¡ • coins ¡ ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ ! ! 2 X } = Pr { E 2 , 2 } ≤ Pr { E 3 } = } = X p 2 p 3 , = i . i i ∈ Ω i ∈ Ω • perfectly ¡fair ¡dice ¡ Pr { E 3 } = Pr { E 2 , 2 } = 1 re p i = 1 /n for all i ∈ Ω ; n 2 , ¡ • perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡ n = | Ω | g. p 1 = 1, that the same sid Pr { E 3 } = Pr { E 2 , 2 } = 1 ¡ d p i = 0 for i 2 { 2 , . . . , n } . ¡ and every • coins ¡ ¡

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ ! ! 2 X } = Pr { E 2 , 2 } ≤ Pr { E 3 } = } = X p 2 p 3 , = i . i i ∈ Ω i ∈ Ω • perfectly ¡fair ¡dice ¡ Pr { E 3 } = Pr { E 2 , 2 } = 1 re p i = 1 /n for all i ∈ Ω ; n 2 , ¡ • perfectly ¡unfair ¡(loaded) ¡dice ¡ n = | Ω | g. p 1 = 1, that the same sid Pr { E 3 } = Pr { E 2 , 2 } = 1 ¡ d p i = 0 for i 2 { 2 , . . . , n } . ¡ and every • coins ¡ interested in the fu � ¡ a triple when g p 1 = p an Pr { E 3 } � Pr { E 2 , 2 } = d p 2 = 1 � p p 3 + (1 � p ) 3 ⇤ p 2 + (1 � p ) 2 ⇤ 2 ⇥ ⇥ ) = � ⇥ ⇤ ⇥ = � � � 4 p 4 + 8 p 3 � 5 p 2 + p. = ⇤ ⇥

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ • coins ¡ interested in the fu � ¡ g p 1 = p an a triple when Pr { E 3 } � Pr { E 2 , 2 } = d p 2 = 1 � p p 3 + (1 � p ) 3 ⇤ p 2 + (1 � p ) 2 ⇤ 2 ⇥ ⇥ ) = � ⇥ ⇤ ⇥ = � � � 4 p 4 + 8 p 3 � 5 p 2 + p. = ⇤ ⇥

A ¡triple ¡or ¡two ¡straight ¡doubles? ¡ • coins ¡ interested in the fu ¡ g p 1 = p an � a triple when Pr { E 3 } � Pr { E 2 , 2 } = d p 2 = 1 � p p 3 + (1 � p ) 3 ⇤ p 2 + (1 � p ) 2 ⇤ 2 ⇥ ⇥ ) = � ⇥ ⇤ ⇥ = � � � 4 p 4 + 8 p 3 � 5 p 2 + p. = ⇤ ⇥ interested in the fu Pr { E 3 } � Pr { E 2 , 2 } 0.0625 ¡ ⇥ � 2 + of p 0.5 ≈ ¡0.8536 ¡ ≈ ¡0.1464 ¡ p = 1 / 2 ± 1 / (2 2)

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Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ A, ¡B, ¡C ¡ ¡ independent ¡idenFcally ¡distributed ¡(iid) ¡random ¡variables ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ A ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡B ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡C ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ A, ¡B, ¡C ¡ ¡ independent ¡idenFcally ¡distributed ¡(iid) ¡random ¡variables ¡ ¡ = ¡ ¡ Pr { ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Pr { ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡ ? ¡ ¡ ¡ ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ = ¡ Pr { ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Pr { ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡ ¡ ? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

Seemingly ¡irrelevant ¡knowledge ¡ = ¡ Pr { ¡C ¡= ¡B ¡} ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Pr { ¡C ¡= ¡B ¡ ¡| ¡ ¡B ¡≠ ¡A ¡} ¡ ? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ X p 2 Pr { C = B } = i ¡ i ∈ Ω ¡ i ∈ Ω [ p 2 P i (1 � p i )] Pr { C = B | B 6 = A } = Pr { C = B 6 = A } ¡ = i ∈ Ω [ p i (1 � p i )] . Pr { B 6 = A } P ¡ ¡