A cut-free proof system for pseudo-transitive modal logics Sonia - PowerPoint PPT Presentation

A cut-free proof system for pseudo-transitive modal logics Sonia Marin With Lutz Straßburger Inria, LIX, ´ Ecole Polytechnique Topology, Algebra, and Categories in Logic June 22, 2015 S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 1 / 10

Classical modal logic • Formulas: A , B , ... ::= p | ¯ p | A ∧ B | A ∨ B | � A | ♦ A • Negation is defined via De Morgan duality and A → B ≡ ¯ A ∨ B S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 2 / 10

Classical modal logic • Formulas: A , B , ... ::= p | ¯ p | A ∧ B | A ∨ B | � A | ♦ A • Negation is defined via De Morgan duality and A → B ≡ ¯ A ∨ B • Axioms for K: classical propositional logic and k: � ( A → B ) → ( � A → � B ) A A → B A • Rules: modus ponens: necessitation: − − − − − − − − − − − − − − − B � A S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 2 / 10

Classical modal logic • Formulas: A , B , ... ::= p | ¯ p | A ∧ B | A ∨ B | � A | ♦ A • Negation is defined via De Morgan duality and A → B ≡ ¯ A ∨ B • Axioms for K: classical propositional logic and k: � ( A → B ) → ( � A → � B ) A A → B A • Rules: modus ponens: necessitation: − − − − − − − − − − − − − − − B � A • Theorem: The logic K is sound and complete wrt Kripke frames � W , R � . • W a non-empty set of worlds • R ⊆ W × W the accessibility relation S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 2 / 10

A fine selection of modal axioms t: � A → A reflexivity ∀ w . wRw 4: � A → �� A transitivity ∀ xyw . xRy ∧ yRw → xRw 4 ∗ : �� A → ��� A pseudo-transitivity ∀ xyzw . xRy ∧ yRz ∧ zRw → ∃ u . xRu ∧ uRw S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 3 / 10

A fine selection of modal axioms t: � A → A reflexivity ∀ w . wRw 4: � A → �� A transitivity ∀ xyw . xRy ∧ yRw → xRw 4 ∗ : �� A → ��� A pseudo-transitivity ∀ xyzw . xRy ∧ yRz ∧ zRw → ∃ u . xRu ∧ uRw 4 n m : � n A → � m A (m,n)-transitivity ∀ xw . xR m w → xR n w S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 3 / 10

Pure nested sequents Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m • • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) • Sequent context: Γ { }{ }{ } = A , [ { } ] , [ B , { } , [ { } ]] [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) • Sequent context: Γ { C }{ }{ } = A , [ C ] , [ B , { } , [ { } ]] [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) • Sequent context: Γ { C }{ [ D ] }{ } = A , [ C ] , [ B , [ D ] , [ { } ]] [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) • Sequent context: Γ { C }{ [ D ] }{ A , [ C ] } = A , [ C ] , [ B , [ D ] , [ A , [ C ]]] [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) • Sequent context: Γ { }{ }{ } = A , [ { } ] , [ B , { } , [ { } ]] • System KN: Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } Γ { [ A ] } Γ { ♦ A , [ A , ∆] } id − ∨ − ∧ − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { � A } Γ { ♦ A , [∆] } [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Pure nested sequents • Nested Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [Γ 1 ] , . . . , [Γ n ] • Corresponding formula: fm (Γ) = A 1 ∨ . . . ∨ A m ∨ � fm (Γ 1 ) ∨ . . . ∨ � fm (Γ n ) • Sequent context: Γ { }{ }{ } = A , [ { } ] , [ B , { } , [ { } ]] • System KN: Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } Γ { [ A ] } Γ { ♦ A , [ A , ∆] } id − ∨ − ∧ − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { � A } Γ { ♦ A , [∆] } • Theorem: System KN is sound and complete for the logic K . [Kashima, 1994], [Br¨ unnler, 2009], [Poggiolesi, 2009] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 4 / 10

Indexed nested sequents w 1 Γ 1 ] , . . . , [ w n Γ n ] • Indexed Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [ • No corresponding formula in the general case 2 { } 1 { } 2 { } = A , [ 2 { } ] , [ 1 B , { } , [ 2 { } ]] • Indexed context: Γ • System iKN: v A ] } u A , ∆] } Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } Γ { ♦ A , [ Γ { [ ∨ − ∧ − id − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − u ∆] } Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { � A } Γ { ♦ A , [ [Fitting, 2015] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents w 1 Γ 1 ] , . . . , [ w n Γ n ] • Indexed Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [ • No corresponding formula in the general case 2 { C } 1 { } 2 { } = A , [ 2 C ] , [ 1 B , { } , [ 2 { } ]] • Indexed context: Γ • System iKN: v A ] } u A , ∆] } Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } Γ { ♦ A , [ Γ { [ ∨ − ∧ − id − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − u ∆] } Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { � A } Γ { ♦ A , [ [Fitting, 2015] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents w 1 Γ 1 ] , . . . , [ w n Γ n ] • Indexed Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [ • No corresponding formula in the general case 2 { C } 1 { [ 3 D ] } 2 { } = A , [ 2 C ] , [ 1 B , [ 3 D ] , [ 2 { } ]] • Indexed context: Γ • System iKN: v A ] } u A , ∆] } Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } Γ { ♦ A , [ Γ { [ ∨ − ∧ − id − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − u ∆] } Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { � A } Γ { ♦ A , [ [Fitting, 2015] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10

Indexed nested sequents w 1 Γ 1 ] , . . . , [ w n Γ n ] • Indexed Sequent: Γ ::= A 1 , . . . , A m , [ • No corresponding formula in the general case 2 { C } 1 { [ 3 D ] } 2 { A , [ 4 C ] } = A , [ 2 C ] , [ 1 B , [ 3 D ] , [ 2 A , [ 4 C ]]] • Indexed context: Γ • System iKN: v A ] } u A , ∆] } Γ { A , B } Γ { A } Γ { B } Γ { ♦ A , [ Γ { [ ∨ − ∧ − id − � − ♦ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − u ∆] } Γ { a , ¯ a } Γ { A ∨ B } Γ { A ∧ B } Γ { � A } Γ { ♦ A , [ [Fitting, 2015] S.Marin, L.Straßburger (Inria) Pseudo-transitive modal logics 5 / 10