A cut-free proof system for pseudo-transitive modal logics Sonia - - PowerPoint PPT Presentation

A cut-free proof system for pseudo-transitive modal logics

Sonia Marin With Lutz Straßburger

Inria, LIX, ´ Ecole Polytechnique

Topology, Algebra, and Categories in Logic June 22, 2015

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 1 / 10

Classical modal logic

• Formulas: A, B, ... ::= p | ¯

p | A ∧ B | A ∨ B | A | ♦A

• Negation is defined via De Morgan duality and A → B ≡ ¯

A ∨ B

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 2 / 10

Classical modal logic

• Formulas: A, B, ... ::= p | ¯

p | A ∧ B | A ∨ B | A | ♦A

• Negation is defined via De Morgan duality and A → B ≡ ¯

A ∨ B

• Axioms for K: classical propositional logic and

k: (A → B) → (A → B)

• Rules: modus ponens:

A A → B

− − − − − − − − − − − −

B necessitation: A

− − −

A

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 2 / 10

Classical modal logic

• Formulas: A, B, ... ::= p | ¯

p | A ∧ B | A ∨ B | A | ♦A

• Negation is defined via De Morgan duality and A → B ≡ ¯

A ∨ B

• Axioms for K: classical propositional logic and

k: (A → B) → (A → B)

• Rules: modus ponens:

A A → B

− − − − − − − − − − − −

B necessitation: A

− − −

A

• Theorem: The logic K is sound and complete wrt Kripke frames W , R.
• W a non-empty set of worlds
• R ⊆ W × W the accessibility relation

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 2 / 10

A fine selection of modal axioms

t: A → A reflexivity

∀w.wRw

4: A → A transitivity

∀xyw.xRy ∧ yRw → xRw

4∗ : A → A pseudo-transitivity

∀xyzw.xRy ∧ yRz ∧ zRw → ∃u.xRu ∧ uRw

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 3 / 10

A fine selection of modal axioms

t: A → A reflexivity

∀w.wRw

4: A → A transitivity

∀xyw.xRy ∧ yRw → xRw

4∗ : A → A pseudo-transitivity

∀xyzw.xRy ∧ yRz ∧ zRw → ∃u.xRu ∧ uRw

4n

m : nA → mA

(m,n)-transitivity

∀xw.xRmw → xRnw

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 3 / 10

Pure nested sequents

• Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)
• Sequent context: Γ{ }{ }{ } = A, [{ }], [B, { }, [{ }]]

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)
• Sequent context: Γ{C}{ }{ } = A, [C ], [B, { }, [{ }]]

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)
• Sequent context: Γ{C}{[D]}{ } = A, [C ], [B, [D], [{ }]]

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)
• Sequent context: Γ{C}{[D]}{A, [C]} = A, [C ], [B, [D], [A, [C]]]

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)
• Sequent context: Γ{ }{ }{ } = A, [{ }], [B, { }, [{ }]]
• System KN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[A]} −

− − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [A, ∆]} ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [∆]}

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents

• Nested Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [Γ1], . . . , [Γn]
• Corresponding formula: fm(Γ) = A1 ∨ . . . ∨ Am ∨ fm(Γ1) ∨ . . . ∨ fm(Γn)
• Sequent context: Γ{ }{ }{ } = A, [{ }], [B, { }, [{ }]]
• System KN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[A]} −

− − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [A, ∆]} ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [∆]}

• Theorem: System KN is sound and complete for the logic K.

[Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Indexed nested sequents

• Indexed Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [

w1Γ1], . . . , [ wnΓn]

• No corresponding formula in the general case
• Indexed context: Γ

2{ } 1{ } 2{ } = A, [ 2{ }], [ 1B, { }, [ 2{ }]]

• System iKN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[

vA]}

−

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [

uA, ∆]}

♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [

u∆]}

[Fitting, 2015]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents

• Indexed Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [

w1Γ1], . . . , [ wnΓn]

• No corresponding formula in the general case
• Indexed context: Γ

2{C} 1{ } 2{ } = A, [ 2C ], [ 1B, { }, [ 2{ }]]

• System iKN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[

vA]}

−

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [

uA, ∆]}

♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [

u∆]}

[Fitting, 2015]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents

• Indexed Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [

w1Γ1], . . . , [ wnΓn]

• No corresponding formula in the general case
• Indexed context: Γ

2{C} 1{[ 3D]} 2{ } = A, [ 2C ], [ 1B, [ 3D], [ 2{ }]]

• System iKN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[

vA]}

−

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [

uA, ∆]}

♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [

u∆]}

[Fitting, 2015]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents

• Indexed Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [

w1Γ1], . . . , [ wnΓn]

• No corresponding formula in the general case
• Indexed context: Γ

2{C} 1{[ 3D]} 2{A, [ 4C ]} = A, [ 2C ], [ 1B, [ 3D], [ 2A, [ 4C ]]]

• System iKN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[

vA]}

−

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [

uA, ∆]}

♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [

u∆]}

[Fitting, 2015]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents

• Indexed Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [

w1Γ1], . . . , [ wnΓn]

• No corresponding formula in the general case
• Indexed context: Γ

2{ } 1{ } 2{ } = A, [ 2{ }], [ 1B, { }, [ 2{ }]]

• System iKN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[

vA]}

−

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [

uA, ∆]}

♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [

u∆]}

Γ

w{∅} w{A}

tp −

− − − − − − − − − − − −

Γ

w{A} w{∅}

Γ

w{[ u∆]} w{[ u ]}

bc −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ

w{[ u∆]} w{∅}

[Fitting, 2015]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents

• Indexed Sequent: Γ ::= A1, . . . , Am, [

w1Γ1], . . . , [ wnΓn]

• No corresponding formula in the general case
• Indexed context: Γ

2{ } 1{ } 2{ } = A, [ 2{ }], [ 1B, { }, [ 2{ }]]

• System iKN:

id −

− − − − − − −

Γ{a, ¯ a} Γ{A, B} ∨ −

− − − − − − − − − −

Γ{A ∨ B} Γ{A} Γ{B} ∧ −

− − − − − − − − − − − − − −

Γ{A ∧ B} Γ{[

vA]}

−

− − − − − − − −

Γ{A} Γ{♦A, [

uA, ∆]}

♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [

u∆]}

Γ

w{∅} w{A}

tp −

− − − − − − − − − − − −

Γ

w{A} w{∅}

Γ

w{[ u∆]} w{[ u ]}

bc −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ

w{[ u∆]} w{∅}

• Theorem: System iKN is sound and complete for the logic K.

[Fitting, 2015]

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Why are we doing this?

t: A → A Γ{[∆]} ˙ t −

− − − − − − −

Γ{∆} 4: A → A Γ{[∆]} ˙ 4 −

− − − − − − − −

Γ{[[∆]]} Theorem: System KN + ˙ t is sound and complete for the logic K + t. Problem: System KN + ˙ 4 is not complete for the logic K + 4.

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 6 / 10

Why are we doing this?

t: A → A Γ{[∆]} ˙ t −

− − − − − − −

Γ{∆} Γ{♦A, A} t♦ −

− − − − − − − − −

Γ{♦A} 4: A → A Γ{[∆]} ˙ 4 −

− − − − − − − −

Γ{[[∆]]} Γ{♦A, [♦A, ∆]} 4♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [∆]} Theorem: System KN + t♦ is sound and complete for the logic K + t. Theorem: System KN + 4♦ is sound and complete for the logic K + 4.

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 6 / 10

Why are we doing this?

t: A → A Γ{[∆]} ˙ t −

− − − − − − −

Γ{∆} Γ{♦A, A} t♦ −

− − − − − − − − −

Γ{♦A} 4: A → A Γ{[∆]} ˙ 4 −

− − − − − − − −

Γ{[[∆]]} Γ{♦A, [♦A, ∆]} 4♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{♦A, [∆]} 4∗ : A → A Γ{[[∆]]} ˙ 4∗ −

− − − − − − − − − −

Γ{[[[∆]]]} no ♦-rule! Theorem: System KN + t♦ is sound and complete for the logic K + t. Theorem: System KN + 4♦ is sound and complete for the logic K + 4. Problem: complete system for K + 4∗?

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 6 / 10

Why are we doing this?

t: A → A Γ

w{[ w ]}

˙ 41

0 − − − − − − − − −

Γ

w{∅}

4: A → A Γ{[

w ], [ x [ w∆1], ∆2]}

˙ 41

2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{[

x [ w∆1], ∆2]}

4n

m : nA → mA

Γ{[

un · · · [ u2 [ w ]]], [ xm · · · [ x2 [ w∆1], ∆2], · · · ∆m]}

˙ 4n

m − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Γ{[

xm · · · [ x2 [ w∆1], ∆2], · · · ∆m]}

Theorem: System iKN + ˙ 4n

m is sound and complete for the logic K + 4n m.

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 7 / 10

Proof via syntactic cut-elimination

Theorem: If a sequent is derivable in iNK + ˙ 4n

m together with the cut-rule

Γ{A} Γ{ ¯ A} cut −

− − − − − − − − − − − − −

Γ{∅} then it is also derivable in iNK + ˙ 4n

m without cut.

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 8 / 10

Ongoing work

• decidability problems
• extension to a larger selection of modal axioms
• extension to intuitionistic modal logics
• . . .

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 9 / 10

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 10 / 10

Kripke semantics

• Kripke model M = W , R, V :
• a non-empty set W of worlds
• an accessibility relation R ⊆ W × W ,
• a valuation function V : W → 2A
• w p

iff w ∈ V (p) w ¯ p iff w p w A ∧ B iff w A and w B w A ∨ B iff w A or w B w A iff for all w ′ if w ′Ru, we have u A w ♦A iff there is a u ∈ W such that wRu and u A

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 11 / 10

♦q, [q], [[q], q, p], [[q, p], q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ˙ 4 −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [[q], q, p], [[q, p], q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [q, q, p], [[q, p], q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [q, p], [[q, p], q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ˙ 4 −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [[q, p], q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [[q], q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [q, q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [q, ¯ p, ♦p], [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ˙ 4 −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [[q, ¯ p, ♦p], ♦¯ p, ♦♦p] cont, ♦, ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [[q], ♦¯ p, ♦♦p] −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [q, ♦¯ p, ♦♦p] cont, ♦ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q, [♦¯ p, ♦♦p] ∨, , ∨ −

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

♦q ∨ (♦¯ p ∨ ♦♦p)

S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 12 / 10